Dimostrazione discontinuità campo magnetico nell'attraversamento di una superficie
Ciao ancora 
Oggi vorrei chiedere riguardo una dimostrazone che non ho capito appieno e riguarda il caolcolo della discontinuità del campo $vecB$ nella componente ortogonale a una qualsiasi superficie percorsa da corrente. In teoria la componente perpendicolare non ha discontinuità, contrariamente a quella parallela alla superficie che è invece discontinua.
Il mio dubbio parte da qui, riporto il ragionamento del libro
Sfrutterà questo fatto per dimostrare la discontinuità, per farlo prendiamo una superficie di gaus a "scatoletta" come riporta qui:
cioè sfrutta proprio il risultato che attraverso una superficie chiusa vale $\int_S \vecB*\vecn dS=0$
e nel nostro caso avendo solo contributi non trascurabili lungo $dA$ avremo: $[B(P_2)-B(P_1)]dA=0$ <=> $DeltaB=0$ il che dimostra che non abbiamo discontinuità. L'uguaglianza a zero è posta proprio grazie al fatto che l'integrale delflusso è sempre nullo peril campo magnetico (vedi quote citato).
Il punto dubbio però è nell'applicazione di $\int_S \vecB*\vecn dS=0$ che non mi convince affatto, vediamo se risco a spiegare il dubbio: da come ha giustificato la nullità del flusso sembra che ciò accada perché tante linee di flusso escono quante entrano (non ho pozzi o sorgenti) e quindi il flusso sarà sempre nullo non esistendo una "carica magnetica" e quindi le linee di flusso non hanno né capo né coda ma si chiudono sempre entrando e uscendo nella stessa quantità da una arbitraria superficie => è questo a determinare il flusso nullo per B.
Bene, assumiamo però io abbia una superficie $Sigma$ infiita e prenda la "scatoletta $Sigma'$" in figura un punto qualsiasi di tale superficie infinita percorsa da corrente; in tal caso nessuno mi garantisce che tante linee di flusso transitino in uscita quante in entrata, cioè applicare $[B(P_2)-B(P_1)]dA=0$ a me pare un po' una forzatura perché appunto in una superficie infinita le linee di flusso vanno e vengono dai nfinito => non si chiudono su sé stesse => nessuno mi garantisce che quel flusso per $Sigma'$ (superficie gaussiana a scatoletta) sia nullo.
Cosa sbaglio? Non riesco proprio a scovare il mio errore.
grazie
Oggi vorrei chiedere riguardo una dimostrazone che non ho capito appieno e riguarda il caolcolo della discontinuità del campo $vecB$ nella componente ortogonale a una qualsiasi superficie percorsa da corrente. In teoria la componente perpendicolare non ha discontinuità, contrariamente a quella parallela alla superficie che è invece discontinua.
Il mio dubbio parte da qui, riporto il ragionamento del libro
Nel caso dell’elettrostatica, la legge di Gauss afferma che il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa al cui interno vi è una carica è proporzionale alla carica stessa; ciò è equivalente ad affermare che il numero di linee di forza del campo elettrico che attraversano la superficie considerata è proporzionale alla carica. Tale proprietà deriva dal fatto che le linee di forza del campo elettrico hanno origine o termine in corrispondenza delle cariche. Nel caso del campo magnetico le linee di forza sono chiuse e quindi non hanno origine o fine in qualche punto. Pertanto, perogni superficie chiusa, il numero di linee di forza che escono dalla superficie è uguale al numero di quelle che entrano, così:
$\int_S \vecB*\vecn dS=0$
Sfrutterà questo fatto per dimostrare la discontinuità, per farlo prendiamo una superficie di gaus a "scatoletta" come riporta qui:
cioè sfrutta proprio il risultato che attraverso una superficie chiusa vale $\int_S \vecB*\vecn dS=0$
e nel nostro caso avendo solo contributi non trascurabili lungo $dA$ avremo: $[B(P_2)-B(P_1)]dA=0$ <=> $DeltaB=0$ il che dimostra che non abbiamo discontinuità. L'uguaglianza a zero è posta proprio grazie al fatto che l'integrale delflusso è sempre nullo peril campo magnetico (vedi quote citato).
Il punto dubbio però è nell'applicazione di $\int_S \vecB*\vecn dS=0$ che non mi convince affatto, vediamo se risco a spiegare il dubbio: da come ha giustificato la nullità del flusso sembra che ciò accada perché tante linee di flusso escono quante entrano (non ho pozzi o sorgenti) e quindi il flusso sarà sempre nullo non esistendo una "carica magnetica" e quindi le linee di flusso non hanno né capo né coda ma si chiudono sempre entrando e uscendo nella stessa quantità da una arbitraria superficie => è questo a determinare il flusso nullo per B.
Bene, assumiamo però io abbia una superficie $Sigma$ infiita e prenda la "scatoletta $Sigma'$" in figura un punto qualsiasi di tale superficie infinita percorsa da corrente; in tal caso nessuno mi garantisce che tante linee di flusso transitino in uscita quante in entrata, cioè applicare $[B(P_2)-B(P_1)]dA=0$ a me pare un po' una forzatura perché appunto in una superficie infinita le linee di flusso vanno e vengono dai nfinito => non si chiudono su sé stesse => nessuno mi garantisce che quel flusso per $Sigma'$ (superficie gaussiana a scatoletta) sia nullo.
Cosa sbaglio? Non riesco proprio a scovare il mio errore.
grazie
Risposte
Ciao. Sbagli ad assegnare all'infinito matematico una realtà fisica. Lo zero ha lo stesso limite. Nessuno sa davvero cosa succede all'infinito. Guarda cosa succede ad un potenziale $Q/r$ in zero. Matematicamente puoi assegnare un certo grado agli infiniti e infinitesimi, ma in fisica? Il paradosso logico del tuo ragionamento è che ti necessita una superficie chiusa. Una superficie chiusa ha un volume finito. Ma una superficie chiusa infinita ha un volume infinito, il che è un controsenso. Non funziona più nemmeno il concetto stesso di integrazione sulla frontiera di un volume.
Ciao ZerOmega, ottima risposta e ti ringrazio.
Mi resta però un problema, vediamo se riesco a spiegarmi: quando calcolo il caso di un solenoide cilindrico assumo il campo B prallelo all'asse centrale del cilindro stesso. In un certo senso tuttala dimostrazione si basa sulla possibilità di tenere il campo che va e viene da infinito (sopra e sotto il cilindro). Ecco, a questo punto mi chiedo perché qui sono autorizzato a farlo invece?
Esplicitamente prende questo solenoide e esegue il seguente calcolo il libro: sia $Gamma$ una curva rettangolare orientata che include un certo numero di spire, poiché B è ortogonale l'unico contributo all'integrale di linea suddetto è dato dal lato interno e quello perpendicolare al campo non ne da, sia quindi L il lato lungo posso scrivere: $BL=\mu_0nLI$ con n numero di spire per unità di lunghezza.
Ebbene anche qui uso una cosa sbagliata B non è perpendicolare al lato corto della mia superficie rettangolare su cui integro, perché B non ha linee di campo che vanno e vengono da infinito. Quindi parimenti al discorso che dicevi tu, tutto quel calcolo dovrebbe essere sbagliato: sia perché avrei anche un campo esternamente, sia perché B non sarebbe parallelo al lato L.
Insomma la domanda si potrebbe ridurre in: perché non vale quanto dico per il mio primo post, ma in questo caso l'abuso vale? Perché posso usare due pesi e due misure, tu che dici?
Grazie.
Mi resta però un problema, vediamo se riesco a spiegarmi: quando calcolo il caso di un solenoide cilindrico assumo il campo B prallelo all'asse centrale del cilindro stesso. In un certo senso tuttala dimostrazione si basa sulla possibilità di tenere il campo che va e viene da infinito (sopra e sotto il cilindro). Ecco, a questo punto mi chiedo perché qui sono autorizzato a farlo invece?
Esplicitamente prende questo solenoide e esegue il seguente calcolo il libro: sia $Gamma$ una curva rettangolare orientata che include un certo numero di spire, poiché B è ortogonale l'unico contributo all'integrale di linea suddetto è dato dal lato interno e quello perpendicolare al campo non ne da, sia quindi L il lato lungo posso scrivere: $BL=\mu_0nLI$ con n numero di spire per unità di lunghezza.
Ebbene anche qui uso una cosa sbagliata B non è perpendicolare al lato corto della mia superficie rettangolare su cui integro, perché B non ha linee di campo che vanno e vengono da infinito. Quindi parimenti al discorso che dicevi tu, tutto quel calcolo dovrebbe essere sbagliato: sia perché avrei anche un campo esternamente, sia perché B non sarebbe parallelo al lato L.
Insomma la domanda si potrebbe ridurre in: perché non vale quanto dico per il mio primo post, ma in questo caso l'abuso vale? Perché posso usare due pesi e due misure, tu che dici?
Grazie.
Vero le linee di campo non sono esattamente ortogonali, ma lo sono con una approssimazione tale (se il solenoide è abbastanza lungo, sottile e compatto) da rendere il risultato più che accettabile. Ma c'è differenza tra un risultato approssimato (qui) ed uno zero esatto (prima) . In realtà il parallelismo non è così azzeccato con il caso precedente, perchè in questo caso, proprio in virtù del fatto che sotto le condizioni dette il campo esterno del solenoide è trascurabile o addirittura nullo, non lo andiamo nemmeno a valutare. Non analiticamente almeno, quindi non ci interessa una superficie infinita che prenda tutte le linee di campo. Se lo avessimo fatto, in quel caso avresti avuto ragione . In casi in cui la geometria non consente una simile approssimazione si usano metodi numerici per stimare il valore del campo, non solo nelle zone vicine al solenoide ma anche internamente.
Aspetta, ho cantato vittoria troppo presto. Nel senso che però,anche nel primo post, quando calvola il flusso, si staintegrando su una superficie gaussiana $Sigma'$ e non $Sigma$. Se io prendo $Sigma$ diciamo infinita,così da avere linee quasi parlallele come nel solenoide rettilineo, allora l'integrazione su $Sigma'$ prende comunque senso perché lei non è infinita! Voglio dire anche qui svolgo un integrale con superfici finite, ad essere infinita e la superficie $Sigma$ solo per poter approssimare il campo rettilineo come per il solenoide.
Mi sembrano due ragionamenti simili.
Ovviamente se $Sigma'$ fosse infinita allora lì perderebbe senso il tutto, perché come dici avrei bei problemi a integrare.
Mi sembrano due ragionamenti simili.
Ovviamente se $Sigma'$ fosse infinita allora lì perderebbe senso il tutto, perché come dici avrei bei problemi a integrare.
Ma perché vuoi prendere superfici infinite se il mondo in cui vivi è finito? E quand'anche fosse infinito, come lo misureresti? La superficie su cui integri è finita, non ti perdere in voli pindarici che terminano tutti con un fragoroso schianto. Le linee del campo magnetico si richiudono su se stesse, comunque tu prenda una superficie chiusa e quindi FINITA per definizione, avrai che tante linee entrano e tante escono. Se prendi una superficie matematica infinita stai in realtà considerando una "palla senza bordo". Come dire un intervallo con estremi aperti, per dirla in una dimensione. Ma se prendi un insieme aperto allora stai escludendo la frontiera che è esattamente dove vuoi andare ad integrare.
Mi hai convinto! Grazie mille delle dettagliate e profonde delucidazioni
Cercando una risposta a una domanda che mi sono posta sono arrivata qui. Non riesco a capire una dimostrazione simile per il campo elettrico.
Il professore ha illustrato questa slide
Ma nell'esempio proposto il campo E da una parte entra, dall'altra esce quindi mi torna bene che si ha una differenza $E_1-E_2$ calcolando il flusso alla superficie scelta.
Però nessuno mi vieta che il campo E nei punti 1 e 2 abbia direzioni opposte uscenti (es: E1 diretto a sx ed E2 diretto a dx, contrariamente alla figura); così che il prodotto scalare della normale per il campo è positivo sempre come contributo. Così però arrivo ad applicare gauss come:
$[E_2+E_1]dA=(sigma*dA)/epsilon_0$ che non rappresenta più un $DeltaE$.
Non mi torna qualcosa di questa dimostrazione.
Il professore ha illustrato questa slide
Ma nell'esempio proposto il campo E da una parte entra, dall'altra esce quindi mi torna bene che si ha una differenza $E_1-E_2$ calcolando il flusso alla superficie scelta.
Però nessuno mi vieta che il campo E nei punti 1 e 2 abbia direzioni opposte uscenti (es: E1 diretto a sx ed E2 diretto a dx, contrariamente alla figura); così che il prodotto scalare della normale per il campo è positivo sempre come contributo. Così però arrivo ad applicare gauss come:
$[E_2+E_1]dA=(sigma*dA)/epsilon_0$ che non rappresenta più un $DeltaE$.
Non mi torna qualcosa di questa dimostrazione.
Visto il riferimento alla figura, con quell'orientamento per i versori, indicando con $E_\bot (P_i)=\vec E_i\cdot \hat n_i$ le componenti normali dei campi elettrici, le stesse dovranno essere (in ogni caso [nota]Indipendentemente da quale sia la direzione dei due campi elettrici.[/nota]) sommate e non sottratte, per ottenere $\Delta E$.
Scusa ma temo di essermi spigata male 
. Ovviamente è giusto, ma il dubbio permane ed è diveso.
Iniziamo dal caso in figura che chiamo A) e poi il caso B) ossia con un campo $E_1$ diretto verso sinistra.
A) Applico Gauss: $\vec E_1\cdot \hat n_1dA+\vec E_2\cdot \hat n_2dA=[-E_(\bot 1)+E_(\bot 2)]dA=(sigmadA)/epsilon_0$
Quindi: $DeltaE=E_2-E_1=sigma/epsilon_0$
Ho un delta dato dal prodotto scalare che mi restituisce il segno adeguato.
B) Qui mica tanto, proprio perché E1 concorde la normale uscente n1...
$\vec E_1\cdot \hat n_1dA+\vec E_2\cdot \hat n_2dA=[E_(\bot 1)+E_(\bot 2)]dA=(sigmadA)/epsilon_0$
Ho dimostrato che $E_1+E_2=sigma/epsilon_0$ poiché non ho un delta ma E1+E2, non sto valutanto una discontinuità.
. Ovviamente è giusto, ma il dubbio permane ed è diveso.Iniziamo dal caso in figura che chiamo A) e poi il caso B) ossia con un campo $E_1$ diretto verso sinistra.
A) Applico Gauss: $\vec E_1\cdot \hat n_1dA+\vec E_2\cdot \hat n_2dA=[-E_(\bot 1)+E_(\bot 2)]dA=(sigmadA)/epsilon_0$
Quindi: $DeltaE=E_2-E_1=sigma/epsilon_0$
Ho un delta dato dal prodotto scalare che mi restituisce il segno adeguato.
B) Qui mica tanto, proprio perché E1 concorde la normale uscente n1...
$\vec E_1\cdot \hat n_1dA+\vec E_2\cdot \hat n_2dA=[E_(\bot 1)+E_(\bot 2)]dA=(sigmadA)/epsilon_0$
Ho dimostrato che $E_1+E_2=sigma/epsilon_0$ poiché non ho un delta ma E1+E2, non sto valutanto una discontinuità.
"saltimbanca":
... Ovviamente è giusto, ...
Che cosa è giusto?
Ripeto quanto già scritto, non serve distinguere quale sia la direzione dei due campi elettrici, se quelli indicati con $\hat n_i$ sono i versori normali alla superficie, andando a considerare le due componenti normali attraverso i prodotti scalari $\vecE_i \cdot \hat n_i$, quanto scritto in quella slide è errato in quanto le due componenti (destra e sinistra) perpendicolari alla superficie, devono essere sommate non sottratte, per ottenere il $\Delta E$.
Ok allora c'è qualcosa che non ho ancora capito.
Dicevo ovviamente nel senso che vanno sommati i contributi $\vecE_i*\vecn_i$, però dal prodotto scalare esce il segno: se E ed n formano angolo <90° è positivo, altrimenti negativo.
Quindi sommo i prodotti scalari e una volta moltiplicati le componenti potrebbero sommarsi o sottrarsi a seconda che sia > (o <)90°.
Il punto è che nel mio esempio B) si sommano (le componenti) e non ho un $DeltaE$. Quindi quando n è concorde con E (esempio B) non ho un delta, non valuto una discontinuità (discontinuità vuol dire valutare la differenza di qualcosa per definizione) e questo non mi torna
Grazie
Dicevo ovviamente nel senso che vanno sommati i contributi $\vecE_i*\vecn_i$, però dal prodotto scalare esce il segno: se E ed n formano angolo <90° è positivo, altrimenti negativo.
Quindi sommo i prodotti scalari e una volta moltiplicati le componenti potrebbero sommarsi o sottrarsi a seconda che sia > (o <)90°.
Il punto è che nel mio esempio B) si sommano (le componenti) e non ho un $DeltaE$. Quindi quando n è concorde con E (esempio B) non ho un delta, non valuto una discontinuità (discontinuità vuol dire valutare la differenza di qualcosa per definizione) e questo non mi torna
Grazie
"saltimbanca":
... Dicevo ovviamente nel senso che vanno sommati i contributi $\vecE_i*\vecn_1$, però dal prodotto scalare esce il segno: se E ed n formano angolo <90° è positivo, altrimenti negativo. ...
Certo che esce un segno, automaticamente.
"saltimbanca":
... Quindi sommo i prodotti scalari e una volta moltiplicati le componenti potrebbero sommarsi o sottrarsi a seconda che sia > (o <)90°. ...
Esatto.
"saltimbanca":
... Il punto è che nel mio esempio B) si sommano e non ho un $DeltaE$. Quindi quando n è concorde con E non ho un delta, non valuto una discontinuità ...
Certo che hai un $DeltaE$, pari alla somma dei due termini positivi; e hai quindi la discontinuità.
Se abbiamo detto che non c'è da distinguere A da B, ma usare sempre la somma dei prodotti scalari perché continui a distinguere?
La effettiva somma o differenza è già inclusa nei due termini dei prodott1 scalari.
"RenzoDF":
Certo che hai un $DeltaE$, pari alla somma dei due termini positivi; e hai quindi la discontinuità.
Sono stupida, l'errore era qui. Ero convinta di dover sempre avere segno meno... ma in effetti la discontinuità può essere somma di due potivi.
Mi era chiaro di non distinguere, ma io cercavo in modo idiota di ottenere sempre una differenza, non so perché mi fossi fossilizzata su questa cosa
ripetendomidiscontinuità vuol dire valutare la differenza di qualcosa per definizione
ovviamente falso!
Molto molto gentile! Ti ringrazio.
[Post poco chiaro]
"saltimbanca":
... ... in realtà avrei usato una notazione diversa tipo disconinuità= $\vecE_1*\vecn_1+\vecE_2*\vecn_2$ mi sembra più corretto ...
Accorgendomi solo ora di questa tua relazione, ti ricordo che quei vettori, coincidono con i versori e quindi quella somma rimarrebbe scalare.
Scusa, ho visto solo ora il tuo edit, grazie mille.
Sì, direi che ora mi è del tutto chiaro.
Grazie davvero tanto!
Sì, direi che ora mi è del tutto chiaro.
Grazie davvero tanto!
Di nulla!
"saltimbanca":
... in realtà avrei usato una notazione diversa tipo disconinuità= $\vecE_1*\vecn_1+\vecE_2*\vecn_2$ mi sembra più corretto ...
Accorgendomi solo ora di questa tua relazione, ti ricordo che quei vettori $\vec n_i$, coincidono con i versori e quindi quella somma rimarrebbe scalare e uguale alla precedente.
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