Dimostrazione di fisica, il momento di un corpo rigido

[Dany_951]

Ciao a tutti.
Nelle dispense di fisica 1 mi sono imbattuto in una dimostrazione, in cui non ho capito un passaggio, ma per completezza la posto per intero.
Si tratta di dimostrare che il momento delle forze di un corpo rigido è la derivata rispetto al tempo del momento quantità di moto rispetto al tempo. In formule:

$\vec M = d\vec L/dt$

con $\vec M=\int_V \vec r xx d\vec F(x,y,z)$ e $\vec L = \int_V \vec r xx d\vecp$

$\vec r$ = vettore posizione, rispetto all'origine
$\vec F$ = vettore forza
$\vec p$ = vettore quantità di moto



La dimostrazione si svolge nel modo seguente:

$\vec M = int_V\vec r xx d\vec F(x,y,z)=\int_V \vec r xx dm(d^2\vec q/dt^2)$ (per il secondo principio della dinamica e con $\vec q$ viene indicato il vettore posizione rispetto ad un punto arbitrario, mentre $\vec r$ lo è rispetto all'origine)

Ed ora il passaggio che non ho capito:
$\int_V \vec r xx dm(d^2\vec q/dt^2)=d/dt \int_V \vec r xx dm(dq/dt)-int_V d\vec r/dt xx d\vec q/dt dm$

e supponendo di prendere anche $\vec q$ rispetto all'origine ottengo ($\vec r$ e $\vec q$ sono paralleli, quindi il prodotto vettoriale è nullo):
$= d/dt\int_V\vec rxxd\vec p - 0= d\vec L/dt$




Ho solo bisogno di capire il passaggio segnato in rosso, il resto è OK

[Sk_Anonymous]

Si tratta di scrivere la derivata di un prodotto vettoriale, e di isolare uno dei due termini :

$d/(dt) (vecrxx(dvecq)/(dt)) = (dvecr)/(dt)xx(dvecq)/(dt) + vecrxx(d^2vecq)/(dt^2) $

da cui, isolando l'ultimo termine :

$vecrxx(d^2vecq)/(dt^2) = d/(dt) (vecrxx(dvecq)/(dt) ) - (dvecr)/(dt)xx(dvecq)/(dt) $

Ho posto $dm = 1$ .

[Dany_951]

Grazie