Dimostrazione [Cinematica]

[matteol1]

un corpo vincolato a muoversi lungo l'asse x, percorre una distanza $d1$ a velocità costante $v1$ impiegando un tempo $t1$. Poi cambia istantaneamente velocità e prosegue per una distanza $d2$ a una velocità $v2$ e un tempo $t2$. Dimostrare che : ... e poi verificare sotto quali condizioni vale il segno di uguaglianza.

$(va_1da_1 + va_2da_2) / (da_1 + da_2) >= (va_1ta_1 + va_2ta_2) / (ta_1 + ta_2)

ho proceduto così:
il secondo termine risulta uguale a : $(da_1 + da_) / (ta_1+ta_2) = \bar{V}$

dove $\bar{V}$ è la velocità scalare media

ora però non so come continuare.

[strangolatoremancino]

Allora, $v_1,d_1, t_1$ per il primo tratto, $v_2,d_2, t_2$ per il secondo tratto; dobbiamo dimostrare che

$(v_1*d_1 + v_2*d_2) / (d_1 + d_2) >= (v_1*t_1 + v_2*t_2) / (t_1 + t_2)$

assumiamo che parta dall'origine del nostro asse e che si muova nel verso positivo, quindi

$(v_1*d_1 + v_2*d_2) / (d_1 + d_2) - (v_1*t_1 + v_2*t_2) / (t_1 + t_2)>= 0$

sommiamo le frazioni

$((v_1*d_1 + v_2*d_2)*(t_1 + t_2) - (v_1*t_1 + v_2*t_2)*(d_1 + d_2))/ ((d_1 + d_2)*(t_1 + t_2)) >= 0$

limitiamo lo studio al solo numeratore in quanto il denominatore è sempre positivo

$(v_1*d_1 + v_2*d_2)*(t_1 + t_2) - (v_1*t_1 + v_2*t_2)*(d_1 + d_2)>= 0$

moltiplicando e ricordando le relazioni che intercorrono tra $v$, $d$ e $t$

$d_1^2 + v_1*d_1*t_2 + v_2*d_2*t_1 + d_2^2 - d_1^2 - d_1*d_2 - d_1*d_2 - d_2^2 >= 0$

ci ritroviamo con

$v_1*d_1*t_2 + v_2*d_2*t_1 - 2*d_1*d_2 >= 0$

riscriviamo i primi due termini

$d_1^2*t_2/t_1 + d_2^*t_1/t_2 - 2*d_1*d_2 >= 0$

raccogliamo il fattore $1/(t_1*t_2)$, sicuramente positivo e consideriamo quello che rimane

$d_1^2*t_2^2 + d_2^*t_1^2 - 2*d_1*d_2*t_1*t_2 >= 0$

quella quantità è il quadrato del binomio

$(d_1*t_2 - d_2*t_1)^2 >= 0$

sempre verificata. In particolare vale l'uguaglianza se

$d_1*t_2 - d_2*t_1=0$

cioè $d_1/d_2 = t_1/t_2$

salvo errori naturalmente.

P.S. probabilmente c'è un metodo più veloce, ma per lo meno è venuto (credo )

[strangolatoremancino]

ehm , $d_1/d_2=t_1/t_2$ quindi $v_1=v_2$

[matteol1]

chiaro ... la mia impostazione era errata quindi ...
anche se non ho ben capito che implicazioni pratiche possa avere quella relazione .

[strangolatoremancino]

Un osservazione che mi viene in mente è questa:

come tu hai fatto notare, si ha che $(d_1 + d_2) / (t_1+t_2)$ è la velocità media $\bar{V}$;quindi

$(d_1 + d_2) / (t_1 + t_2) <= (v_1*d_1 + v_2*d_2)/(v_1*t_1 + v_2*t_2)$

ovvero

$\bar{V}<= (v_1*d_1 + v_2*d_2)/(d_1 + d_2)$

cioè la velocità media del percorso è minore o uguale (nella condizione di cui sopra) alla media ponderata delle velocità, dove i pesi sono le distanze percorse.

[Falco5x]

Giuste conclusioni, anche se non riesco a vedere un granché di significato in questo esercizio.

[Steven11]

[mod="Steven"]Titolo modificato.
Evitare in futuro, per una migliore navigazione da parte dei visitatori, titoli generici (era "dimostrazione").[/mod]

[matteol1]

scusa ... la prossima voltà starò più attento!