Dimostrazione accelerazione di Coriolis
Salve a tutti!!
Avrei bisogno di qualche chiarimento in merito alla dimostrazione riportata a pag. 27-28 del seguente indirizzo:
http://www.pd.infn.it/~psartori/Corso%2 ... lativi.pdf
In particolare, mi chiedevo:
1) come mai, a pag. 27, la lunghezza dell'arco compreso tra B e A' dovrebbe essere uguale a:
$d_A = v_At\$
Questa è senz'altro la lunghezza dell'arco descritto da A nel tempo t durante la rotazione della piattaforma (sulla circonferenza su cui si trova A), ma non capisco perchè dovrebbe coincidere con la misura dell'arco compreso tra B e A'... In particolare, non mi è neanche ben chiaro perchè, nelle equazioni della slide, si consideri il tempo t impiegato dalla palla a percorrere, alla velocità $v\$, la distanza radiale tra B ed A , invece di considerare la velocità risultante tra $v\$ e $v_A\$ (il vettore obliquo, tanto per intenderci...).
2) alla pagina successiva, la velocità della palla è sempre considerata rispetto ad un riferimento inerziale o rispetto a B? Se è considerata rispetto a B, è giusto che sia sempre uguale a v? Cioè, rispetto ai due riferimenti, la velocità della palla è sempre la stessa??
3) come mai, infine, a pag. 28, risulta che l'accelerazione con cui viene descritto l'arco A'B rispetto a B sarebbe proprio uguale all'accelerazione di Coriolis che volevamo dimostrare?? L'accelerazione di Coriolis non dovrebbe essere responsabile del solo incurvamento della traiettoria della palla rispetto a B? In ultima analisi, perchè posso dimostrare l'espressione dell'accelerazione di Coriolis con questo procedimento?
Purtroppo la dimostrazione è molto sintetica e tralascia la spiegazione di alcuni passaggi... Ringrazio anticipatamente chiunque vorrà rispondermi!!
Avrei bisogno di qualche chiarimento in merito alla dimostrazione riportata a pag. 27-28 del seguente indirizzo:
http://www.pd.infn.it/~psartori/Corso%2 ... lativi.pdf
In particolare, mi chiedevo:
1) come mai, a pag. 27, la lunghezza dell'arco compreso tra B e A' dovrebbe essere uguale a:
$d_A = v_At\$
Questa è senz'altro la lunghezza dell'arco descritto da A nel tempo t durante la rotazione della piattaforma (sulla circonferenza su cui si trova A), ma non capisco perchè dovrebbe coincidere con la misura dell'arco compreso tra B e A'... In particolare, non mi è neanche ben chiaro perchè, nelle equazioni della slide, si consideri il tempo t impiegato dalla palla a percorrere, alla velocità $v\$, la distanza radiale tra B ed A , invece di considerare la velocità risultante tra $v\$ e $v_A\$ (il vettore obliquo, tanto per intenderci...).
2) alla pagina successiva, la velocità della palla è sempre considerata rispetto ad un riferimento inerziale o rispetto a B? Se è considerata rispetto a B, è giusto che sia sempre uguale a v? Cioè, rispetto ai due riferimenti, la velocità della palla è sempre la stessa??
3) come mai, infine, a pag. 28, risulta che l'accelerazione con cui viene descritto l'arco A'B rispetto a B sarebbe proprio uguale all'accelerazione di Coriolis che volevamo dimostrare?? L'accelerazione di Coriolis non dovrebbe essere responsabile del solo incurvamento della traiettoria della palla rispetto a B? In ultima analisi, perchè posso dimostrare l'espressione dell'accelerazione di Coriolis con questo procedimento?
Purtroppo la dimostrazione è molto sintetica e tralascia la spiegazione di alcuni passaggi... Ringrazio anticipatamente chiunque vorrà rispondermi!!
Risposte
Nash, in effetti se dovessi capire l'accelerazione di Coriolis e la forza che ne deriva dalle slides che hai pubblicato farei un po' fatica...
Guarda questa discussione di qualche mese fa, e fammi sapere se qualcosa ti aiuta. L'esempio che ho riportato è tratto dal Goldstein " Meccanica Classica" . Mi spiace che non si vedano più i disegni di lordb.
analisi-vettoriale-della-velocita-in-sistema-non-inerziale-t94485.html?hilit=%20coriolis
Guarda questa discussione di qualche mese fa, e fammi sapere se qualcosa ti aiuta. L'esempio che ho riportato è tratto dal Goldstein " Meccanica Classica" . Mi spiace che non si vedano più i disegni di lordb.
analisi-vettoriale-della-velocita-in-sistema-non-inerziale-t94485.html?hilit=%20coriolis
Eh, lo so... non è un granchè come dimostrazione... il problema è che mi servirebbe capirla bene, perchè sugli appunti della mia prof. è fatta così (anzi, forse è spiegata anche peggio...). La discussione cui mi hai rimandato l'ho letta, ma non risolve i miei dubbi relativi a questo particolare caso (pur essendomi stata molto utile per capire meglio la forza di Coriolis in generale...). Avresti mica la sacrosanta pazienza di guardare e spiegarmi un po' meglio quelle due slide? Non riesco proprio a capire i tre punti che ti ho elencato... Te ne sarei veramente grato!!
Domani vedrò che cosa posso dirti...comunque ti esorto a fare qualche ricerca in rete, a volte si trova qualcosa di buono.
Ricerche in rete ne ho fatte a bizzeffe, ma più del pdf che ho linkato non sono proprio riuscito a trovare... Attendo, allora, tue delucidazioni. Grazie mille.
Mi sono imbattuto in questo breve e simpatico filmato sulla forza di Coriolis. Non c'è nulla di matematico, ma seondo me vale la pena di dare un'occhiata.
http://www.youtube.com/watch?v=49JwbrXcPjc
In quest'altro link la forza di Coriolis è spiegata in maniera più scientifica, senza formule. Certo,è in Inglese. Però direi che si capisce abbastanza.
http://www.youtube.com/watch?feature=pl ... fDQeKAyVag
La dimostrazione delle slides da te postate è piuttosto... garibaldina. Non è vero che la traiettoria relativa alla piattaforma rotante sia una parabola. È una spirale di Archimede, la palla è sottoposta alla risultante di due forze apparenti, la forza centrifuga e la forza di Coriolis.
Guarda anche questo link, dove ho cercato di spiegare l'origine della accelerazione di Coriolis, dovuta essenzialmente a due cause : lo spostamento in direzione radiale del punto P con velocita relativa $v_r$ , e la rotazione della direzione radiale con velocita angolare $\omega$ . Credo che se ti fai un disegno dovrebbe bastarti.
moto-relativo-di-roto-traslazione-t99768.html?hilit=coriolis#p659514
http://www.youtube.com/watch?v=49JwbrXcPjc
In quest'altro link la forza di Coriolis è spiegata in maniera più scientifica, senza formule. Certo,è in Inglese. Però direi che si capisce abbastanza.
http://www.youtube.com/watch?feature=pl ... fDQeKAyVag
La dimostrazione delle slides da te postate è piuttosto... garibaldina. Non è vero che la traiettoria relativa alla piattaforma rotante sia una parabola. È una spirale di Archimede, la palla è sottoposta alla risultante di due forze apparenti, la forza centrifuga e la forza di Coriolis.
Guarda anche questo link, dove ho cercato di spiegare l'origine della accelerazione di Coriolis, dovuta essenzialmente a due cause : lo spostamento in direzione radiale del punto P con velocita relativa $v_r$ , e la rotazione della direzione radiale con velocita angolare $\omega$ . Credo che se ti fai un disegno dovrebbe bastarti.
moto-relativo-di-roto-traslazione-t99768.html?hilit=coriolis#p659514
Grazie navigatore!! Allora quella dimostrazione mi sa che la lascerò perdere (sperando che la prof. non me la chieda!!)... perchè proprio non si capisce dove voglia andare a parare! Solo una cosa volevo ancora chiederti... se la palla è lanciata in aria (quindi non tocca la piattaforma) l'unica forza apparente in gioco non è quella di Coriolis? In questo caso, la traiettoria non è un semplice arco di circonferenza? Perchè non ho ben chiaro il discorso sulla spirale... grazie ancora!
Nash, sulla forza di Coriolis e i suoi effetti ci sono molti fraintendimenti, ed io stesso non posso certamente dirmi un esperto in proposito!
Ho trovato quest'altro documento, in cui un egregio fisico esegue una approfondita disamina del problema, ed evidenzia anche alcuni .....errori comuni e cattive interpretazioni. Il livello è avanzato, lo so. Ma quello che mi sembra importante sottolineare è questo : ciò che noi vediamo e percepiamo è l'effetto cumulativo di forza centrifuga e forza di Coriolis, che l'autore chiama " forza inerziale totale"
http://retro.met.no/english/topics/nome ... riolis.pdf
Guarda in particolare il par. 5 a pag 9 e 10, e la figura 10, dove tale forza inerziale totale è evidenziata. La spiegazione riportata al di sopra della fig. 10 dice chiaramente che la traiettoria è una curva spirale di Archimede.
Le fig 11 ( stranamente ci sono due figure con lo stesso numero! ) ribadiscono il concetto.
Infine, il par 11 e la figura 20 riportano la derivazione semplificata di Bertrand, che l'autore definisce: "deceptive" (trovati pure il significato!). Ebbene, questa derivazione è proprio quella "disinvolta" delle tue slides.
Non si può giustificare il fattore $2$ dell' accelerazione di Coriolis semplicemente ponendo:
$s = \omega*v*t^2 =1/2*(2\omega*v)*t^2$ , e quindi dire che il moto è parabolico, con accelerazione $2*\omega*v$.
LA spirale di Archimede ,se non erro, è la curva descritta da un punto che si muove con velocità radiale costante mentre il raggio ruota con velocità angolare costante : è quello che succede alle palle di cannone, rispetto ad un osservatore solidale con la piattaforma rotante.
Su internet trovi quanti siti vuoi sulla spirale di Archimede. Ciao.
Ho trovato quest'altro documento, in cui un egregio fisico esegue una approfondita disamina del problema, ed evidenzia anche alcuni .....errori comuni e cattive interpretazioni. Il livello è avanzato, lo so. Ma quello che mi sembra importante sottolineare è questo : ciò che noi vediamo e percepiamo è l'effetto cumulativo di forza centrifuga e forza di Coriolis, che l'autore chiama " forza inerziale totale"
http://retro.met.no/english/topics/nome ... riolis.pdf
Guarda in particolare il par. 5 a pag 9 e 10, e la figura 10, dove tale forza inerziale totale è evidenziata. La spiegazione riportata al di sopra della fig. 10 dice chiaramente che la traiettoria è una curva spirale di Archimede.
Le fig 11 ( stranamente ci sono due figure con lo stesso numero! ) ribadiscono il concetto.
Infine, il par 11 e la figura 20 riportano la derivazione semplificata di Bertrand, che l'autore definisce: "deceptive" (trovati pure il significato!). Ebbene, questa derivazione è proprio quella "disinvolta" delle tue slides.
Non si può giustificare il fattore $2$ dell' accelerazione di Coriolis semplicemente ponendo:
$s = \omega*v*t^2 =1/2*(2\omega*v)*t^2$ , e quindi dire che il moto è parabolico, con accelerazione $2*\omega*v$.
LA spirale di Archimede ,se non erro, è la curva descritta da un punto che si muove con velocità radiale costante mentre il raggio ruota con velocità angolare costante : è quello che succede alle palle di cannone, rispetto ad un osservatore solidale con la piattaforma rotante.
Su internet trovi quanti siti vuoi sulla spirale di Archimede. Ciao.
Ok, grazie, inizio un po' a schiarirmi le idee... però volevo ancora capire una cosa: si può avere solo forza di Coriolis senza forza centrifuga? O la forza di Coriolis implica anche la presenza di una forza centrifuga? Altrimenti, in presenza della sola forza di Coriolis, la traiettoria seguita dal corpo rispetto al sistema rotante sarebbe ancora una spirale di Archimede o una semplice circonferenza? Grazie ancora!
In generale la forza centrifuga e di Coriolis sono indissolubilmente accoppiate e non sono facili da separare.
Come però è descritto anche nel bel articolo a cui si riferisce navigatore, è possibile nell'esperimento della piattaforma rotante rimuovere il contributo centrifugo.
Basta realizzare una piattaforama rotante non piana ma a forma di paraboloide (è la superficie assunta del pelo libero di un liquido quando lo si fa girare a una data velocità angolare attorno ad un asse verticale), infatti in rotazione poggiando un punto materiale sulla pedana questo rimane fermo (rispetto alla pedana) perché la forza di reazione della pedana bilancia la forza centrifuga più la forza peso.
In quelle condizioni si vedrebbe che un punto lanciato sulla pedana descriverebbe per un osservatore sulla pedana una circonferenza, trascurando la variazione di quota sulla superficie a paraboloide, e non una spirale (neanche in questo caso la parabola c'entra nulla).
Direi quindi di prendere la parte di appunti del tuo professore che si riferisce a Coriolis e buttarla via (puoi pragmaticamente far finta di impararla un minimo per l'esame, ma tieni conto che quella trattazione è errata).
L'espressione dell'accelerazione di Coriolis si dimostra con pochi passaggi considerando le derivate di vettori solidali e applicando la formula di Poisson: è la trattazione che si fa in meccanica razionale. Quella è la trattazione che io preferisco, le altre hanno sempre delle semplificazioni non del tutto corrette infatti.
La riporto di seguito.
Consideriamo un punto materiale in un sistema di riferimento assoluto inerziale e scriviamo la sua posizione in funzione di un altro sistema di riferimento rotante.
La posizione assoluta del punto $P$ la indichiamo con
$\vec (R)= \vec(r) + \vec (R_0)$
dove $vec(r)$ è la posizione nel sistema di riferimento relativo rotante e $vec(R_0)$ la posizione dell'origine del sistema di riferimento rotante rispetto al fisso.
Derivando rispetto al tempo otteniamo la velocità:
$vec(v)=vec(v_r)+vec(omega) \times vec(r) + vec(v_0)$
(osserva che applichiamo la derivazione di Poisson ogni volta che dobbiamo derivare un vettore nel sistema di riferimento rotante in cui occorre tener conto che i versori ruotano).
Derivando ancora si ottiene:
$vec(a)=vec(a_r)+vec(omega) \times vec(v_r)+vec(\alpha) \times vec(r)+ vec(omega) \times (vec(omega) \times vec(r))+ vec(omega) \times vec(v_r) + vec(a_o)$
dove i primi due addendi vengono dalla derivata di $vec(v_r)$, il terzo, il quarto e il quinto da quella di $vec(omega) \times vec (r)$ (precisamente il terzo è la derivata di $vec omega$ che moltiplica $vec r$, mentre il quarto e il quinto sono dovuti a $vec omega$ che moltiplica la derivata di $vec r$), l'ultimo è la derivata di $vec (v_0)$.
Quindi alla fine:
$vec(a)=vec(a_r)+vec(\alpha) \times vec(r)+vec(a_o) + vec(omega) \times (vec(omega) \times vec(r)) +2 vec(omega) \times vec(v_r)$
dove il primo addendo è la classica accelerazione relativa nel sistema rotante, il secondo e il terzo sono il contributo dell'accelerazione di trascinamento del sistema mobile (uno dovuto all'accelerazione angolare l'altro a quella dell'origine del sistema mobile), il terzo è l'accelerazione centripeta e il quarto infine l'accelerazione di Coriolis.
Come però è descritto anche nel bel articolo a cui si riferisce navigatore, è possibile nell'esperimento della piattaforma rotante rimuovere il contributo centrifugo.
Basta realizzare una piattaforama rotante non piana ma a forma di paraboloide (è la superficie assunta del pelo libero di un liquido quando lo si fa girare a una data velocità angolare attorno ad un asse verticale), infatti in rotazione poggiando un punto materiale sulla pedana questo rimane fermo (rispetto alla pedana) perché la forza di reazione della pedana bilancia la forza centrifuga più la forza peso.
In quelle condizioni si vedrebbe che un punto lanciato sulla pedana descriverebbe per un osservatore sulla pedana una circonferenza, trascurando la variazione di quota sulla superficie a paraboloide, e non una spirale (neanche in questo caso la parabola c'entra nulla).
Direi quindi di prendere la parte di appunti del tuo professore che si riferisce a Coriolis e buttarla via (puoi pragmaticamente far finta di impararla un minimo per l'esame, ma tieni conto che quella trattazione è errata).
L'espressione dell'accelerazione di Coriolis si dimostra con pochi passaggi considerando le derivate di vettori solidali e applicando la formula di Poisson: è la trattazione che si fa in meccanica razionale. Quella è la trattazione che io preferisco, le altre hanno sempre delle semplificazioni non del tutto corrette infatti.
La riporto di seguito.
Consideriamo un punto materiale in un sistema di riferimento assoluto inerziale e scriviamo la sua posizione in funzione di un altro sistema di riferimento rotante.
La posizione assoluta del punto $P$ la indichiamo con
$\vec (R)= \vec(r) + \vec (R_0)$
dove $vec(r)$ è la posizione nel sistema di riferimento relativo rotante e $vec(R_0)$ la posizione dell'origine del sistema di riferimento rotante rispetto al fisso.
Derivando rispetto al tempo otteniamo la velocità:
$vec(v)=vec(v_r)+vec(omega) \times vec(r) + vec(v_0)$
(osserva che applichiamo la derivazione di Poisson ogni volta che dobbiamo derivare un vettore nel sistema di riferimento rotante in cui occorre tener conto che i versori ruotano).
Derivando ancora si ottiene:
$vec(a)=vec(a_r)+vec(omega) \times vec(v_r)+vec(\alpha) \times vec(r)+ vec(omega) \times (vec(omega) \times vec(r))+ vec(omega) \times vec(v_r) + vec(a_o)$
dove i primi due addendi vengono dalla derivata di $vec(v_r)$, il terzo, il quarto e il quinto da quella di $vec(omega) \times vec (r)$ (precisamente il terzo è la derivata di $vec omega$ che moltiplica $vec r$, mentre il quarto e il quinto sono dovuti a $vec omega$ che moltiplica la derivata di $vec r$), l'ultimo è la derivata di $vec (v_0)$.
Quindi alla fine:
$vec(a)=vec(a_r)+vec(\alpha) \times vec(r)+vec(a_o) + vec(omega) \times (vec(omega) \times vec(r)) +2 vec(omega) \times vec(v_r)$
dove il primo addendo è la classica accelerazione relativa nel sistema rotante, il secondo e il terzo sono il contributo dell'accelerazione di trascinamento del sistema mobile (uno dovuto all'accelerazione angolare l'altro a quella dell'origine del sistema mobile), il terzo è l'accelerazione centripeta e il quarto infine l'accelerazione di Coriolis.
Grazie Faussone per il tuo intervento, Stavo giusto fornendo un'ulteriore risposta a Nash, perchè ho capito il suo dubbio, e perciò mi stavo studiando l'articolo del professore che ho linkato.
In particolare, il paragrafo 7 dà quella che mi sembra una possibile risposta al legittimo dubbio di Nash.
Dice NAsh: "ma se agisce solo la forza di Coriolis, e non la centrifuga, nel riferimento rotante la traiettoria è ancora una spirale di Archimede? Il mio dubbio nasce dal fatto che la palla lanciata da A che è al centro verso B che è sulla circonferenza viaggia in aria, non ha contatto fisico con la piattaforma rotante, e quindi non ne sente la forza centrifuga! E allora, per me la traiettoria è un arco di cerchio."
Bene Nash. Penso che proprio da quello che ti ha fatto notare Faussone, che si riferisce all'articolo del professore svedese, si possa dire che hai ragione!
Facendo esperimenti su una tavola rotante parabolica (come spiegato nell'articolo e riportato da Faussone), la quale "cancella" cioè equilibria la forza centrifuga, il punto mobile descrive, nel riferimento rotante, quello che nell'articolo è chiamato " inertia circle" . Insomma una circonferenza. Guarda pure il par. 7 dell'articolo. Abbi pazienza se è in Inglese.
E guarda pure quest'altro link : credo si tratti della descrizione di esperimenti eseguiti al MIT, accompagnati da una bella dose di trattazione matematica, piuttosto complessa.
http://www-paoc.mit.edu/labweb/lab5/ine ... circle.pdf
Bravo Nash !
In particolare, il paragrafo 7 dà quella che mi sembra una possibile risposta al legittimo dubbio di Nash.
Dice NAsh: "ma se agisce solo la forza di Coriolis, e non la centrifuga, nel riferimento rotante la traiettoria è ancora una spirale di Archimede? Il mio dubbio nasce dal fatto che la palla lanciata da A che è al centro verso B che è sulla circonferenza viaggia in aria, non ha contatto fisico con la piattaforma rotante, e quindi non ne sente la forza centrifuga! E allora, per me la traiettoria è un arco di cerchio."
Bene Nash. Penso che proprio da quello che ti ha fatto notare Faussone, che si riferisce all'articolo del professore svedese, si possa dire che hai ragione!
Facendo esperimenti su una tavola rotante parabolica (come spiegato nell'articolo e riportato da Faussone), la quale "cancella" cioè equilibria la forza centrifuga, il punto mobile descrive, nel riferimento rotante, quello che nell'articolo è chiamato " inertia circle" . Insomma una circonferenza. Guarda pure il par. 7 dell'articolo. Abbi pazienza se è in Inglese.
E guarda pure quest'altro link : credo si tratti della descrizione di esperimenti eseguiti al MIT, accompagnati da una bella dose di trattazione matematica, piuttosto complessa.
http://www-paoc.mit.edu/labweb/lab5/ine ... circle.pdf
Bravo Nash !
Per Faussone:
grazie mille per la dimostrazione.... in effetti l'avevo già trovata proprio su un libro di Meccanica Razionale e stavo pensando di studiarla al posto della dimostrazione delle slide... almeno con quella dovrei andare sul sicuro... al massimo il caso delle slide lo terrò come esempio un po' "qualitativo" di come la traiettoria venga modificata rispetto alla piattaforma rotante (tenendo presente che la parabola non c'entra nulla...).
Per navigatore:
il mio dubbio era proprio quello! Dunque, volendo schematizzare, abbiamo: solo Coriolis ---> circonferenza; Coriolis + centrifuga ---> spirale di Archimede. Grazie mille ancora!!!
grazie mille per la dimostrazione.... in effetti l'avevo già trovata proprio su un libro di Meccanica Razionale e stavo pensando di studiarla al posto della dimostrazione delle slide... almeno con quella dovrei andare sul sicuro... al massimo il caso delle slide lo terrò come esempio un po' "qualitativo" di come la traiettoria venga modificata rispetto alla piattaforma rotante (tenendo presente che la parabola non c'entra nulla...).
Per navigatore:
il mio dubbio era proprio quello! Dunque, volendo schematizzare, abbiamo: solo Coriolis ---> circonferenza; Coriolis + centrifuga ---> spirale di Archimede. Grazie mille ancora!!!
Si..ma ti consiglio di non schematizzare troppo queste nozioni di Meccanica...la dimostrazione rigorosa della genesi dell'accelerazione di Coriolis è quella che ti ha scritto Faussone.
Non è opportuno secondo me sintetizzare eccessivamente dei concetti importanti...se no succede che si cade in errore e si pensa che sia sempre così facile.
Non è opportuno secondo me sintetizzare eccessivamente dei concetti importanti...se no succede che si cade in errore e si pensa che sia sempre così facile.
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