Dimostrare il teorema di Gauss del flusso del campo elettrico (liceo)
Salve, ultimamente a scuola stiamo studiando il campo elettrico e il potenziale elettrico (al liceo). Una cosa che mi ha interessato è il teorema di Gauss del flusso del campo elettrico o meglio la dimostrazione di tale teorema. Ovviamente la prof non poteva fare la dimostrazione con gli integrali, ma io ci ho provato solo che non riesco a capire bene il perché della necessità di una superficie chiusa e come mai il valore dell'integrale alla fine non dipende dalla superficie ma solo dalla carica. Se poi ho capito bene, il fatto che il flusso del campo non dipenda dalla distribuzione di carica si deve alla linearità dell'integrale (giusto?), tuttavia non capisco il resto e ho come l'impressione di essermi dimenticato qualcosa di fondamentale degli integrali di superfici (ma in generale dell'integrazione su varietà) che potrebbe risolvere il problema. Per provare ha fare la dimostrazione ho anche provato col teorema di Stokes, però comunque non traggo niente di utile. Se non vi reca disturbo, qualcuno potrebbe aiutarmi a capire come dare una risposta a questo dubbio?
Risposte
Sono un po'confuso...sei al liceo ed hai studiato le forme, varietà e teorema di Stokes?
sì...da autodidatta, anche se non posso dire di averle capite a pieno, come traspare da questa semlice dimostrazione che non so fare e da altri messaggi.
Beh complimenti. Però se posso darti un consiglio ti direi di non prendere tutto lo scibile matematico e farlo così tanto per. Per aver intrapreso questa via immagino la tua brama di conoscenza ed anche il motivo per cui la matematica ti attiri così tanto. Io iniziai ad interessarmi degli aspetti logici con la filosofia al liceo. Poi scoprii la matematica ed il potere che vi è racchiuso è immenso. Condensare centinaia di parole in pochi simboli è un modo di manipolare la conoscenza che nessuna altra disciplina può fare. Poi raggiunsi un piacere ancora maggiore nell'usare la matematica nel mondo reale attraverso la fisica. Quindi, per tornare al consiglio che volevo darti, direi che per essere arrivato addirittura alla geometria differenziale tu abbia fatto come minimo algebra lineare, geometria analitica, analisi matematica di una e più variabili. Forse hai anche visto qualcosa di analisi in dimensione infinita. Però tutto questo è un mondo vasto che va gustato pian piano, farlo troppo velocemente solo per applicare qualche dimostrazione non solo è inutile (per me) ma anche pericoloso perché ciò che studierai dopo sarà basato su qualcosa che non ha appreso a fondo. Quindi ti direi di spendere gli anni che ti restano al liceo solo e unicamente sulla geometria analitica, algebra lineare e analisi di singola variabile. Se imparerai bene queste basi addirittura al liceo poi potrai spaccare le montagne se, come immagino, prenderai un indirizzo scientifico all'università. Ma è un mio consiglio, sentiti libero di fare come meglio credi 
. Tutto questo lo dico anche perché, come in questo caso, per chi ha studiato addirittura il teorema di Stokes, e lo ha capito, la dimostrazione del teorema di Gauss è più che immediata. Infatti il teorema di Gauss, o della divergenza, altro non è che il teorema di Stokes che coinvolge una 2-forma ed una 3-varietà. In virtù di quanto ho detto lascio scegliere a te: vuoi la spiegazione formale, magari con un po' di introduzione sugli oggetti matematici del caso, del teorema di Gauss oppure ti "accontenti" della dimostrazione/giustificazione fisica per la quale esso valga in quel modo generale( per ogni superficie chiusa etc)?
. Tutto questo lo dico anche perché, come in questo caso, per chi ha studiato addirittura il teorema di Stokes, e lo ha capito, la dimostrazione del teorema di Gauss è più che immediata. Infatti il teorema di Gauss, o della divergenza, altro non è che il teorema di Stokes che coinvolge una 2-forma ed una 3-varietà. In virtù di quanto ho detto lascio scegliere a te: vuoi la spiegazione formale, magari con un po' di introduzione sugli oggetti matematici del caso, del teorema di Gauss oppure ti "accontenti" della dimostrazione/giustificazione fisica per la quale esso valga in quel modo generale( per ogni superficie chiusa etc)?
Grazie per la risposta. Ti ringrazio per il consiglio, me l'hanno già dato in molti ed effettivamente lo sto seguendo (per adesso non sto studiando più da solo per via che manca il tempo, e anche perché con algebra astratta sono arrivato a non capirci più niente). Comunque per quanto riguarda la geometria differenziale, non l'ho ancora studiata, ma veniva in parte trattata in geometria 2, mentre analisi di oggetti a infinito-dimensioni non l'ho mai trattata bene, per via dell'eccessiva difficoltà. Per quanto riguarda l'ultima domanda, mi piacerebbe tanto conoscere la spiegazione formale, sempre se non ti disturba.
@Nikkikinki
OT: secondo te questa dimostrazione è giusta? Premetto che non ricordo "l'originale" e vorrei conferma anche se mi pare sensata.
@mklplo anche secondo me ti conviene prendertela easy. Io tra un po' manco sapevo cosa fosse un integrale dopo il primo danno di università
Se già sai che esiste la geometria differenziale sei avanti anni luce. Più che altro perché (non voglio sminuire il tuo intelletto) di solito ci vuole tempo per masticare certi concetti anche se magari ci sembrano semplici. Fidati che il programma del liceo (se padroneggiato con maestria) è notevole! Poi se proprio non resisti, io una dimostrazione l'ho scritta
OT: secondo te questa dimostrazione è giusta? Premetto che non ricordo "l'originale" e vorrei conferma anche se mi pare sensata.
@mklplo anche secondo me ti conviene prendertela easy. Io tra un po' manco sapevo cosa fosse un integrale dopo il primo danno di università
Se già sai che esiste la geometria differenziale sei avanti anni luce. Più che altro perché (non voglio sminuire il tuo intelletto) di solito ci vuole tempo per masticare certi concetti anche se magari ci sembrano semplici. Fidati che il programma del liceo (se padroneggiato con maestria) è notevole! Poi se proprio non resisti, io una dimostrazione l'ho scritta
Grazie per aver risposto. Penso che sul fatto della difficoltà di alcuni concetti siamo d'accordo (per non parlare delle dimostrazioni che mi risultano difficilissime), per questo sto cercando di non andare avanti, ma al massimo di affrontare ciò che ho studiato per capire meglio gli argomenti del liceo (sia in matematica che in fisica). Ti ringrazio anche per la dimostrazione, tuttavia non capisco cosa indichino i simboli $rho$ e $delta$. Se non ti reca disturbo, potresti spiegarmelo.
P.s:io del teorema di Gauss, so che il flusso è definito come integrale di superficie del campo elettrico (la cui unica espressione che conosco è quella riferita alla forza di Coulomb) e che tale flusso attraverso una superficie chiusa è pari alla carica totale fratto la costante dielettrica.
P.s:io del teorema di Gauss, so che il flusso è definito come integrale di superficie del campo elettrico (la cui unica espressione che conosco è quella riferita alla forza di Coulomb) e che tale flusso attraverso una superficie chiusa è pari alla carica totale fratto la costante dielettrica.
@dRic La dimostrazione ha senso e vive un po' a cavallo tra le due vie che avevo proposto a mklplo
@mklplo Immaginavo alla fine avresti chiesto la dimostrazione formale
. Quello che ha scritto dRic è corretto ma forse per te risulta un po' mascherato il significato dei vari passaggi, quindi opterei per un approccio più matematico che magari è più vicino anche a ciò che hai studiato. La $\delta(r)$ è un oggetto matematico che appartiene alle funzioni generalizzate o distribuzioni; in particolare si chiama Delta di Dirac. Sono certo che andrai subito a leggerti qualcosa a riguardo ma visto che non la conosci la lasciamo perdere possiamo farne a meno nella nostra dimostrazione, non è un problema. Quello che è un po' più un problema è che non sai che la $\rho(r)$ è la densità di carica del sistema interno alla superficie chiusa, della quale vogliamo calcolare il flusso. Procedo così. Inquadro prima il problema dal punto di vista matematico e giungiamo a dimostrare il teorema della divergenza. Alla fine vediamo di giustificare l'uso fisico di quella formula e cerchiamo di sorpassare la densità di carica.
Non sono sicuro, come ho detto, di quanto tu abbia assimilato del mondo del teorema di Stokes, quindi metto sul piatto in modo molto stringato prima quelle cose che servono per capirlo.
Si dicono forme differenziali $\omega_n$ gli oggetti che voglio integrare e differenziare.
Si dicono varietà differenziabili $c_n$ gli oggetti su cui voglio integrare e differenziare.
Mettiamoci assolutamente in $\mathbb{R}^3$ considerando quattro forme e varietà di dimensione $n=0,1,2,3$.
Le forme, in base alla loro dimensione, possono essere :
funzioni scalari $\omega_1=f(x,y,z)$
funzioni (campi) vettoriali $\omega_1=F(x,y,z)=(f,g,h)=f dx + g dy + h dz$ associate al concetto di integrale di linea
funzioni (campi) vettoriali $\omega_2=F(x,y,z)=(f,g,h)=f dy\timesdz + g dz\timesdx + h dx\timesdy$ (dato che ad es $dy\timesdz=dx$ si può riscrivere come la forma precedente) associate al concetto di integrale di superficie
funzioni $\omega_3=f(x,y,z)$ intese come densità.
Le varietà invece (evito di scrivere la rappresentazione matematica come insieme dei punti, dico solo cosa sono geometricamente) sono:
$c_0$ è un punto
$c_1$ è una curva
$c_2$ è una superficie
$c_3$ è un volume
Ci tengo a precisare, solo per rigore matematico, che sono tutte varietà orientabili quindi ad ognuna è associato un segno, seppur convenzionale.
A questo punto è chiaro cosa significa che
$\int_(c_0) \omega_0=\pmf(x_0,y_0,z_0)$
$\int_(c_1) \omega_1=\pm\int_(\gamma) F d\gamma$
etc...
Noterai che posso integrare solo $"n-forme"$ su $"n-varietà"$. Ci sono due operatori fondamentali: l'operatore di differenziazione $d$ e l'operatore di frontiera $\partial$. Su questi vado ancora più veloce sennò diventa una cosa infinita e non arriviamo mai al punto.
L'operatore $d$ , applicato alle forme, manda una $n$ forma in una $n+1$ forma. Quindi $d\omega_n=\omega_(n+1)$.
Rispetto alla classificazione che ho fatto prima e sperando che tu conosca il concetto di rotore, divergenza, prodotto scalare e vettoriale, otteniamo che (lasciami scrivere con abuso di notazione $d\vecx=dxdydz$)
$d\omega_0=\nablaf*d\vecx$
$d\omega_1="rot(F)"*d\vecx$
$d\omega_2="div(F)" dxdydz$
$d\omega_3=0$ (da qui capisci l'inutilità di considerare più di quattro forme su $\mathbb{R}^3$)
L'operatore $\partial$ ,applicato alle varietà, manca una $n$ varietà in una $n-1$ varietà. Qui la faccio semplice: se $c_1$ è una curva , la sua frontiera $\partialc_1=c_0$ è un punto. Se ho una superficie, la sua frontiera è una curva. Se ho un volume $c_3$ la sua frontiera è una superficie.
Ora saltiamo a piè pari tutta la trattazione sulle primitive delle $n$ forme per arrivare a questo benedetto teorema di Stokes che rappresenta la colonna portante di tutta l'analisi differenziale poiché lega gli operatori di frontiera a quelli differenziali.
Sia $\omega_(n-1)$ una $n-1$ forma su $\mathbb{R}^3$ (ma ovviamente vale anche in $\mathbb{R}^m$) e sia $c_n$ una $n$ varietà su $\mathbb{R}^3$, allora
$\int_(c_n) d\omega_(n-1)=\int_(\partialc_n) \omega_(n-1)$
Osserva, in base alle proprietà degli operatori introdotti, come l'integrazione sulla rispettiva dimensione sia mantenuta in quanto l'operatore differenziale aumenta di uno l'ordine della forma e la frontiera abbassi di uno l'ordine della varietà.
Ora da questo teorema, al variare di $n$, dimostri automaticamente (avremmo dovuto dimostrare il teorema di Stokes a rigore...ti lascio immaginare cosa sarebbe ) il teorema fondamentale del calcolo integrale, il teorema del rotore, della divergenza (gauss), le formule di gauss-green...
Ad esempio il teorema fondamentale del calcolo integrale si ha per $n=1$
$\int_(c_1) d\omega_0=\int_(\partialc_1) \omega_0$ $\Leftrightarrow$ $\int_(\gamma) F d\gamma=\phi(\gamma(b))-\phi(\gamma(a))$
Vediamo cosa succede per $n=3$
$\int_(c_3) d\omega_2=\int_(\partialc_3) \omega_2$ $\Leftrightarrow$ $\int_V "div(F)" dV=\int_(\partialV) F d\sigma$
Beh questo è il teorema di Gauss. $\int_(\partialV) F d\sigma$ è il flusso del campo attraverso la frontiera di un volume, non di una superficie aperta. Questo risponde alla tua domanda sul perchè la superficie deve essere chiusa. Se fosse aperta non ci sarebbe legame tra $c_3$ che è un volume (quindi superficie chiusa) e $\partialc_3$.
Ora abbiamo forse scritto qualcosa sulla forma materiale che deve avere il volume e quindi la sua frontiera? No. Vale per ogni volume. Attenzione solo al fatto che l'unica richiesta implicita è che il volume sia finito. Poi in fisica ovviamente si sistema spesso questa cosa per usarlo anche all'infinito ma la matematica richiede questo. Questo risponde alla tua domanda del perchè valga qualunque sia la forma della superficie.
Matematicamente abbiamo finito, ora manca l'ultimo tassello. Identifichiamo il campo $F$ con il cmapo elettrico $E$ scrivendo
$\int_V "div(E)" dV=\int_(\partialV) E d\sigma$ quindi indicando il flusso come $\Phi(E)$ abbiamo che
$\Phi(E)=\int_V "div(E)" dV$ . Insomma il tassello finale è chiedersi cosa sia la $"div(E)"$. Abbiamo credo tre vie:
1-Via del baro
Le equazioni che racchiudono l'essenza dell'elettromagnetismo sono dette equazioni di Maxwell. Questo tizio non fece altro che prendere i risultati derivanti da anni ed anni di osservazione e scriverli in modo formalmente elegante. Motivo per cui le equazioni prendono il suo nome e non quello di chi ci ha realmente gettato il sangue .
Una di queste equazioni dice $"div(E)"=\rho/\epsilon$. Dato che $\rho$ è la densità di carica significa moltiplicando questa densità (di volume) per l'elemento di volume $dV$ ottengo proprio la carica $dQ$. La somma, integrale, di tutte le cariche interne alla superficie è $\int_V "div(E)" dV=\int_V \rho/\epsilon dV=\int (dQ)/\epsilon= Q/epsilon$.
Teorema dimostrato. Perchè "via del baro"? Perchè è come usare una risposta che già si sa per dimostrare quello che si vuole dimostrare. Anche se in realtà la generalità delle equazioni di Maxwell ed il loro peso consente di farlo senza troppa vergogna.
2-Via rigorosa e furba
Abbiamo detto che il teorema vale per qualunque volume e sua frontiera. Quindi se scelgo una superficie sferica non sto perdendo di generalità, poichè il risultato che troverò varrà anche per qualunque altra superficie che racchiude le stesse cariche. Non sto semplificando, questo è matematicamente rigoroso. Per con una sfera è facile calcolare il flusso del campo, al di là delle relazioni che abbiamo ricavato matematicamente. Il campo elettrico generato da una carica $Q$ in un punto $r$ è $E=1/(4\pi\epsilon)Q/r^2$. Questo sicuramente l'hai visto a scuola. Inoltre una qualunque distribuzione di carica finita è, a grande distanza, puntiforme quindi questa espressione è molto generale anche se sembra valida solo per una carica.
Il flusso di $E$ attraverso una superficie sferica di raggio $r$ che racchiude la carica è pari al campo per l'area superficiale ovviamente, che per una sfera si calcola facilmente e vale $4\pi r^2$. Quindi
$\Phi(E)=E*4\pi r^2=1/(4\pi\epsilon)Q/r^2*4\pi r^2= Q/epsilon$ Ora uguagliamo questo risultato alla relazione trovata matematicamente
$\Phi(E)=\int_V "div(E)" dV= Q/epsilon$ e vale per ogni volume quindi non può che essere effettivamente $\int_V "div(E)" dV= Q/epsilon$ . Teorema dimostrato.
3-Via rigorosa e non furba.
Sostanzialmente è la parte finale di quello che ha scritto dRic. Va però introdotta l'espressione generale del campo elettrico, che hai detto di non aver fatto, e la delta di dirac. Direi che dopo tutto questo che abbiamo scritto possiamo anche risparmiarcela . Inoltre la parte matematica + la via 2 è formalmente corretta e rigorosa, nessuna perdita di generalità quindi direi di accontentarti.
PS: Dovresti aver visto il concetto di rotore e divergenza, in caso contrario è facile da spiegare, anzi visti i tuoi interessi dovresti capirli anche solo leggendo da wikipedia. In ogni caso se serve dillo.
PPS: Non voglio assolutamente che passi l'idea che abbiamo fatto davvero geometria differenziale. Questo è come leggere il sunto del sunto del sunto. Non ho detto cose errate, ma ci sarebbero mille altre cose da dire. Inoltre abbiamo definito le varietà come insiemi (e su insiemi) molto semplici ma in realtà si rappresentano solo localmente in questo modo così da avere più rappresentazioni (dette carte) ed arrivare ad un insieme di queste (dette atlante) che copre tutta una cerca regione. Insomma, c'è da perdersi anche perché ho seguito quella che era la tua idea, cioè usare Stokes per dimostrare Gauss. E lo abbiamo fatto. Ma non abbiamo dimostrato Stokes
.
PPPS: Penso di non aver mai scritto così tanto su questo forum, ma il tuo lodevole obiettivo andava sorretto Spero di aver seguito un filo logico semplice da ripercorrere (e di non aver fatto errori di battitura, con calma rileggerò tutto più tardi), per ogni domanda chiedi pure
@mklplo Immaginavo alla fine avresti chiesto la dimostrazione formale
. Quello che ha scritto dRic è corretto ma forse per te risulta un po' mascherato il significato dei vari passaggi, quindi opterei per un approccio più matematico che magari è più vicino anche a ciò che hai studiato. La $\delta(r)$ è un oggetto matematico che appartiene alle funzioni generalizzate o distribuzioni; in particolare si chiama Delta di Dirac. Sono certo che andrai subito a leggerti qualcosa a riguardo ma visto che non la conosci la lasciamo perdere possiamo farne a meno nella nostra dimostrazione, non è un problema. Quello che è un po' più un problema è che non sai che la $\rho(r)$ è la densità di carica del sistema interno alla superficie chiusa, della quale vogliamo calcolare il flusso. Procedo così. Inquadro prima il problema dal punto di vista matematico e giungiamo a dimostrare il teorema della divergenza. Alla fine vediamo di giustificare l'uso fisico di quella formula e cerchiamo di sorpassare la densità di carica. Non sono sicuro, come ho detto, di quanto tu abbia assimilato del mondo del teorema di Stokes, quindi metto sul piatto in modo molto stringato prima quelle cose che servono per capirlo.
Si dicono forme differenziali $\omega_n$ gli oggetti che voglio integrare e differenziare.
Si dicono varietà differenziabili $c_n$ gli oggetti su cui voglio integrare e differenziare.
Mettiamoci assolutamente in $\mathbb{R}^3$ considerando quattro forme e varietà di dimensione $n=0,1,2,3$.
Le forme, in base alla loro dimensione, possono essere :
funzioni scalari $\omega_1=f(x,y,z)$
funzioni (campi) vettoriali $\omega_1=F(x,y,z)=(f,g,h)=f dx + g dy + h dz$ associate al concetto di integrale di linea
funzioni (campi) vettoriali $\omega_2=F(x,y,z)=(f,g,h)=f dy\timesdz + g dz\timesdx + h dx\timesdy$ (dato che ad es $dy\timesdz=dx$ si può riscrivere come la forma precedente) associate al concetto di integrale di superficie
funzioni $\omega_3=f(x,y,z)$ intese come densità.
Le varietà invece (evito di scrivere la rappresentazione matematica come insieme dei punti, dico solo cosa sono geometricamente) sono:
$c_0$ è un punto
$c_1$ è una curva
$c_2$ è una superficie
$c_3$ è un volume
Ci tengo a precisare, solo per rigore matematico, che sono tutte varietà orientabili quindi ad ognuna è associato un segno, seppur convenzionale.
A questo punto è chiaro cosa significa che
$\int_(c_0) \omega_0=\pmf(x_0,y_0,z_0)$
$\int_(c_1) \omega_1=\pm\int_(\gamma) F d\gamma$
etc...
Noterai che posso integrare solo $"n-forme"$ su $"n-varietà"$. Ci sono due operatori fondamentali: l'operatore di differenziazione $d$ e l'operatore di frontiera $\partial$. Su questi vado ancora più veloce sennò diventa una cosa infinita e non arriviamo mai al punto.
L'operatore $d$ , applicato alle forme, manda una $n$ forma in una $n+1$ forma. Quindi $d\omega_n=\omega_(n+1)$.
Rispetto alla classificazione che ho fatto prima e sperando che tu conosca il concetto di rotore, divergenza, prodotto scalare e vettoriale, otteniamo che (lasciami scrivere con abuso di notazione $d\vecx=dxdydz$)
$d\omega_0=\nablaf*d\vecx$
$d\omega_1="rot(F)"*d\vecx$
$d\omega_2="div(F)" dxdydz$
$d\omega_3=0$ (da qui capisci l'inutilità di considerare più di quattro forme su $\mathbb{R}^3$)
L'operatore $\partial$ ,applicato alle varietà, manca una $n$ varietà in una $n-1$ varietà. Qui la faccio semplice: se $c_1$ è una curva , la sua frontiera $\partialc_1=c_0$ è un punto. Se ho una superficie, la sua frontiera è una curva. Se ho un volume $c_3$ la sua frontiera è una superficie.
Ora saltiamo a piè pari tutta la trattazione sulle primitive delle $n$ forme per arrivare a questo benedetto teorema di Stokes che rappresenta la colonna portante di tutta l'analisi differenziale poiché lega gli operatori di frontiera a quelli differenziali.
Sia $\omega_(n-1)$ una $n-1$ forma su $\mathbb{R}^3$ (ma ovviamente vale anche in $\mathbb{R}^m$) e sia $c_n$ una $n$ varietà su $\mathbb{R}^3$, allora
$\int_(c_n) d\omega_(n-1)=\int_(\partialc_n) \omega_(n-1)$
Osserva, in base alle proprietà degli operatori introdotti, come l'integrazione sulla rispettiva dimensione sia mantenuta in quanto l'operatore differenziale aumenta di uno l'ordine della forma e la frontiera abbassi di uno l'ordine della varietà.
Ora da questo teorema, al variare di $n$, dimostri automaticamente (avremmo dovuto dimostrare il teorema di Stokes a rigore...ti lascio immaginare cosa sarebbe
) il teorema fondamentale del calcolo integrale, il teorema del rotore, della divergenza (gauss), le formule di gauss-green...Ad esempio il teorema fondamentale del calcolo integrale si ha per $n=1$
$\int_(c_1) d\omega_0=\int_(\partialc_1) \omega_0$ $\Leftrightarrow$ $\int_(\gamma) F d\gamma=\phi(\gamma(b))-\phi(\gamma(a))$
Vediamo cosa succede per $n=3$
$\int_(c_3) d\omega_2=\int_(\partialc_3) \omega_2$ $\Leftrightarrow$ $\int_V "div(F)" dV=\int_(\partialV) F d\sigma$
Beh questo è il teorema di Gauss. $\int_(\partialV) F d\sigma$ è il flusso del campo attraverso la frontiera di un volume, non di una superficie aperta. Questo risponde alla tua domanda sul perchè la superficie deve essere chiusa. Se fosse aperta non ci sarebbe legame tra $c_3$ che è un volume (quindi superficie chiusa) e $\partialc_3$.
Ora abbiamo forse scritto qualcosa sulla forma materiale che deve avere il volume e quindi la sua frontiera? No. Vale per ogni volume. Attenzione solo al fatto che l'unica richiesta implicita è che il volume sia finito. Poi in fisica ovviamente
si sistema spesso questa cosa per usarlo anche all'infinito ma la matematica richiede questo. Questo risponde alla tua domanda del perchè valga qualunque sia la forma della superficie.Matematicamente abbiamo finito, ora manca l'ultimo tassello. Identifichiamo il campo $F$ con il cmapo elettrico $E$ scrivendo
$\int_V "div(E)" dV=\int_(\partialV) E d\sigma$ quindi indicando il flusso come $\Phi(E)$ abbiamo che
$\Phi(E)=\int_V "div(E)" dV$ . Insomma il tassello finale è chiedersi cosa sia la $"div(E)"$. Abbiamo credo tre vie:
1-Via del baro
Le equazioni che racchiudono l'essenza dell'elettromagnetismo sono dette equazioni di Maxwell. Questo tizio non fece altro che prendere i risultati derivanti da anni ed anni di osservazione e scriverli in modo formalmente elegante. Motivo per cui le equazioni prendono il suo nome e non quello di chi ci ha realmente gettato il sangue
.Una di queste equazioni dice $"div(E)"=\rho/\epsilon$. Dato che $\rho$ è la densità di carica significa moltiplicando questa densità (di volume) per l'elemento di volume $dV$ ottengo proprio la carica $dQ$. La somma, integrale, di tutte le cariche interne alla superficie è $\int_V "div(E)" dV=\int_V \rho/\epsilon dV=\int (dQ)/\epsilon= Q/epsilon$.
Teorema dimostrato. Perchè "via del baro"? Perchè è come usare una risposta che già si sa per dimostrare quello che si vuole dimostrare. Anche se in realtà la generalità delle equazioni di Maxwell ed il loro peso consente di farlo senza troppa vergogna.
2-Via rigorosa e furba
Abbiamo detto che il teorema vale per qualunque volume e sua frontiera. Quindi se scelgo una superficie sferica non sto perdendo di generalità, poichè il risultato che troverò varrà anche per qualunque altra superficie che racchiude le stesse cariche. Non sto semplificando, questo è matematicamente rigoroso. Per con una sfera è facile calcolare il flusso del campo, al di là delle relazioni che abbiamo ricavato matematicamente. Il campo elettrico generato da una carica $Q$ in un punto $r$ è $E=1/(4\pi\epsilon)Q/r^2$. Questo sicuramente l'hai visto a scuola. Inoltre una qualunque distribuzione di carica finita è, a grande distanza, puntiforme quindi questa espressione è molto generale anche se sembra valida solo per una carica.
Il flusso di $E$ attraverso una superficie sferica di raggio $r$ che racchiude la carica è pari al campo per l'area superficiale ovviamente, che per una sfera si calcola facilmente e vale $4\pi r^2$. Quindi
$\Phi(E)=E*4\pi r^2=1/(4\pi\epsilon)Q/r^2*4\pi r^2= Q/epsilon$ Ora uguagliamo questo risultato alla relazione trovata matematicamente
$\Phi(E)=\int_V "div(E)" dV= Q/epsilon$ e vale per ogni volume quindi non può che essere effettivamente $\int_V "div(E)" dV= Q/epsilon$ . Teorema dimostrato.
3-Via rigorosa e non furba.
Sostanzialmente è la parte finale di quello che ha scritto dRic. Va però introdotta l'espressione generale del campo elettrico, che hai detto di non aver fatto, e la delta di dirac. Direi che dopo tutto questo che abbiamo scritto possiamo anche risparmiarcela
. Inoltre la parte matematica + la via 2 è formalmente corretta e rigorosa, nessuna perdita di generalità quindi direi di accontentarti.PS: Dovresti aver visto il concetto di rotore e divergenza, in caso contrario è facile da spiegare, anzi visti i tuoi interessi dovresti capirli anche solo leggendo da wikipedia. In ogni caso se serve dillo.
PPS: Non voglio assolutamente che passi l'idea che abbiamo fatto davvero geometria differenziale. Questo è come leggere il sunto del sunto del sunto. Non ho detto cose errate, ma ci sarebbero mille altre cose da dire. Inoltre abbiamo definito le varietà come insiemi (e su insiemi) molto semplici ma in realtà si rappresentano solo localmente in questo modo così da avere più rappresentazioni (dette carte) ed arrivare ad un insieme di queste (dette atlante) che copre tutta una cerca regione. Insomma, c'è da perdersi anche perché ho seguito quella che era la tua idea, cioè usare Stokes per dimostrare Gauss. E lo abbiamo fatto. Ma non abbiamo dimostrato Stokes
.PPPS: Penso di non aver mai scritto così tanto su questo forum, ma il tuo lodevole obiettivo andava sorretto
Spero di aver seguito un filo logico semplice da ripercorrere (e di non aver fatto errori di battitura, con calma rileggerò tutto più tardi), per ogni domanda chiedi pure
Grazie per la risposta e per il disturbo che ti sei preso a scrivere così tanto. Quindi il $delta$ era quell'oggetto che un tempo studiai in modo così superficiale da far rivoltare nella tomba il povero Schwartz, mentre $rho$ era la derivata della carica rispetto al volume. Poi l'esposizione sulle forme e sulle varietà è stato un bel rispolvero di quello che feci qualche mese fa e che mi creò tanti problemi (soprattutto la parte sugli spazi tangenti necessari a definire le forme differenziali). Il collegamento fra la divergenza del campo elettrico e il teorema di Gauss l'avevo intuita (appunto con Stokes), però non capivo come mai ci fosse l'indipendenza della superficie, cosa che hai spiegato in modo molto chiaro. Erroneamente, io pensavo che $E$ dovesse avere rotore nullo(cosa che non avviene) ed essere definito su un dominio semplicemente connesso perché potesse valere l'indipendenza delle superfici, però a quanto pare è stata un'erronea comprensione del teorema di Stokes, rifacendomi al caso delle 1-forme.
"mklplo":
Erroneamente, io pensavo che $E$ dovesse avere rotore nullo(cosa che non avviene) ed essere definito su un dominio semplicemente connesso perché potesse valere l'indipendenza delle superfici.
Il campo elettrico, in elettrostatica, ha rotore nullo. Questo, assieme alla definizione su un insieme semplicemente connesso, determina la conservatività ( in matematica si usa il termine esattezza) del campo stesso ed è quindi possibile ricava una funzione potenziale. Ora questo non ha a che fare direttamente con l'indipendenza delle superfici (varietà), ma lo ha rispetto alle forme. Forse l'ho dato per scontato, nel momento in cui vado a scrivere l'integrale di qualcosa, questo qualcosa deve ammettere una primitiva altrimenti sto prendendomi in giro. Quindi l'irrotazionalità del campo è in realtà necessaria ma per questo motivo più basilare di esistenza della funzione potenziale, non per gli insiemi di integrazione che afferiscono alle varietà.
Nel linguaggio che abbiamo usato diremmo
$\omega_n$ è esatta se $\exists$ $\omega_(n-1)$ t.c. $d\omega_(n-1)=\omega_n$ . Quindi se ammette primitiva, appunto.
Inoltre $\omega_n$ è chiusa se $d\omega_n=0$ . E' facile dimostrare che "esatta $\Rightarrow$ chiusa"
A questo punto si usa il fatto che se $\omega_n \in A$, $A$ $"semplicemente"$ $"connesso"$, $\omega_n $ $"chiusa"$ allora $\omega_n$ $ "esatta su A"$. Questo basta a dire che quegli integrali che abbiamo scritto hanno senso. Da una parte abbiamo l'esigenza che la primitiva esista, dall'altra il fatto che il campo elettrostatico è conservativo devi vedere le cose in modo un po' più separato anche perché appena si introduce il tempo, saluti la conservatività del campo.
Ok,quindi l'esattezza per l'esistezza della primitiva era necessaria, ma quindi nel caso il campo variasse nel tempo e quindi non fosse conservativo, allora anche il teorema di Gauss cessa di valere?
Se è il campo a variare nel tempo il teorema di Gauss lo puoi applicare istante per istante (credo) quindi non cambia nulla. Il problema è se hai che il campo elettrico è generata da un campo magnetico variabile nel tempo. Il realtà il problema continua a non sussistere perché si dimostra in una riga che il teorema di Gauss continua a valere, ma lascia perdere.
Comunque cerca di imparare il senso fisico anche di questi teoremi: cosa ti dice il teorema di Gauss? ti sta dicendo che il campo che "entra" meno quello che "esce" uguale al quello che sta "dentro" la tua superficie (istante per istante). Questo concetto per me è molto importante e mi ha aiutato molto (anche se non conosco la geometria differenziale! )
Comunque cerca di imparare il senso fisico anche di questi teoremi: cosa ti dice il teorema di Gauss? ti sta dicendo che il campo che "entra" meno quello che "esce" uguale al quello che sta "dentro" la tua superficie (istante per istante). Questo concetto per me è molto importante e mi ha aiutato molto (anche se non conosco la geometria differenziale!
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Ottima trattazione , quella di Nikikinki, complimenti.
Tuttavia , siccome a me piace rimanere un po' di più coi piedi sulla terra fisica, appoggio il parere di dRic, e suggerisco a @mklplo di leggersi il sempre verde, caro, rigoroso, innamorato della fisica Richard Feynman :
http://www.feynmanlectures.caltech.edu/II_03.html
le sue famose lezioni sono su internet , pubblicate dal Caltech anni fa , libere a tutti .
Tuttavia , siccome a me piace rimanere un po' di più coi piedi sulla terra fisica, appoggio il parere di dRic, e suggerisco a @mklplo di leggersi il sempre verde, caro, rigoroso, innamorato della fisica Richard Feynman :
http://www.feynmanlectures.caltech.edu/II_03.html
le sue famose lezioni sono su internet , pubblicate dal Caltech anni fa , libere a tutti .
No il teorema di Gauss in forma integrale è una rappresentazione globale e non può essere esteso alla condizione in cui il campo vari con il tempo. Esso collega grandezze fisiche calcolate in posizioni diverse, cioè la carica interna ed il campo sulla superficie. Applicarlo istante per istante significherebbe supporre che le variazioni del campo si propaghino a velocità infinita e questo non è vero.
Ciò che continua a valere è invece è la forma locale del teorema di Gauss ovvero la prima equazione di Maxwell, che lega grandezze fisiche calcolate nella stessa posizione, e può quindi essere estesa al contesto dinamico introducendo il tempo nelle variabili che compaiono.
Grazie @Shackle in effetti mi ha richiesto un po' di tempo. E concordo sul Feynman, le sue lezioni sono contemporaneamente di una semplicità e di una profondità assoluta.
Ciò che continua a valere è invece è la forma locale del teorema di Gauss ovvero la prima equazione di Maxwell, che lega grandezze fisiche calcolate nella stessa posizione, e può quindi essere estesa al contesto dinamico introducendo il tempo nelle variabili che compaiono.
Grazie @Shackle
in effetti mi ha richiesto un po' di tempo. E concordo sul Feynman, le sue lezioni sono contemporaneamente di una semplicità e di una profondità assoluta.
"Shackle":
[...] suggerisco a @mklplo di leggersi il sempre verde, caro, rigoroso, innamorato della fisica Richard Feynman [...]
Il Feynman è ottimo, ma non è adatto a chi si avvicina per la prima volta alla fisica.
E' scritto talmente bene da sembrare "facile", ma in realtà ci sono diverse affermazioni che richiedono profonde riflessioni in grado di mettere in difficoltà anche i fisici, ingegneri e matematici più navigati
Grazie a tutti per le risposte e grazie nuovamente a @Nikikinki per il chiarimento e a @Shackle per il consiglio di lettura, anche se penso che me lo riserverò dopo aver iniziato l'università in matematica (se non erro anche a matematica almeno un po' di fisica ci dovrebbe essere), infatti per ora la fisica al più cercerò di vederla con le "conoscenze" che ho acquistato da autodidatta e con l'aiuto del forum, ma sempre al livello liceale (giusto per non fare troppa confusione tra concetti che forse ora esulano troppo dalla mia comprensione ).
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