Dimostrare che campo gravitazionale è conservativo
Salve, devo dimostrare che il campo gravitazionale $((-GMmx)/(x^2+y^2+z^2)^(3/2),(-GMmy)/(x^2+y^2+z^2)^(3/2),(-GMmz)/(x^2+y^2+z^2)^(3/2))$ è conservativo.
Un primo modo molto veloce è quello di dimostrare che le derivate parziali invertite sono uguali.
Ora, un secondo metodo non potrebbe essere questo?
Considero una generica curva $(x(t),y(t),z(t))$ con $t in [a,b]$ e la sua derivata $(x'(t),y'(t),z'(t))$. Restringo quindi il campo alla curva e lo moltiplico scalarmente per il vettore derivato, ottenendo una funzione di $t$. A questo punto, se riesco a dimostrare che l'integrale definito tra $a$ e $b$ di tale funzione di $t$ (che è appunto la definizione di lavoro) non dipende dalla curva sulla quale è ristretto il campo, ma soltanto dagli estremi di integrazione, dovrei aver finito o sbaglio?
Grazie mille.
Un primo modo molto veloce è quello di dimostrare che le derivate parziali invertite sono uguali.
Ora, un secondo metodo non potrebbe essere questo?
Considero una generica curva $(x(t),y(t),z(t))$ con $t in [a,b]$ e la sua derivata $(x'(t),y'(t),z'(t))$. Restringo quindi il campo alla curva e lo moltiplico scalarmente per il vettore derivato, ottenendo una funzione di $t$. A questo punto, se riesco a dimostrare che l'integrale definito tra $a$ e $b$ di tale funzione di $t$ (che è appunto la definizione di lavoro) non dipende dalla curva sulla quale è ristretto il campo, ma soltanto dagli estremi di integrazione, dovrei aver finito o sbaglio?
Grazie mille.
Risposte
alla tua domanda non so rispondere ma comunque non basta vedere che le derivate ad incrocio sono uguali...non è sufficiente come condizione!
La maniera più veloce è controllare se il rotore del campo di forze è nullo ovunque, quello implicherebbe che l'integrale di linea lungo un percorso chiuso è nullo per cui si può definire una funzione energia potenziale per quel campo.
"Faussone":
La maniera più veloce è controllare se il rotore del campo di forze è nullo ovunque, quello implicherebbe che l'integrale di linea lungo un percorso chiuso è nullo per cui si può definire una funzione energia potenziale per quel campo.
non proprio: sarebbe una condizione sufficiente se restringessi il dominio a uno semplicemente connesso, ma non è questo il caso perchè hai un "buco" nell origine. al massimo con questo metodo puoi dire che localmente esiste un potenziale, anche se ho notato nel corso degli studi che i fisici non danno molta importanza a questo particolare.
ti conviene integrare rispetto ad x la prima componente, e poi verificare che questo integrale è un potenziale trovandone le derivate parziali. comunque si dmostra più in generale che un qualsiasi campo centrale è conservativo, pertanto anche quello gravitazionale lo è
Allora, il Mencuccini-SIlvestrini dimostra che quel campo è conservativo attraverso la definizione di lavoro, e fin qui ci siamo:
$L=int_(A)^(B) ((-GMm)/r^2)vers (r)*vec ds $. Ora, stando a quello che dice il libro di Analisi, la roba che ho scritto nell'integrale è puramente formale. L'integrale, infatti, si calcola restringendo il campo alla traiettoria, moltiplicandolo scalarmente per la derivata della traiettoria ed integrandolo fra i due estremi in cui varia il parametro che definisce la curva.
Il libro invece, come tutti i libri di Fisica che ho consultato, calcolano quell'integrale in maniera assurda, sostituendo (dopo opportune considerazioni geometriche) $vec ds*vers r$ con $dr$ e ottenendo come risultato $+GMm(1/r_b-1/r_a)$, risultato che ho ottenuto anche io integrando "come si deve". Ora mi sembra giusto pormi questa domanda: perchè tutti i libri che ho consultato calcolano quell'integrale secondo un procedimento errato? Ci voleva tanto a seguire il procedimento corretto?
Grazie mille
$L=int_(A)^(B) ((-GMm)/r^2)vers (r)*vec ds $. Ora, stando a quello che dice il libro di Analisi, la roba che ho scritto nell'integrale è puramente formale. L'integrale, infatti, si calcola restringendo il campo alla traiettoria, moltiplicandolo scalarmente per la derivata della traiettoria ed integrandolo fra i due estremi in cui varia il parametro che definisce la curva.
Il libro invece, come tutti i libri di Fisica che ho consultato, calcolano quell'integrale in maniera assurda, sostituendo (dopo opportune considerazioni geometriche) $vec ds*vers r$ con $dr$ e ottenendo come risultato $+GMm(1/r_b-1/r_a)$, risultato che ho ottenuto anche io integrando "come si deve". Ora mi sembra giusto pormi questa domanda: perchè tutti i libri che ho consultato calcolano quell'integrale secondo un procedimento errato? Ci voleva tanto a seguire il procedimento corretto?
Grazie mille
"enr87":
[quote="Faussone"]La maniera più veloce è controllare se il rotore del campo di forze è nullo ovunque, quello implicherebbe che l'integrale di linea lungo un percorso chiuso è nullo per cui si può definire una funzione energia potenziale per quel campo.
non proprio: sarebbe una condizione sufficiente se restringessi il dominio a uno semplicemente connesso, ma non è questo il caso perchè hai un "buco" nell origine. al massimo con questo metodo puoi dire che localmente esiste un potenziale, anche se ho notato nel corso degli studi che i fisici non danno molta importanza a questo particolare.
[/quote]
Hai ragione. In effetti mi ero accorto di quel particolare, ma ho preferito trascurarlo, perché mi premeva sottolineare la irrotazionalità come condizione di conservatività del campo.
In effetti calcolando il rotore si vede che nell'origine tenderebbe a zero, quindi tutto funzionerebbe, ma è vero che presentando il campo di forze una discontinuità nell'origine devo escludere quel punto dal dominio e quindi il dominio risultante non sarebbe semplicemente connesso, ma io non sono un matematico è tendo a trascurare queste "sottigliezze".
"lisdap":
Ora mi sembra giusto pormi questa domanda: perchè tutti i libri che ho consultato calcolano quell'integrale secondo un procedimento errato? Ci voleva tanto a seguire il procedimento corretto?
Grazie mille
Non ho capito bene quello che chiedi, cioé la differenza tra il tuo approccio e quello canonico.
Normalmente la dimostrazione classica consiste nell'osservare che l'unica componente dello spostamento che conta ai fini del calcolo del lavoro è la componente radiale. Da qui deriva facilmente che il lavro lungo un qualunque cammino chiuso è nullo.
"Faussone":
Non ho capito bene quello che chiedi, cioé la differenza tra il tuo approccio e quello canonico.
Normalmente la dimostrazione classica consiste nell'osservare che l'unica componente dello spostamento che conta ai fini del calcolo del lavoro è la componente radiale. Da qui deriva facilmente che il lavro lungo un qualunque cammino chiuso è nullo.
Ciao, il mio libro di Analisi dice:
"Sia gamma un arco di curva, regolare a tratti, parametrizzata da $vec r(t)=(x(t),y(t),z(t))$, $t in [a,b]$. Definiamo integrale di linea (o lavoro) di $vec F$ lungo gamma (g) l'integrale:
$int_(g) vec F*vec dr=int_(a)^(b) vec F(vec r(t))*vec r'(t)dt$.
I libri di Fisica, invece, calcolano questo integrale in maniera del tutto diversa...
Grazie.
Be' i libri di fisica semplificano le cose a monte, considerando che nel caso specifico, dato il campo di forze centrale, come dicevo, quell'integrale lungo un cammino generico è uguale all'integrale lungo un percorso radiale....
"Faussone":
ma io non sono un matematico è tendo a trascurare queste "sottigliezze".
nemmeno io
la dimostrazione della conservatività fatta così non è mai piaciuta neanche a me, perchè a prima vista sembra un trucchetto ad hoc per far tornare il risultato. ricordo però di essere "riuscito" a ricostruire il procedimento in maniera più formale, ossia con tutti i passaggi matematici del caso, e alla fine avevo notato che era identico a quello presentato nei testi di fisica.
quello che dovresti fare è integrare su una generica curva $ gamma(t) = (x_1(t), x_2(t), x_3(t))$ (puoi metterci quante componenti vuoi, con 3 hai un'idea generale). a parte scriviti la derivata di $||x(t)||$ e dovresti trovarti con questo che ti propongo (k è la costante che porti fuori dall'integrale, per abbreviare):
$k int_gamma <1/(||vec x||^2) vec x/(||vec x||), d vec x> = k int_{t_i}^{t_f} 1/(||vec x(t)||^2) * 1/(||vec x(t)||) (x_1 x'_1(t), x_2 x'_2(t), x_3 x'_3(t))dt = k int_{t_i}^{t_f} 1/(||vec x(t)||^2) d||vec x|| $
Tutti i campi radiali $ \vec{F} = f(r) \hat{r} $ sono conservativi: la componente radiale della velocità è $ \vec{v} \cdot \hat{r} = \dot{r} $, quindi:
$ L(t_1,t_2) = \int_{t_1} ^{t_2} \vec{F} \cdot \vec{v} dt = \int_{t_1} ^{t_2} f(r(t)) \dot{r} dt = \int_{r_1} ^{r_2} f(r) dr $
cioè il lavoro dipende solo dalle posizioni di partenza e di arrivo (in realtà solo dalla distanza dal centro).
$ L(t_1,t_2) = \int_{t_1} ^{t_2} \vec{F} \cdot \vec{v} dt = \int_{t_1} ^{t_2} f(r(t)) \dot{r} dt = \int_{r_1} ^{r_2} f(r) dr $
cioè il lavoro dipende solo dalle posizioni di partenza e di arrivo (in realtà solo dalla distanza dal centro).
Vabbé ragazzi ma lo spazio tridimensionale senza l'origine è semplicemente connesso. Per perdere la semplice connessione in tre dimensioni occorre tagliare via una linea. E difatti il campo magnetico, che origina da linee di corrente, non è conservativo, mentre i campi elettrostatico e gravitazionale, che originano da sorgenti puntiformi, sono conservativi.
"dissonance":
Vabbé ragazzi ma lo spazio tridimensionale senza l'origine è semplicemente connesso.
..quindi davvero la verifica dell'irrotazionalità come intuivo è sufficiente.. ....no forse no visto che il campo di forze non è continuo nell'origine......come disse un cantautore 20 e più anni fa, (già allora agli sgoccioli della sua vena creativa) "La matematica non sarà mai il mio mestiere..."
"dissonance":
Vabbé ragazzi ma lo spazio tridimensionale senza l'origine è semplicemente connesso. Per perdere la semplice connessione in tre dimensioni occorre tagliare via una linea. E difatti il campo magnetico, che origina da linee di corrente, non è conservativo, mentre i campi elettrostatico e gravitazionale, che originano da sorgenti puntiformi, sono conservativi.
ricordavo che dire "semplicemente connesso" fosse equivalente a dire "senza buchi", ma adesso mi fai venire il dubbio che fosse valido solo in due dimensioni, perchè in effetti, con tre, un circuito è sempre omotopo ad un punto qualsiasi in casi come questo. ed è proprio il concetto di omotopia che mi sfuggiva ieri. grazie dissonance
"Faussone":
...come disse un cantautore 20 e più anni fa, (già allora agli sgoccioli della sua vena creativa) "La matematica non sarà mai il mio mestiere..."
"Faussone":Non fa niente. Conservativo è un campo che ha tutte le circuitazioni nulle. Ora se prendiamo un circuito nello spazio tridimensionale, ad esso si appoggiano superfici che non passano per l'origine. Per il teorema di Stokes la circuitazione è uguale al flusso del rotore attraverso una di queste superfici; ma siccome il rotore è nullo su tutta la superficie, il flusso è nullo. Diverso è col campo magnetico: se il circuito si avvolge attorno ad una linea di corrente, hai voglia a prendere superfici, la linea di corrente le attraverserà sempre e il discorso precedente va a farsi benedire.
la verifica dell'irrotazionalità come intuivo è sufficiente.. ....no forse no visto che il campo di forze non è continuo nell'origine...
Parafrasando il tuo post precendente, "lo so che tu lo sai" (come disse un altro cantautore: http://www.youtube.com/watch?v=uR45tdIa ... re=related ), ma magari un ripasso può servire.
..come disse un cantautore 20 e più anni fa, (già allora agli sgoccioli della sua vena creativa) "La matematica non sarà mai il mio mestiere..."
Non oso immaginare i lavori recenti di quel cantautore!
"dissonance":
magari un ripasso può servire.
...più che un ripasso dovrei vincere la mia insofferenza di base verso la matematica (dovuta alla mia formazione tecnica forse). Frequentando questo forum questa insofferenza si va mitigando... Grazie!
"dissonance":
Non oso immaginare i lavori recenti di quel cantautore!
...infatti.
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