Dimostr. relazione tra polarizzazione e campo elettrostatico
Come da titolo, ho un piccolo dubbio (forse è davvero una scemenza, ma non riesco a venirne a capo) su come si arriva alla relazione che lega il vettore polarizzazione elettrica al campo elettrostatico e che vale per i dielettrici (che, obbedendo a questa relazione, vengono chiamati lineari).
La relazione è ovviamente: $\vec P = \epsilon_0 (\kappa - 1) \vec E = \epsilon_0 \chi \vec E$
Ora sul testo dove studio (Mazzoldi, Nigro, Voci - "Elementi di Fisica - Elettromagnetismo", pag. 95) è scritto che per il dielettrico a forma di lastra uniformemente polarizzato è facile verificare la relazione facendo ricorso a:
(1) $\sigma_p = \vec P \cdot \hat u_n$
(2) $\sigma_p = \frac{\kappa - 1}{\kappa} \sigma_0$
(3) $E = \frac{\sigma_0}{\kappa \epsilon_0}$
In effetti, sostituendo il valore di $\sigma_p$ della (2) nella (1) e poi esplicitando il valore di $\sigma_0$ dalla (3) e sostituendolo nella relazione appena ricavata, si ottiene che $\vec P \cdot \hat u_n = \epsilon_0 (\kappa - 1) E$.
Adesso, se moltiplico ambo i membri per $\hat u_n$, ottengo la relazione che voglio dimostrare?
A prima vista sembrerebbe di sì, ma, non essendo completamente sicuro di ciò, ho fatto una prova inserendo dei valori numerici ai vettori considerati e calcolando il risultato ho visto che in generale è $(\vec P \cdot \hat u_n) \hat u_n != \vec P (\hat u_n \cdot \hat u_n) = \vec P$, quindi la relazione non è dimostrata.
Ora, cercando sul web qualcosa che mi potesse aiutare, su Wikipedia ho trovato la (1) scritta nello stesso modo del mio testo (lì è tratta dal Mencuccini, Silvestrini, pag. 137), mentre su degli appunti (di Santi Strati, a pag. 2) il vettore intensità di polarizzazione è definito come $\vec P = \sigma_p \hat u_n$ . Se questa definizione è vera, allora di sicuro vale la (1) moltiplicando ambo i membri scalarmente per $\hat u_n$; ma l'inverso vale?
Se sì, la dimostrazione della relazione che ho scritto all'inizio è fatta, ma altrimenti, come si fa?
La relazione è ovviamente: $\vec P = \epsilon_0 (\kappa - 1) \vec E = \epsilon_0 \chi \vec E$
Ora sul testo dove studio (Mazzoldi, Nigro, Voci - "Elementi di Fisica - Elettromagnetismo", pag. 95) è scritto che per il dielettrico a forma di lastra uniformemente polarizzato è facile verificare la relazione facendo ricorso a:
(1) $\sigma_p = \vec P \cdot \hat u_n$
(2) $\sigma_p = \frac{\kappa - 1}{\kappa} \sigma_0$
(3) $E = \frac{\sigma_0}{\kappa \epsilon_0}$
In effetti, sostituendo il valore di $\sigma_p$ della (2) nella (1) e poi esplicitando il valore di $\sigma_0$ dalla (3) e sostituendolo nella relazione appena ricavata, si ottiene che $\vec P \cdot \hat u_n = \epsilon_0 (\kappa - 1) E$.
Adesso, se moltiplico ambo i membri per $\hat u_n$, ottengo la relazione che voglio dimostrare?
A prima vista sembrerebbe di sì, ma, non essendo completamente sicuro di ciò, ho fatto una prova inserendo dei valori numerici ai vettori considerati e calcolando il risultato ho visto che in generale è $(\vec P \cdot \hat u_n) \hat u_n != \vec P (\hat u_n \cdot \hat u_n) = \vec P$, quindi la relazione non è dimostrata.
Ora, cercando sul web qualcosa che mi potesse aiutare, su Wikipedia ho trovato la (1) scritta nello stesso modo del mio testo (lì è tratta dal Mencuccini, Silvestrini, pag. 137), mentre su degli appunti (di Santi Strati, a pag. 2) il vettore intensità di polarizzazione è definito come $\vec P = \sigma_p \hat u_n$ . Se questa definizione è vera, allora di sicuro vale la (1) moltiplicando ambo i membri scalarmente per $\hat u_n$; ma l'inverso vale?
Se sì, la dimostrazione della relazione che ho scritto all'inizio è fatta, ma altrimenti, come si fa?
Risposte
se vuoi far tornare la relazione devi moltiplicare per u_n (ovviamente intendo un prodotto normale, non scalare) da ambo le parti, e accettare il fatto che P coincide con la sua componente normale alla superficie: questo deriva dal fatto che il dielettrico è lineare, e quindi la polarizzazione è parallela ad E
Ed è quello che avevo fatto, però provando praticamente con dei vettori numerici in generale è $(\vec P \cdot \hat u_n) \hat u_n != \vec P (\hat u_n \cdot \hat u_n) = \vec P$ .
Ad esempio, se mi riferisco ad $RR^3$ e prendo un qualsiasi vettore $\vec P = ( 1, 2, 3 )$ e come versore considero $\hat u_n = ( 0, 1, 0 )$, $(\vec P \cdot \hat u_n) \hat u_n = \[ ( 1, 2, 3 ) \cdot ( 0, 1, 0 ) \] ( 0, 1, 0 ) = 2 ( 0, 1, 0 ) = ( 0, 2, 0 )$, mentre $\vec P (\hat u_n \cdot \hat u_n) = ( 1, 2, 3 ) \[ ( 0, 1, 0 ) \cdot ( 0, 1, 0 ) \] = ( 1, 2, 3 ) 1 = ( 1, 2, 3 )$ .
E $\vec P (\hat u_n \cdot \hat u_n)$ è l'unico modo per ottenere $\vec P$ (dato che $\hat u_n \cdot \hat u_n=1$) da quella relazione, altrimenti non saprei proprio come fare.
Poi, se devo accettare quel risultato per buono anche sapendo che non è sempre vero, è un altro paio di maniche, ma di solito (almeno in matematica) non sono abituato a ragionare così.
Ad esempio, se mi riferisco ad $RR^3$ e prendo un qualsiasi vettore $\vec P = ( 1, 2, 3 )$ e come versore considero $\hat u_n = ( 0, 1, 0 )$, $(\vec P \cdot \hat u_n) \hat u_n = \[ ( 1, 2, 3 ) \cdot ( 0, 1, 0 ) \] ( 0, 1, 0 ) = 2 ( 0, 1, 0 ) = ( 0, 2, 0 )$, mentre $\vec P (\hat u_n \cdot \hat u_n) = ( 1, 2, 3 ) \[ ( 0, 1, 0 ) \cdot ( 0, 1, 0 ) \] = ( 1, 2, 3 ) 1 = ( 1, 2, 3 )$ .
E $\vec P (\hat u_n \cdot \hat u_n)$ è l'unico modo per ottenere $\vec P$ (dato che $\hat u_n \cdot \hat u_n=1$) da quella relazione, altrimenti non saprei proprio come fare.
Poi, se devo accettare quel risultato per buono anche sapendo che non è sempre vero, è un altro paio di maniche, ma di solito (almeno in matematica) non sono abituato a ragionare così.
"ale83_webmaster":
Ed è quello che avevo fatto, però provando praticamente con dei vettori numerici in generale è $(\vec P \cdot \hat u_n) \hat u_n != \vec P (\hat u_n \cdot \hat u_n) = \vec P$ .
beh il primo menìmbro è scalare, il secondo è vettoriale come potrebbero coincidere?
la densità di carica superficiale è per definizione $sigma_p = vec(P)* hat(n)$.
comunque quella relazione è sperimentale, cioè si è ipotizzato e poi verificato che in alcuni materiali la polarizzazione è proporzionale al campo. le tre relazioni che hai scritto sono una conseguenza di tale equazione.
"cyd":
[quote="ale83_webmaster"]Ed è quello che avevo fatto, però provando praticamente con dei vettori numerici in generale è $(\vec P \cdot \hat u_n) \hat u_n != \vec P (\hat u_n \cdot \hat u_n) = \vec P$ .
beh il primo menìmbro è scalare, il secondo è vettoriale come potrebbero coincidere?[/quote]
Al primo membro quello tra parentesi è uno scalare, ma poi moltiplicato per il versore normale diventa un vettore.
"cyd":
comunque quella relazione è sperimentale, cioè si è ipotizzato e poi verificato che in alcuni materiali la polarizzazione è proporzionale al campo. le tre relazioni che hai scritto sono una conseguenza di tale equazione.
Invece sul mio libero diceva il contrario, che cioè quella relazione discendeva dalle altre tre.
oddio, avevo letto un'altra cosa 
comunque è giusta la prima a mio avviso.
comunque è giusta la prima a mio avviso.
sto studiando anche io i dielettrici, e anche secondo me ha ragione cyd.
P è definito principalmente come momendo di dipolo per unità di volume. da ragionamenti, penso semplici, si giunge ad intuire la proporzionalità che intercorre tra P ed E
P è definito principalmente come momendo di dipolo per unità di volume. da ragionamenti, penso semplici, si giunge ad intuire la proporzionalità che intercorre tra P ed E
P è definito cosi.
comunque le equazioni fondamentali all'interno dei dielettrici sono
$nabla*E = (rho_f + rho_b)/epsilon_0$ e $nabla ^^ E =0$ oppure
$nabla*D= rho_f$ e $nabla^^D = nabla^^P$
D non è conservativo, per conoscerlo non bastano le cariche libere ma occorrono anche i vortici di P, fortunatamente sotto certe condizioni è possibile conoscerlo solo dalle sorgenti.
in generale P è una funzione di vari parametri, $P = P(x,y,z,E,T,...)$ e quelle equazioni, noto E possono essere ricondotte al problema dell'elettrostatica nel vuoto una volta nota la relazione che lega E e D, cioè nota la relazione E-P
un dielettrico è omogeneo se P non dipende dalla posizione (ciò implica anche $rho_p =0$), isotropo se P è diretto come E e leneare se $|P|=k*|E|$
esistono certi materiali modellabili come lineari e isotropi e cioè la relazione P-E è banale:
P ed E sono proporzionali secondo la costante $epsilon_0* X_e$
si definisce la permeabilità relativa come $epsilon_r= 1 + X_e$
da quella relazione si ricava facilmente $E=D/epsilon$
sostituendo nell'equazione della divergenza si ha $nabla*(D/epsilon) = (rho_f + rho_b)/epsilon_0$ cioè risolvendo risp le cariche legate: $rho_b = - rho_f * (epsilon_r -1)/epsilon_r$
cioè se non ci sono cariche libere allora non ci sono nemmeno cariche legate se non sule superfici.
la prima relazione si ricava calcolando il potenziale di un generico volume in funzione di P
comunque le equazioni fondamentali all'interno dei dielettrici sono
$nabla*E = (rho_f + rho_b)/epsilon_0$ e $nabla ^^ E =0$ oppure
$nabla*D= rho_f$ e $nabla^^D = nabla^^P$
D non è conservativo, per conoscerlo non bastano le cariche libere ma occorrono anche i vortici di P, fortunatamente sotto certe condizioni è possibile conoscerlo solo dalle sorgenti.
in generale P è una funzione di vari parametri, $P = P(x,y,z,E,T,...)$ e quelle equazioni, noto E possono essere ricondotte al problema dell'elettrostatica nel vuoto una volta nota la relazione che lega E e D, cioè nota la relazione E-P
un dielettrico è omogeneo se P non dipende dalla posizione (ciò implica anche $rho_p =0$), isotropo se P è diretto come E e leneare se $|P|=k*|E|$
esistono certi materiali modellabili come lineari e isotropi e cioè la relazione P-E è banale:
P ed E sono proporzionali secondo la costante $epsilon_0* X_e$
si definisce la permeabilità relativa come $epsilon_r= 1 + X_e$
da quella relazione si ricava facilmente $E=D/epsilon$
sostituendo nell'equazione della divergenza si ha $nabla*(D/epsilon) = (rho_f + rho_b)/epsilon_0$ cioè risolvendo risp le cariche legate: $rho_b = - rho_f * (epsilon_r -1)/epsilon_r$
cioè se non ci sono cariche libere allora non ci sono nemmeno cariche legate se non sule superfici.
la prima relazione si ricava calcolando il potenziale di un generico volume in funzione di P
"cyd":
oddio, avevo letto un'altra cosa
La prima, cioè quale?
P.S.: Comunque tutto quello che hai scritto nell'ultimo post sul mio testo non c'è scritto proprio, tranne il fatto che la divergenza del vettore induzione dielettrica è uguale alla densità di carica libera e le due relazioni di proporzionalità dei vettori polarizzazione e induzione dielettrica rispetto al campo elettrostatico.
non ho letto i post successivi al mio, ma a giudicare dalla risposta che hai scritto subito dopo penso tu abbia frainteso il messaggio:
quando dico "moltiplicare per u_n da ambo le parti" intendo l'equazione $ = ϵ_0 (κ−1)E $
"enr87":
se vuoi far tornare la relazione devi moltiplicare per u_n (ovviamente intendo un prodotto normale, non scalare) da ambo le parti, e accettare il fatto che P coincide con la sua componente normale alla superficie: questo deriva dal fatto che il dielettrico è lineare, e quindi la polarizzazione è parallela ad E
quando dico "moltiplicare per u_n da ambo le parti" intendo l'equazione $
Sì, stiamo dicendo la stessa cosa.
Però, se al secondo membro moltiplicando $E$ per $\hat u_n$, ottengo $\vec E$, al primo membro moltiplicando $<\vec P,\hat u_n>$ per $\hat u_n$ ottengo $\vec P$? Se sì, come?
Questo è il succo della questione.
Però, se al secondo membro moltiplicando $E$ per $\hat u_n$, ottengo $\vec E$, al primo membro moltiplicando $<\vec P,\hat u_n>$ per $\hat u_n$ ottengo $\vec P$? Se sì, come?
Questo è il succo della questione.
beh chiaramente l'identità che hai scritto è valida solo se P è diretto come u altrimenti è chiaro che non torna, essendo il primo prodotto la proiezione di P su u_n
È vero, hai ragione!
Alla fine è quello che aveva detto enr87 nella prima risposta...
Scusate, certe vole mi incaponisco con delle cretinte e non vedo che la soluzione ce l'ho sotto agli occhi.
Alla fine è quello che aveva detto enr87 nella prima risposta...
"enr87":
se vuoi far tornare la relazione devi moltiplicare per u_n (ovviamente intendo un prodotto normale, non scalare) da ambo le parti, e accettare il fatto che P coincide con la sua componente normale alla superficie: questo deriva dal fatto che il dielettrico è lineare, e quindi la polarizzazione è parallela ad E
Scusate, certe vole mi incaponisco con delle cretinte e non vedo che la soluzione ce l'ho sotto agli occhi.
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