Dimostazione velocità relativistica

[Samkiwi]

Ho problemi ha trovare la dimostrazione della formula dell'accelerazione relativistica partendo dalla formula della velocità ,è da molto tempo che ci lavoro su ma non riesco a risolvere questo quesito. (Ho l'immagine del quesito nel forum).

P.S. Si tratta di un elettrone che viene spinto inizialmente dall'azione del campo elettrico.I vettori forza e velocità sono parallele tra loro

[Shackle]

La cosa è semplice analiticamente (forse un po’ brigosa nei calcoli). Devi derivare rispetto a $t$ il secondo membro della (3) , tenendo conto che la variabile $t$ compare sia al numeratore che al denominatore. Sai farlo ?

Ho l'immagine del quesito nel forum

Puoi dirmi da dove hai preso quell’immagine? È parziale, manca il pezzo precedente. Ma non penso che venga dal forum. Non si “inventa una possibile espressione “ per v e poi si trova l’accelerazione .


Per maggior chiarezza , ti do questo link ad una recente discussione, dove si parla dell’accelerazione relativistica. Guarda anche il link inserito nella risposta (quello di navigatore), e gli esercizi sotto spoiler .

Nota che $A = (eE)/m $ è l’accelerazione di un elettrone di carica $e$ e massa $m$, in un campo elettrico di intensità $E$. Deriva dalla 2º equazione della dinamica in forma non relativistica :

$mA = eE $

ma per passare alla forma relativistica, ci vuole tutto un percorso di Relatività ristretta... E quando si passa alla RR, l’accelerazione della particella si distingue in “accelerazione coordinata” , cioè rispetto a un riferimento inerziale dato, e “accelerazione propria” , che è quella, che si suppone costante, che la particella “sente” rispetto al riferimento MCRF : questo acronimo vuol dire “ Momentary comoving reference frame” , e si tratta di un rif. inerziale momentaneamente comovente con la particella , rispetto al quale essa accelera istantaneamente. Per fare un paragone con la meccanica non relativistica, l’accelerazione propria è quella che tu senti nella tua schiena quando vai in macchina e acceleri costantemente. In meccanica non relativistica , non c’é differenza tra accelerazione coordinata e accelerazione propria. In RR , c’è invece una bella differenza. Se si suppone che l’accelerazione propria sia costante , viene fuori la velocità a quella maniera che è riportata nell’immagine, e viene fuori una “linea di universo” che è una iperbole, da cui il nome di moto iperbolico relativistico.
Questa trattazione è dovuta a W. Rindler, si arriva alle coordinate di Rindler, l’orizzonte di Rindler... e compagnia bella. E soprattutto , l’iter è al contrario, nel senso che si parte da “accelerazione propria costante” e si arriva alla espressione della velocita, che tende a $c$ al tendere del tempo a $+infty$.

Sotto spoiler ho messo un paio di pagine trovate in giro.

E rovistando nelle pieghe della memoria e nelle pagine del forum ho trovato anche questa pagina, dove @Navigatore parlava del moto accelerato di un’asta in RR; ho solo fatto qualche piccola modifica per renderla più chiara :

"navigatore":Quanto conosci il moto iperbolico relativistico?
In tale moto, se un punto materiale avente accelerazione propria costante che chiamo $g$ (ma la gravità non c’entra, è solo un simbolo), accelera rispetto ad un osservatore inerziale $O$, si dimostra che l'accelerazione rispetto ad $O$, cioè l’accelerazione coordinata, non è costante ma è pari a :

$a = g/\gamma^3$
per cui : $g = \gamma^3a = \gamma^3 (dv)/(dt)$

da cui : $gdt = 1/(1-v^2)^(3/2) dv $

integrando rispetto al tempo coordinato di $O$ si ha : $g*t = v/sqrt(1-v^2)$-------(1)

da cui : $v = (g*t)/sqrt(1+g^2t^2) = (dx)/(dt) $
separando le variabili e integrando ancora tra $x_0$ ed $x$ generico, corrispondenti agli istanti $t=0$ e $t$ generico, si ha:

$x = x_0 + 1/g*(sqrt(1 + g^2t^2) - 1) $ ------(2)

Per chiarezza dimensionale , si deve intendere sotto radice la quantità $((g*t)/c)^2$.

Se consideriamo ora un'asta $AB = L $ ( A davanti, B dietro, in moto nella direzione da B verso A), che cosa può significare "moto di corpo rigido" per l'asta, in un moto accelerato, in RR ?
[....]

Ho tagliato il seguito, dove Navigatore partendo da questo fa vedere che un’asta accelerata in RR deve avere accelerazioni proprie diverse tra testa e coda, precisamente la coda deve avere accelerazione propria maggiore della testa, se si vuole che i punti dell’asta mantengano la stessa velocitá. Ma questa é una storia diversa, a te basta la dimostrazione riportata all’inizio, di come si arriva alla velocitá :

$v = (g*t)/sqrt(1+g^2t^2) = (dx)/(dt) $

nella ipotesi di accelerazione propria costante $g$. Sotto lo spoiler seguente ho messo un’altra spiegazione trovata in buoni appunti di RR :

c’è anche un esempio numerico. Assumendo $g =10m/s^2$ ( quasi pari alla accelerazione di gravità al suolo terrestre), la particella raggiunge la velocità $v= 0,999c$ in un tempo proprio pari a 3.6 anni; invece il tempo coordinato , misurato dalla base di lancio, vale circa 22 anni.

Ma ora basta, non faccio più modifiche, perché mi sembra che non ci sia interesse.