Dimensione della costante elastica dei gas
Salve ragazzi, vorrei togliermi un dubbio:
Sul mio libro di testo ho trovato scritta questa espressione della costante elastica dei gas:
\(\displaystyle R = p_0 \cdot V_m \cdot \alpha = (1.01325 \cdot 10^5) \cdot (0.022414) \cdot \left(\frac {1}{273.15}\right) = 8.314 [J/mol K]\)
dove \(\displaystyle p_0 \) è chiaramente la pressione atmosferica in Pascal \(\displaystyle Pa \); \(\displaystyle V_m \) è il volume molare espresso in \(\displaystyle m^3 \) mentre \(\displaystyle \alpha = \frac {1}{273.15} \) è in \(\displaystyle °C^{-1} \)
Allora mi chiedo come possa uscire quell'unità di misura finale per R, ovvero \(\displaystyle [J/mol K] \)? cioè a me dimensionalmente viene così:
\(\displaystyle \left[\frac{Pa \cdot m^3}{°C} \right] = \left[\frac{N m}{°C}\right] = \left[\frac{J}{°C}\right] \)
ma non riesco mica ad arrivare alle unità di misura del libro!!!
Potete aiutarmi?
Grazie mille
Sul mio libro di testo ho trovato scritta questa espressione della costante elastica dei gas:
\(\displaystyle R = p_0 \cdot V_m \cdot \alpha = (1.01325 \cdot 10^5) \cdot (0.022414) \cdot \left(\frac {1}{273.15}\right) = 8.314 [J/mol K]\)
dove \(\displaystyle p_0 \) è chiaramente la pressione atmosferica in Pascal \(\displaystyle Pa \); \(\displaystyle V_m \) è il volume molare espresso in \(\displaystyle m^3 \) mentre \(\displaystyle \alpha = \frac {1}{273.15} \) è in \(\displaystyle °C^{-1} \)
Allora mi chiedo come possa uscire quell'unità di misura finale per R, ovvero \(\displaystyle [J/mol K] \)? cioè a me dimensionalmente viene così:
\(\displaystyle \left[\frac{Pa \cdot m^3}{°C} \right] = \left[\frac{N m}{°C}\right] = \left[\frac{J}{°C}\right] \)
ma non riesco mica ad arrivare alle unità di misura del libro!!!
Potete aiutarmi?
Grazie mille
Risposte
Intanto non e' la costante elastica, ma costante universale dei gas. Che la chiamino costante elastica mi giunge del tutto nuovo, e non capisco cosa abbia a che fare con l'elasticita.
Detto questo, una mole di gas occupa 22.414 litri alla temperatura di 0C (ovvero 273.15K).
2 moli occuperanno 2 volte quel volume a 273K etc etc
Quindi R=J/moleK
La cosa la vedi immediatamente se scrivi la formula pV=nRT.
Detto questo, una mole di gas occupa 22.414 litri alla temperatura di 0C (ovvero 273.15K).
2 moli occuperanno 2 volte quel volume a 273K etc etc
Quindi R=J/moleK
La cosa la vedi immediatamente se scrivi la formula pV=nRT.
Ti ringrazio per la precisazione sul fatto che si tratti giustamente della costante universale.
Il discorso che fai sulle moli è chiaro, il problema è che non riesco a ricondurre le unità di misura indicate nel primo post con quella finale. Dovrà pur esserci una relazione dimensionale?
\(\displaystyle \left[\frac{J}{°C}\right] = \left[\frac{J}{mol K}\right] \)
Perché?
Il discorso che fai sulle moli è chiaro, il problema è che non riesco a ricondurre le unità di misura indicate nel primo post con quella finale. Dovrà pur esserci una relazione dimensionale?
\(\displaystyle \left[\frac{J}{°C}\right] = \left[\frac{J}{mol K}\right] \)
Perché?
Te l ho gia spiegato sopra.
La legge dei gas perfetti e' R=PV/nT dove n e' in moli e T e' in Kelvin.
mettici dentro le unita' di misura e cosa ti viene fuori?
La legge dei gas perfetti e' R=PV/nT dove n e' in moli e T e' in Kelvin.
mettici dentro le unita' di misura e cosa ti viene fuori?
Professorkappa temo non abbia capito la domanda e forse sono io a spiegarmi male.
A quel risultato che mi mostra, ci giungo anche io.
Il problema è che il libro scrive la seguente cosa:
\( \displaystyle R = p_0 \cdot V_m \cdot \alpha = (1.01325 \cdot 10^5) [Pa] \cdot (0.022414) [m^3] \cdot \left(\frac {1}{273.15} [°C^{-1}]\right) = 8.314 \left[Pa \cdot m^3 / °C\right] = 8.314 \left[J / mol K \right] \)
E' esattamente l'ultima uguaglianza dimensionale che non mi è chiara.
Ho capito che \(\displaystyle [J/molK] \) si può ricavare banalmente dall'equazione di stato (e su questo non avevo dubbi), ma io non credo che si possa fare un passaggio come quello che le ho mostrato, senza che esista una relazione dimensionale ben precisa, tra gli ultimi due membri dell'equazione.. Cioè in pratica si dovrebbe dimostrare in qualche modo che:
\( \displaystyle \left[Pa \cdot m^3 / °C\right] = \left[J / mol K \right] \)
A quel risultato che mi mostra, ci giungo anche io.
Il problema è che il libro scrive la seguente cosa:
\( \displaystyle R = p_0 \cdot V_m \cdot \alpha = (1.01325 \cdot 10^5) [Pa] \cdot (0.022414) [m^3] \cdot \left(\frac {1}{273.15} [°C^{-1}]\right) = 8.314 \left[Pa \cdot m^3 / °C\right] = 8.314 \left[J / mol K \right] \)
E' esattamente l'ultima uguaglianza dimensionale che non mi è chiara.
Ho capito che \(\displaystyle [J/molK] \) si può ricavare banalmente dall'equazione di stato (e su questo non avevo dubbi), ma io non credo che si possa fare un passaggio come quello che le ho mostrato, senza che esista una relazione dimensionale ben precisa, tra gli ultimi due membri dell'equazione.. Cioè in pratica si dovrebbe dimostrare in qualche modo che:
\( \displaystyle \left[Pa \cdot m^3 / °C\right] = \left[J / mol K \right] \)
Tieni conto che il volume molare ha per unità di misura $m^3/(mol)$ e che il grado Kelvin ed il grado Celsius sono unità di misura equivalenti ( le scale sono diverse ma l'unità è la stessa).
...e tieni conto ovviamente che Pa per metri cubi ti dà Joule.
"mathbells":
Tieni conto che il volume molare ha per unità di misura $ m^3/(mol) $ e che il grado Kelvin ed il grado Celsius sono unità di misura equivalenti ( le scale sono diverse ma l'unità è la stessa).
Matbells ti ringrazio della precisazione.
Forse ho capito quello che intendi.
In pratica l'unità del °C è uguale all'unità del grado K.
Quindi in realtà quando noi scriviamo
\(\displaystyle T[K] = T[°C] +273 \)
oppure
\(\displaystyle T[°C]=T[K] -273 \)
Quel \(\displaystyle 273 \) è un valore che, a rigore, nel primo caso è espresso in \(\displaystyle °C \) , mentre nel secondo in \(\displaystyle K \); proprio perché l'unità è la stessa ed è solo un fattore di scala (per essere sommato deve essere omogeneo all'altro addendo).
Però quell'\(\displaystyle \alpha \) nella formula di Gay-Lussac è rigorosamente espresso in °C (come chiaramente indicato su vari libri di testo), anche perché se così non fosse, non si potrebbe giungere all'espressione finale dell'equazione di stato dove la temperatura è rigorosamente in Kelvin (infatti si giunge all'espressione: \(\displaystyle pV=nR\left(\frac{1}{\alpha}+t[°C]\right) \) dove poi\(\displaystyle \left(\frac{1}{\alpha}+t[°C]\right) = T[K] \).
Quindi il dubbio resta ancora.
Cioè va bene che le unità di misura sono equivalenti, ma una cosa è dividere un valore per una temeperatura in Kelvin e un altra dividere per la stessa temperatura in Celsius..Perché di questo si parla, di una stessa temperatura, ovvero quella standard (come imposto da Gay Lussac).
Allora, io non so da dove prendi le formule tu, ma mi ricorda un mio collega universitario che taroccava gli appunti, cosi chi studiava scroccandoglieli per non andare a lezione si trovava nei guai.
La prima legge della dinamica nei suoi appunti era $ F=1/M a $ dove M e' l'inverso della massa. Il bello e' che qualche pollo sprovveduto ci cascava all esame, e poi erano casini a spiegare al professore perche si introduceva l'inverso di M anziche la massa direttamente.
Detto questo e'la prima volta che vedo la legge dei gas perfetti espressa con un $\alpha $ nella temperatura.
La formula, a casa dei normali fisici e generalmente
pV=nRT, dove T DEVE essere espressa in Kelvin, NON in C. Se fosse espressa in C, una temperatura negativa, ti darebbe un risultato fisico non accettabile.
Alternativamente , ma e' meno comune, si puo scrivere pV=nR (t+273), dove ora t e' in C.
Da tutte e due le relazioni sopra, risulta che R=8314 e le dimensioni di R possono essere in J/(mol K) oppure J/(Mol C) . L'uso di K e' piu' comune perche normalmente si lavora con I Kelvin.
Lavorando con I Kelvin risulta vero un fatto importante: che se raddoppi la temperatura, mantenendo costanti gli altri 2 parametri, il terzo raddoppia. Cosa non vera se usi i C perche il 273.15 ti rovina la festa.
La prima legge della dinamica nei suoi appunti era $ F=1/M a $ dove M e' l'inverso della massa. Il bello e' che qualche pollo sprovveduto ci cascava all esame, e poi erano casini a spiegare al professore perche si introduceva l'inverso di M anziche la massa direttamente.
Detto questo e'la prima volta che vedo la legge dei gas perfetti espressa con un $\alpha $ nella temperatura.
La formula, a casa dei normali fisici e generalmente
pV=nRT, dove T DEVE essere espressa in Kelvin, NON in C. Se fosse espressa in C, una temperatura negativa, ti darebbe un risultato fisico non accettabile.
Alternativamente , ma e' meno comune, si puo scrivere pV=nR (t+273), dove ora t e' in C.
Da tutte e due le relazioni sopra, risulta che R=8314 e le dimensioni di R possono essere in J/(mol K) oppure J/(Mol C) . L'uso di K e' piu' comune perche normalmente si lavora con I Kelvin.
Lavorando con I Kelvin risulta vero un fatto importante: che se raddoppi la temperatura, mantenendo costanti gli altri 2 parametri, il terzo raddoppia. Cosa non vera se usi i C perche il 273.15 ti rovina la festa.
"professorkappa":
Detto questo e'la prima volta che vedo la legge dei gas perfetti espressa con un $ \alpha $ nella temperatura.
La formula, a casa dei normali fisici e generalmente (...)
Quell'\(\displaystyle \alpha \) nella formula non è nulla di tanto esoterico!!
Il ragazzo ha scritto esattamente quello che hai scritto anche tu.
\(\displaystyle pV=nRT = nR \left(\frac{1}{\alpha}+t[°C]\right) = nR(273.15+t) \)
Di fatti \(\displaystyle \frac{1}{\alpha} = 273.15 \), essendo \(\displaystyle \alpha \)il coefficiente di dilatazione termica dei gas.
Lo hai scritto pure tu alla fine
"professorkappa":
si puo scrivere pV=nR (t+273), dove ora t e' in C.
Condivido tutto il resto
"nicolpatrol":
Però quell'\(\displaystyle \alpha \) nella formula di Gay-Lussac è rigorosamente espresso in °C (come chiaramente indicato su vari libri di testo),[...]
Cioè va bene che le unità di misura sono equivalenti, ma una cosa è dividere un valore per una temeperatura in Kelvin e un altra dividere per la stessa temperatura in Celsius..Perché di questo si parla, di una stessa temperatura, ovvero quella standard (come imposto da Gay Lussac).
Quanto dici mi fa pensare che non hai ben chiaro il significato di unità di misura. Tu confondi una formula con una unità di misura. Qua ci tocca tornare all'ABC della fisica...
QUando scrivi una unità di misura, ad esempio quela della velocità, scrivi $m/s$, il che significa \(\displaystyle \frac{1m}{1s} \), cioè 1 metro diviso 1 secondo. Quando scrivi l'unità di misura del momento di una forza, scrivi \(\displaystyle Nm \), il che significa 1 newton per 1 metro. Così quando scrivi \(\displaystyle \frac{J}{mol\cdot °C} \) significa 1 joule diviso 1 mole, diviso 1 grado Celsius. QUindi, puoi sostituire tranquillamente quel "1 grado Celsius" con "1 grado Kelvin", vista la loro equivalenza. Chiaro?
Quello che dici tu è tutt'altra cosa, e cioè che se una formula è stata elaborata in funzione della temperatura assoluta ci devi mettere la temperatura assoluta e non, ovviamente, quella espressa in celsius (e viceversa....). Il problema oggetto del tuo post, è un problema che riguarda semplicemente il sapere cosa significa scrivere una unità di misura.
Mi pare che ogni risposta qui genera un casino.
Certo che la formula non e' esoterica, e certo che la scrivo anche io alla fine. Non e' che sono io ad andare contro 400 e rotti anni di fisica.
Pero bisogna chiarire dei dubbi, quindi bisogna rispondere e questo porta a fare anche considerazioni al di fuori del merito stretto della questione.
Per cominciare, il ragazzo si confondeva tra costante universale e costante dei gas.
Secondo, la costante di elasticita normalmente non e 'associata all'equazione di stato dei gas ma al viriale.
Prego notare l'accento su "normalmente".
Tutto qui. Se poi qualche testo la usa, non ne vedo l'utilita' immediata ne' ricordo di averla mai vista, ma nessuno e' perfetto e puo' darsi che mi sbaglio io.
Poi possiamo scrivere l' equazione di stato come piu ci pare e piace.
Io ho un testo di Fisica che dice $pV=1/2\gamma\T $ dove $ gamma $ e' la costante di PK pari a 2 volte il numero di moli del gas moltiplicata la costante universale dei gas perfetti. Per quanto corretta e non esoterica, ti giuro, non ne ho mai trovato l'utilita' pratica.
Se qui si apre un vaso di Pandora ogni volta che si da una risposta anche a questioni piu banali come l'equivalenza tra gradi K e C non si finisce piu'.
Certo che la formula non e' esoterica, e certo che la scrivo anche io alla fine. Non e' che sono io ad andare contro 400 e rotti anni di fisica.
Pero bisogna chiarire dei dubbi, quindi bisogna rispondere e questo porta a fare anche considerazioni al di fuori del merito stretto della questione.
Per cominciare, il ragazzo si confondeva tra costante universale e costante dei gas.
Secondo, la costante di elasticita normalmente non e 'associata all'equazione di stato dei gas ma al viriale.
Prego notare l'accento su "normalmente".
Tutto qui. Se poi qualche testo la usa, non ne vedo l'utilita' immediata ne' ricordo di averla mai vista, ma nessuno e' perfetto e puo' darsi che mi sbaglio io.
Poi possiamo scrivere l' equazione di stato come piu ci pare e piace.
Io ho un testo di Fisica che dice $pV=1/2\gamma\T $ dove $ gamma $ e' la costante di PK pari a 2 volte il numero di moli del gas moltiplicata la costante universale dei gas perfetti. Per quanto corretta e non esoterica, ti giuro, non ne ho mai trovato l'utilita' pratica.
Se qui si apre un vaso di Pandora ogni volta che si da una risposta anche a questioni piu banali come l'equivalenza tra gradi K e C non si finisce piu'.
Infatti era solo una precisazione! Mi scuso se sono sembrato arrogante, non era intenzione!
"professorkappa":
... e' la costante di PK ...
Ehi, ti hanno già dedicato una costante ...
Festeggiamo ?
Cordialmente, Alex
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