Dilatazione termica cubica
Il coefficente di dilatazione termica cubica è definito da
[tex]$\beta=\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{p}\frac{1}{V}$[/tex]
Non riesco a capire lui da solo cosa "indica", ho cercato su wikipedia e ho trovato che
Come si giustifica questo?
[tex]$\beta=\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{p}\frac{1}{V}$[/tex]
Non riesco a capire lui da solo cosa "indica", ho cercato su wikipedia e ho trovato che
β misura il cambiamento frazionale della densità in funzione dell'incremento della temperatura a pressione costante.
Come si giustifica questo?
Risposte
la derivata del volume rispetto la temperatura a pressione costante misura la variazione del volume in funzione della variazione della temperatura (a parità di presione) questa è valutata relativamente al volume, (da qui la divisione) in modo da svincolare la definizione dal particolare volume. almeno è quello che ci vedo io in quella formula contando che sono molto arruginito per cio che riguarda la termodinamica
la derivata del volume rispetto la temperatura a pressione costante misura la variazione del volume in funzione della variazione della temperatura (a parità di presione)
Ci avevo pensato anch'io, ma non capisco questo. La variazione di volume $\Delta V$ in funzione della variazione di temperatura $\Delta T$ può essere approssimata con il differenziale:
[tex]$\Delta V = \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{p} \Delta T$[/tex] approssimazione valida per variazioni di temperatura infinitesime.
Ma il $\Delta T$ nella formula del coefficente di dilatazione non lo vedo, almenochè non considera variazioni unitarie della temperatura (ma in questa caso l'approssimazione non sarebbe più "buona", perchè $1$ non è un infinitesimo)
EDIT: E poi qual'è il legame con la densità, nella frase riportata da wikipedia?
guarda ti dico ciò che penso, non prenderlo per oro potrebbe essere non corretto.
il fatto che non ci sia $Delta T$ è perchè è considerata la variazione per variazione unitaria di temperatura. questo hai il vantaggio di rendere piu "indipendente" la definizione, infatti cosi com'è è applicabile ad una variazione qualsiasi della temperatura.
e questo senza perdere generalità perchè essendo una relazione lineare tra $Delta V$ e $Delta T$ se tu avessi $Delta V= k * Delta T$ e la volessi applicare ad una variazione $Delta T'$ avresti $Delta V' = (Delta V)/(Delta T) * Delta T' = k* Delta T'$ il fatto di riferire la definizione alla variazione unitaria ti permette di omettere la normalizzazione tanto dovresti dividere per 1.
il legame con la densità penso sia legato al fatto che la pressione sia costante, infatti moltiplicando e dividendo per la massa hai $beta= m/V * ((del V/m)/(del T) )_p = rho ((del)/(del T) 1/rho )_p$ poichè $del 1/rho = del/(del rho) 1/rho * del rho = -1/rho^2 del rho$ allora si può scrivere $del/(del T) 1/rho = -1/rho^2 del/(del T) rho$ e quindi $beta= -1/rho ((del rho)/(del T) )_p$ che è la misura della variazione della pressione con la temperatura analoga a quella di prima.
il fatto che non ci sia $Delta T$ è perchè è considerata la variazione per variazione unitaria di temperatura. questo hai il vantaggio di rendere piu "indipendente" la definizione, infatti cosi com'è è applicabile ad una variazione qualsiasi della temperatura.
e questo senza perdere generalità perchè essendo una relazione lineare tra $Delta V$ e $Delta T$ se tu avessi $Delta V= k * Delta T$ e la volessi applicare ad una variazione $Delta T'$ avresti $Delta V' = (Delta V)/(Delta T) * Delta T' = k* Delta T'$ il fatto di riferire la definizione alla variazione unitaria ti permette di omettere la normalizzazione tanto dovresti dividere per 1.
il legame con la densità penso sia legato al fatto che la pressione sia costante, infatti moltiplicando e dividendo per la massa hai $beta= m/V * ((del V/m)/(del T) )_p = rho ((del)/(del T) 1/rho )_p$ poichè $del 1/rho = del/(del rho) 1/rho * del rho = -1/rho^2 del rho$ allora si può scrivere $del/(del T) 1/rho = -1/rho^2 del/(del T) rho$ e quindi $beta= -1/rho ((del rho)/(del T) )_p$ che è la misura della variazione della pressione con la temperatura analoga a quella di prima.
densità:$\rho=(1/V)$ -perchè $V$ non è il volume ma il volume specifico, cioè
il volume per unità di massa.
il volume per unità di massa.
Credo di aver capito tutto (@orazioster: La $V$ alla quale ti riferisci è quella della formula del mio primo post?), ma...
Ma resta il fatto che quella approssimazione è valida per variazioni di temperatura infinitesime, non per variazioni unitarie. Quindi "l'incremento di volume" che ottengo ("il cambiamento frazionale della densità" come dice wikipedia) non è esatto, cioè potrebbe anche essere totalmente diverso da quello effettivo....
EDIT: Una volta spiegato quel $\Delta T = 1$ riesco a capire perchè dividere per $V$: in questo modo l'incremento di volume viene "distribuito" su tutto il volume e quindi otterrei l'incremento che ha un cubo di quel materiale di volume unitario (e, giustificando quel passaggio, a seguito di un incremento unitario della temperatura). Ma non riesco a capire come si spiega il porre $\Delta T=1$ senza neanche preoccuparmi dell'errore (non più trascurabile) che commetto nell'approsimazione
"cyd":
guarda ti dico ciò che penso, non prenderlo per oro potrebbe essere non corretto.
il fatto che non ci sia $Delta T$ è perchè è considerata la variazione per variazione unitaria di temperatura. questo hai il vantaggio di rendere piu "indipendente" la definizione, infatti cosi com'è è applicabile ad una variazione qualsiasi della temperatura..
Ma resta il fatto che quella approssimazione è valida per variazioni di temperatura infinitesime, non per variazioni unitarie. Quindi "l'incremento di volume" che ottengo ("il cambiamento frazionale della densità" come dice wikipedia) non è esatto, cioè potrebbe anche essere totalmente diverso da quello effettivo....
EDIT: Una volta spiegato quel $\Delta T = 1$ riesco a capire perchè dividere per $V$: in questo modo l'incremento di volume viene "distribuito" su tutto il volume e quindi otterrei l'incremento che ha un cubo di quel materiale di volume unitario (e, giustificando quel passaggio, a seguito di un incremento unitario della temperatura). Ma non riesco a capire come si spiega il porre $\Delta T=1$ senza neanche preoccuparmi dell'errore (non più trascurabile) che commetto nell'approsimazione
Allora dovrai fare un integrale.
Dovrei integrare la derivata? 
Come esempio, prendi il calore specifico, cioè il calore necessario per aumentre la temperature di un grammo di sostanza di un grado:
$c=1/m(\DeltaQ)/(\Deltat)$
$c=cost rarr \DeltaQ=mc\Deltat$
$c=c(t) rarr \DeltaQ=\int_{t_i}^{t_f}mc(t)dt$
$c=1/m(\DeltaQ)/(\Deltat)$
$c=cost rarr \DeltaQ=mc\Deltat$
$c=c(t) rarr \DeltaQ=\int_{t_i}^{t_f}mc(t)dt$
(a parte le notazioni, io nelle prime due righe avrei usato il delta minuscolo, altrimenti sembra che il $\Delta Q$ non lo integri)
Non ho ben capito dove vuoi che io arrivi ... quella di calore specifico è una definizione. Allora facciamo le cose passo-passo.
Abbiamo la nostra funzione che ci da il volume in funzione della temperatura $V=V(t)$ (giusto? altrimenti non si giustificherebbe neanche la derivata nella definizione di "coefficente di dilatazione termica cubica").
Vogliamo trovare la variazione di volume quando la temperatura varia di una quantità arbitrariamente piccola e la pressione si mantiene costante. Essa è il differenziale:
[tex]$dV = \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{p} dT$[/tex]
Ora dovrei integrare per avere cosa?
[tex]V_1 - V_0 = V(t_1) - V(t_0) + cost[/tex]
ma il fatto che la differenza tra i volumi era la differenza dei valori che assume la mia funzione era banale .... ripeto la mia perplessità .... non riesco a capire cosa vuoi che io integri ....
Non ho ben capito dove vuoi che io arrivi ... quella di calore specifico è una definizione. Allora facciamo le cose passo-passo.
Abbiamo la nostra funzione che ci da il volume in funzione della temperatura $V=V(t)$ (giusto? altrimenti non si giustificherebbe neanche la derivata nella definizione di "coefficente di dilatazione termica cubica").
Vogliamo trovare la variazione di volume quando la temperatura varia di una quantità arbitrariamente piccola e la pressione si mantiene costante. Essa è il differenziale:
[tex]$dV = \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{p} dT$[/tex]
Ora dovrei integrare per avere cosa?
[tex]V_1 - V_0 = V(t_1) - V(t_0) + cost[/tex]
ma il fatto che la differenza tra i volumi era la differenza dei valori che assume la mia funzione era banale .... ripeto la mia perplessità .... non riesco a capire cosa vuoi che io integri ....
Se banale tanto meglio. Ciò che conta è che solo facendo l'integrale ritrovi la variazione esatta, se moltiplicassi semplicemente per $\DeltaT$, commetteresti un errore, come avevi notato in un precedente post.
"raffamaiden":
Il coefficente di dilatazione termica cubica è definito da
[tex]$\beta=\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{p}\frac{1}{V}$[/tex]
Non riesco a capire lui da solo cosa "indica", ho cercato su wikipedia e ho trovato che
β misura il cambiamento frazionale della densità in funzione dell'incremento della temperatura a pressione costante.
Come si giustifica questo?
La formula sopra non si giustifica, è una definizione.
Non la si ricava da un ragionamento logico.
Evidentemente risponde alla domanda: di quanto è l'incremento frazionale del volume di un gas a pressione costante in funzione della temperatura ?
Siccome penso che stiamo parlando dei soliti gas perfetti la formula è sempre quella $ pV = nRT $, per cui
[tex]$\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{p}\frac{1}{V} = \frac {nR}{pV}$[/tex]
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