Differenziale in fisica
Ciao a tutti! ho appena cominciato il corso di fisica all'università presso la facoltà di ingegneria.. vi sarei grata se potreste aiutarmi indicandomi le conoscenze di matematica che bisogna avere per comprendere e applicare correttamente il differenziale in fisica..ho bisogno di capire quali sono gli argomenti che devo studiare a partire dagli integrali per arrivare a capire il differenziale, seppur non in maniera approfondita (purtroppo).. per favore non so come orientarmi, ho bisogno di un aiuto,grazie mille!
Risposte
Non ho ben capito ma forse ti posso dare una mano dato che ho iniziato anche io il corso di Fisica I (suppongo ti riferisca a quello dato che Fisica II necessita di strumenti matematici più avanzati).
Nella prima lezione seria che abbiamo fatto abbiamo visto qualche oraria, e abbiamo parlato di derivate e integrali.
In Analisi I abbiamo appena detto che la cardinalità di un insieme A è minore a quella di P(A), direi che siamo ben lontani dal calcolo differenziale.
Eppure il prof. di fisica ci ha parlato di derivate e integrali, chi sa cosa sono ha una mezza idea di cosa abbia detto, gli altri si schiariranno le idee più avanti. Ci saranno spiegate più avanti.
Ritengo che si possa capire Fisica I in una maniera decente anche senza sapere cosa sono effettivamente gli integrali, meglio approfondire il loro studio durante il giusto corso (Analisi I).
Nella prima lezione seria che abbiamo fatto abbiamo visto qualche oraria, e abbiamo parlato di derivate e integrali.
In Analisi I abbiamo appena detto che la cardinalità di un insieme A è minore a quella di P(A), direi che siamo ben lontani dal calcolo differenziale.
Eppure il prof. di fisica ci ha parlato di derivate e integrali, chi sa cosa sono ha una mezza idea di cosa abbia detto, gli altri si schiariranno le idee più avanti. Ci saranno spiegate più avanti.
Ritengo che si possa capire Fisica I in una maniera decente anche senza sapere cosa sono effettivamente gli integrali, meglio approfondire il loro studio durante il giusto corso (Analisi I).
Esatto..mi riferisco al corso di Fisica 1..gli integrali credo verranno introdotti più in la, quando si dtudierà il lavoro, no?... per ora mi chiedevo soltanto se servisse il differenziale, visto che su ogni libro di fisica nel momento in cui si parla di velocità ad esempio si fa riferimento a questo strumento matematico.. quindi ritieni che per ora posso anche risolvere i problemi, ad esempio, facendo uso del semplice rapporto tra "la variazione di spazio e la variazione di tempo" (per la velocità)..?
in ogni caso volevo sapere quale sarebbe la catena di argomenti necessaria per arrivare al differenziale; corregetemi se sbaglio:
integrali>>>>funzioni di due variabili>>>derivate parziali>>>equazioni differenziali ordinarie>>integrali curvilinei>>forme differenziali
il mio obiettivo è arrivare a comprendere questo concetto il prima possibile quindi vorrei sapere se alcuni argomenti sono "superflui" nel mio caso..inoltre sono necessarie anche le serie?
scusatemi, grazie per le risposte in anticipo.
in ogni caso volevo sapere quale sarebbe la catena di argomenti necessaria per arrivare al differenziale; corregetemi se sbaglio:
integrali>>>>funzioni di due variabili>>>derivate parziali>>>equazioni differenziali ordinarie>>integrali curvilinei>>forme differenziali
il mio obiettivo è arrivare a comprendere questo concetto il prima possibile quindi vorrei sapere se alcuni argomenti sono "superflui" nel mio caso..inoltre sono necessarie anche le serie?
scusatemi, grazie per le risposte in anticipo.
intanto puoi vedere il differenziale come una variazione infinitesima di una grandezza (in funzione della variazione infinitesima di una o più variabili da cui dipende).
per esempio $d x = (d x)/(d t) d t$
questa espressione ti dice come varia x(t) per una variazione infinitesima di t.
cosi ad esempio se x fosse $x(t) = 3 t^2 + 4t+ 9$ allora se voglio vedere la variazione infinitesima di x(t) per una variazione $dt$ ho $(d x)/(d t) = 6 t + 4$ (derivata) quindi $dx = (6 t + 4) dt$
per esempio prendi la temperatura di una stanza $T$, voglio sapere quanto varia la temperatura se mi muovo in tale spazio. chiaramente se mi muovo lungo una direzione $x$ la temperatura in generle varierà differentemente dal caso in cui mi muova lungo $y$. come descrivere tale fenomeno? beh pe esempio tramite 3 espressioni che mi dicano appunto quanto varia T nelle tre direzioni x,y,z: cioè $dT_x = (d T)/(d x) dx$, dT_y = (d T)/(d y) dy$ e dT_z = (d T)/(d z) dz$ e $dT$ sarà la somma delle variazioni, $dT= (d T)/(d x) dx + (d T)/(d y) dy + (d T)/(d z) dz$
piccolo p.s. gia che hai tre valori tanto vale definire un vettore (il gradiente) definito come $vec(grad) T = ((d T)/(d x), (d T)/(d y), (d T)/(d z))$ a questo punto dato un vettore $vec(ds) = (dx,dy,dx)$ che rappresenta la variazione della posizione si ha $dT = vec(grad) T * vec(d s)$, ma questo per ora puoi dimenticartelo.
una volta noto $dT$ e chiaramente l'espressione di T, per esempio $T= 3 x^2 + 2y -4z^3$ (cioè come varia la temperatura a seconda della posizione (x,y,z) in cui ti trovi) puoi calcolare la variazione di temperatura lungo un percorso. infatti se sei inizialmente in $p_0=(x_0,y_0,z_0)$ e ti muovi lungo x di $x_1$ hai. $dT = (d T)/(d x) dx + (d T)/(d y) dy + (d T)/(d z) dz = (d T)/(d x) dx$ (poichè le variazioni lungo y e z sono nulle dato che mi sono mosso solo lungo x).
allora si ha $(d T)/(d x) = 6 x$ (derivata) e $dT = 6x dx$ integrando tra $x_0$ e $x_1$ ho$int_(T_0)^(T_1) = int_(x_0)^(x_1) 6 x dx$ cioè $Delta T_x = T_1 - T_0 = 3(x_1^2 - x_0^2)$ e cosi via
per esempio $d x = (d x)/(d t) d t$
questa espressione ti dice come varia x(t) per una variazione infinitesima di t.
cosi ad esempio se x fosse $x(t) = 3 t^2 + 4t+ 9$ allora se voglio vedere la variazione infinitesima di x(t) per una variazione $dt$ ho $(d x)/(d t) = 6 t + 4$ (derivata) quindi $dx = (6 t + 4) dt$
per esempio prendi la temperatura di una stanza $T$, voglio sapere quanto varia la temperatura se mi muovo in tale spazio. chiaramente se mi muovo lungo una direzione $x$ la temperatura in generle varierà differentemente dal caso in cui mi muova lungo $y$. come descrivere tale fenomeno? beh pe esempio tramite 3 espressioni che mi dicano appunto quanto varia T nelle tre direzioni x,y,z: cioè $dT_x = (d T)/(d x) dx$, dT_y = (d T)/(d y) dy$ e dT_z = (d T)/(d z) dz$ e $dT$ sarà la somma delle variazioni, $dT= (d T)/(d x) dx + (d T)/(d y) dy + (d T)/(d z) dz$
piccolo p.s. gia che hai tre valori tanto vale definire un vettore (il gradiente) definito come $vec(grad) T = ((d T)/(d x), (d T)/(d y), (d T)/(d z))$ a questo punto dato un vettore $vec(ds) = (dx,dy,dx)$ che rappresenta la variazione della posizione si ha $dT = vec(grad) T * vec(d s)$, ma questo per ora puoi dimenticartelo.
una volta noto $dT$ e chiaramente l'espressione di T, per esempio $T= 3 x^2 + 2y -4z^3$ (cioè come varia la temperatura a seconda della posizione (x,y,z) in cui ti trovi) puoi calcolare la variazione di temperatura lungo un percorso. infatti se sei inizialmente in $p_0=(x_0,y_0,z_0)$ e ti muovi lungo x di $x_1$ hai. $dT = (d T)/(d x) dx + (d T)/(d y) dy + (d T)/(d z) dz = (d T)/(d x) dx$ (poichè le variazioni lungo y e z sono nulle dato che mi sono mosso solo lungo x).
allora si ha $(d T)/(d x) = 6 x$ (derivata) e $dT = 6x dx$ integrando tra $x_0$ e $x_1$ ho$int_(T_0)^(T_1) = int_(x_0)^(x_1) 6 x dx$ cioè $Delta T_x = T_1 - T_0 = 3(x_1^2 - x_0^2)$ e cosi via
grazie mille! gentilissimo!
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