Differenziale
Salve a tutti, qualcuno mi spiega il perché della seguente uguaglianza?
$ d(1/2Iw^2) = 1/2I2wdw $ dove I è momento d'inerzia e w velocità angolare
immagino che essendo $ 1/2I $ costante sia $ d(1/2Iw^2) = 1/2Id(w^2) $ ma in base a quale regola matematica si ha che $ dw^2 = 2wdw$ ? cioè so che la derivata di $w^2$ è $2w$ ma qui c'è un differenziale non una derivata, cosa mai incontrata prima neanche in analisi matematica 1
$ d(1/2Iw^2) = 1/2I2wdw $ dove I è momento d'inerzia e w velocità angolare
immagino che essendo $ 1/2I $ costante sia $ d(1/2Iw^2) = 1/2Id(w^2) $ ma in base a quale regola matematica si ha che $ dw^2 = 2wdw$ ? cioè so che la derivata di $w^2$ è $2w$ ma qui c'è un differenziale non una derivata, cosa mai incontrata prima neanche in analisi matematica 1
Risposte
Ciao, ti rispondo da fisico altrimenti non ne usciamo vivi 
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\(\displaystyle \frac{d(\omega^2)}{d\omega}=2\omega \quad \Rightarrow \quad d(\omega ^2)=2\omega d\omega \)
In pratica, cerca di vedere la notazione usata per la derivata come il rapporto tra quantità infinitesime.
. \(\displaystyle \frac{d(\omega^2)}{d\omega}=2\omega \quad \Rightarrow \quad d(\omega ^2)=2\omega d\omega \)
In pratica, cerca di vedere la notazione usata per la derivata come il rapporto tra quantità infinitesime.
"Usernamer":
[....] ma qui c'è un differenziale non una derivata, cosa mai incontrata prima neanche in analisi matematica 1
Mai incontrata in Analisi? Strano.Il differenziale per definizione è la variazione di una funzione approssimata al primo ordine: in pratica quindi si approssima la funzione in un dato punto con la retta tangente in quel punto e si calcola la variazione della funzione come variazione sulla retta approssimante per cui:
$df(x_0)=\frac{df(x_0)}{d x} dx$
dove con $dx$ si rappresenta il differenziale di $x$, che a sua volta vale ovviamente $ 1 * Delta x$ ($Delta x$ è la generica quantità $x-x_0$).
cioè è stato accennato ma mai utilizzato se non in un rapporto tra due differenziali, da solo mai...
ah ok quindi la scrittura $ (dw^2)/(dw) $ significa la derivata di $w^2$ ripetto a $w$ dico bene?
ah ok quindi la scrittura $ (dw^2)/(dw) $ significa la derivata di $w^2$ ripetto a $w$ dico bene?
"Usernamer":
cioè è stato accennato ma mai utilizzato se non in un rapporto tra due differenziali, da solo mai...
Questo è un linguaggio improprio che è a volte utile in fisica, ma è quasi una bestemmia in analisi matematica: non ha senso definire la derivata come rapporto di differenziali, né ha senso fare un rapporto tra differenziali..."Usernamer":
ah ok quindi la scrittura $ (dw^2)/(dw) $ significa la derivata di $ w^2 $ ripetto a $ w $ dico bene?
Non ci credo che hai studiato analisi e hai dubbi su questo.. certo!
"Faussone":
Non ci credo che hai studiato analisi e hai dubbi su questo.. certo!
come ho già scritto i differenziali non li abbiamo usati in analisi, e in fisica li stiamo usando senza aver prima definito quelle "formalità", non ero abituato a vedere al denominatore la stessa variabile presente al numeratore, quindi ho semplicemente voluto assicurarmi di aver capito giusto...
ad ogni modo grazie per le risposte
Prego. Solo un'altra cosa: è vero che in fisica è comodo a volte trattare i differenziali come quantità finite (benché è formalmente errato dal punto di vista matematico e se non si fa attenzione si possono scrivere cose prive di senso), ma tieni sempre presente che un conto è scrivere $d f(x)$ che si intende si tratta del differenziale di $f$ come definito in precedenza, un conto è scrivere $\frac{d f}{dx}$ che deve essere interpretato non come un rapporto di differenziali, ma come derivata di $f$ rispetto a $x$ (che non è un rapporto di differenziali!): insomma in pratica scrivere $\frac{d f}{dx}$ è come scrivere $f'(x)$.
[ot]Però i metodi urangutani hanno sempre la loro utilità pratica !
Se non si usassero, i libri di fisica sarebbero grossi e complicati come astrusissime enciclopedie di matematica.
Facciamo finta che non ho detto niente, però, eh!
[/ot]
Se non si usassero, i libri di fisica sarebbero grossi e complicati come astrusissime enciclopedie di matematica.
Facciamo finta che non ho detto niente, però, eh!
[/ot]
Il commento di Falco5x mi ha fatto tornare in mente le tante lunghe (e per me interessanti) discussioni che abbiamo avuto qui sul forum gli anni passati sul modo di usare i differenziali.
@Usernamer
Se/quando avrai tempo dai una letta a questa lunga discussione. Sono sicuro che potrà esserti utile.
@Usernamer
Se/quando avrai tempo dai una letta a questa lunga discussione. Sono sicuro che potrà esserti utile.
Quando si approssima una funzione con una retta ad essa tangente nel punto dal quale si considera l'incremento si ha che df=tg (a)dx quindi df/dx=tg (a) (intesi come divisione del differenziale df e di dx) ma la derivata calcolata nel punto è il coefficiente angolare della retta tantente la funzione nel punto..ovvero f'(x)=tg(a)=df/dx(nella seconda uguaglianza si intende ancora divisione tra i differenziali) quindi non ci vedo niente di così sconcertante nel vedere la derivata come rapporto tra i differenziali...graficamente è così e spesso è anche un metodo usato per dimostrare la regola della catena per funzioni composte..anche se in realtà a voler essere precisi sarebbe meglio considerare degli incrementi finiti e mandare a zero con il limite..
"shinobi9":
.anche se in realtà a voler essere precisi sarebbe meglio considerare degli incrementi finiti e mandare a zero con il limite..
Appunto.
Credo che il problema sia proprio questo: un conto è fare la derivata come limite di un rapporto (incrementale), diverso è dire che abbia significato trattare il rapporto di entità infinitesime come i differenziali usando l'algebra ordinaria come fossero entità finite.
Però siccome se ne è già molto parlato nel thread citato da Faussone, credo che la questione sia davvero chiusa e non valga la pena continuare a parlarne qui.
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