Differenza tra spostamento infinitesimo e spostamento elementare
Salve, sto preparando un esame di Meccanica razionale e mi sono imbattuto in questo dubbio a cui non riesco a fare una risposta...sostanzialmente qual'e la differenza tra spostamento infinitesimo e spostamento elementare?? Grazie
Risposte
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Li ho sempre adoperati come sinonimi. Però non so se nel tuo contesto assumano significati differenti. Potresti postare degli estratti dal libro da dove stai studiando, per accertarsi che l'autore intenda la medesima cosa. 
Premetto che il prof non ci ha dato nessun testo di meccanica razionale ma solo alcuni appunti suoi scritti a mano da cui ricopio questo..
Praticamente lui scrive che a partire da una determinata posizione, $P(x_1, ... , x_m)$ con m variabili che caratterizzano la posizione del sistema, si considerino gli spostamenti, i quali li scrive sottoforma di differenziale della posizione:
$ dP= sum_(i = \1)^(m) (partial P)/(partialx_i) dx_i $
Introduce poi il tempo nella posizione $P(x_1, ... , x_m, t)$ e lo spostamento diventa:
$ dP= sum_(i = \1)^(m) ((partial P)/(partialx_i))_o dx_i + ((partial P)/(partial t))_o dt$
(il pedice $o$ perchè sono calcolate le derivate parziali in una posizione precisa)
Questo che ho appena scritto dice essere SPOSTAMENTO INFINITESIMO $partial P$ che per $dt=0$ implica un qualsiasi valore $partialP$
Poi dice che se introduciamo il concetto di moto, innanzitutto varierà la posizione che scriveremo così $P(x_1 (t), ... , x_m (t), t)$ e differenziando avremo:
$ dP= sum_(i = \1)^(m) ((partial P)/(partialx_i))_o dot(x) dt + ((partial P)/(partial t))_o dt = v_p ^o dt + ((partial P)/(partial t))_o dt$
($dot(x)$ il puntino sulla x vuol dire che è la derivata della x rispetto al tempo)
Questo dice che è lo SPOSTAMENTO ELEMENTARE che per $dt=0$ risulta nullo. Scrive ancora che $dot(x)dt$ possiamo scriverlo come $partial x_i$. I due tipi di spostamento sembrano uguali ma non lo sono perchè per $dt=0$ risulteranno diversi.
Lo spost. infinitesimo sarà:
$ dP= sum_(i = \1)^(m) ((partial P)/(partialx_i))_o dx_i $ (questo lo chiameremo SPOSTAMENTO VIRTUALE ora)
e quello elementare sarà:
$dP=0$
Quello che non capisco è qual'è questa differenza tra i due? Tra infinitesimo e elementare?
Praticamente lui scrive che a partire da una determinata posizione, $P(x_1, ... , x_m)$ con m variabili che caratterizzano la posizione del sistema, si considerino gli spostamenti, i quali li scrive sottoforma di differenziale della posizione:
$ dP= sum_(i = \1)^(m) (partial P)/(partialx_i) dx_i $
Introduce poi il tempo nella posizione $P(x_1, ... , x_m, t)$ e lo spostamento diventa:
$ dP= sum_(i = \1)^(m) ((partial P)/(partialx_i))_o dx_i + ((partial P)/(partial t))_o dt$
(il pedice $o$ perchè sono calcolate le derivate parziali in una posizione precisa)
Questo che ho appena scritto dice essere SPOSTAMENTO INFINITESIMO $partial P$ che per $dt=0$ implica un qualsiasi valore $partialP$
Poi dice che se introduciamo il concetto di moto, innanzitutto varierà la posizione che scriveremo così $P(x_1 (t), ... , x_m (t), t)$ e differenziando avremo:
$ dP= sum_(i = \1)^(m) ((partial P)/(partialx_i))_o dot(x) dt + ((partial P)/(partial t))_o dt = v_p ^o dt + ((partial P)/(partial t))_o dt$
($dot(x)$ il puntino sulla x vuol dire che è la derivata della x rispetto al tempo)
Questo dice che è lo SPOSTAMENTO ELEMENTARE che per $dt=0$ risulta nullo. Scrive ancora che $dot(x)dt$ possiamo scriverlo come $partial x_i$. I due tipi di spostamento sembrano uguali ma non lo sono perchè per $dt=0$ risulteranno diversi.
Lo spost. infinitesimo sarà:
$ dP= sum_(i = \1)^(m) ((partial P)/(partialx_i))_o dx_i $ (questo lo chiameremo SPOSTAMENTO VIRTUALE ora)
e quello elementare sarà:
$dP=0$
Quello che non capisco è qual'è questa differenza tra i due? Tra infinitesimo e elementare?
Credo di aver capito! Non avevo mai visto questa distinzione...
Ora non ho tempo di risponderti esaurientemente ma prima ti vorrei chiedere: sei a digiuno di geometria differenziale?
Ciao
Ora non ho tempo di risponderti esaurientemente ma prima ti vorrei chiedere: sei a digiuno di geometria differenziale?
Ciao
Ti riferisci a robe di curve, superfici ecc. che si studiano in Analisi Matematica??
Ti riferisci a robe di curve, superfici ecc. che si studiano in Analisi Matematica??
Mi riferisco al concetto di varietà differenziabili e di calcolo differenziale su di esse.
Stai studiando la meccanica lagrangiana. E, fortunatamente per te, quando Lagrange scrisse il "Mecanique Analitique" non aveva idea di cosa fosse la geometria differenziale, quindi non ti preoccupare. Fossi te, se avessi tempo, ci darei un'occhiata.
Tornando al topic...
Immagino che tu voglia sapere il significato fisico che c'è dietro quelle due definizioni. In realtà c'è una ragione più sottile dovuta alla natura geometrico-differenziale del problema.
Senza entrare nel dettaglio, fino a che non si parla di moto si resta nella cinematica.
Facciamo un esempio:
Per un doppio pendolo (un pendolo alla cui estremità è vincolato un altro pendolo) con quanti parametri puoi individuarlo se il suo moto è piano?
Chiaramente sono 2 parametri ovvero: bastano due angoli per individuare le posizioni dei due pendoli. Ti trovi?
Tralascio, per semplicità, un'eventuale dipendenza esplicita del tempo nella posizione. Tanto ai fini dell'esempio e della spiegazione il termine \( dP= \sum_{i=1}^{m} (\frac{\partial P}{\partial x})_{o} dx_i + (\frac{\partial P}{\partial t})_o dt \) non cambia da una definizione di spostamento all'altra.
Dal punto di vista cinematico il nostro pendolo vive in uno spazio ideale, spazio delle configurazioni, che è la superficie di un toro, una ciambella. Infatti c'è una corrispondenza locale tra un punto della superficie torica e la coppia di angoli.
Quando assegni una posizione, stai dando un punto sulla superficie torica. Siamo in cinematica.
E siamo ancora in cinematica quando gli facciamo fare uno spostamento infinitesimo ovvero una differenza di posizioni sul toro. Differenza di posizioni che può essere del tutto arbitraria, ma sempre vincolata al fatto che un punto del sistema considerato deve vivere sulla superficie torica, anzi tangente. Tra l'altro, siccome non c'è il termine relativo al tempo, quest'ultimo è a tutti gli effetti uno spostamento virtuale. Ti dovrebbe anche apparire più chiaro il termine virtuale, perché è uno spostamento compatibile con la geometria tra tutti gli spostamenti reali possibili.
Quando invece parla di spostamento elementare si è in presenza di un moto e, dunque, di una traiettoria già assegnata sulla superficie torica, lungo dalla quale il sistema non può "scappare". Di fatti per \(dt=0\) lo spostamento è nullo. Hai mai visto un sistema evolvere in una nuova posizione senza che passi un istante di tempo?
Spero di essere stato chiaro.
Detto in parole povere lo spostamento infinitesimo è soltanto in funzione della posizione ed è lo spazio da un punto all'altro.. posizioni prese in maniera arbitraria.. mentre elementare è quando i punti sono dotati di un moto assegnato e quindi lo spostamento è quel pezzo di traiettoria che si compie in un certo istante di tempo.. per questo annullando il tempo è come se rimane tutto fermo e lo spostamento è nullo.. Ho capito bene? xD In ogni caso ti ringrazio per la risposta 
Bravo!
Tieni a mente però che c'è un mondo sotto quella sottile differenza. Per questo mi sono dilungato in quell'esempio, facendoti un'introduzione "pratica" della geometria differenziale.
Ciao
[ot]Dove studi?[/ot]
Tieni a mente però che c'è un mondo sotto quella sottile differenza. Per questo mi sono dilungato in quell'esempio, facendoti un'introduzione "pratica" della geometria differenziale.
Ciao
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