Differenza tra funzione composta e funzionale
Ciao, qualcuno potrebbe spiegarmi la differenza fra funzione composta e funzionale? M'interessa capire i due concetti più che il formalismo delle definzioni...Grazie
Risposte
Che io sappia un funzionale è una funzione lineare definita da uno spazio vettoriale al campo stesso. La funzione composta... è la funzione ottenuta come composizione di due funzioni 
Riuscite a farmi qualche esempio?? L'integrale e la derivata sono funzionali?
Ci racconti cosa stai leggendo? Così ti si potrà aiutare molto meglio.
PS: Ma cosa significa la frase in firma? Non ho capito: secondo te un matematico non mangia mele perché invece mangia solo pere, immaginando che siano mele?
PS: Ma cosa significa la frase in firma? Non ho capito: secondo te un matematico non mangia mele perché invece mangia solo pere, immaginando che siano mele?
Si sto studiando la meccanica quantistica per un esame di chimica computazionale e mi mancano delle basi matematiche tra cui questa...in particolare sto affrontando la tecnica dei moltiplicatori di lagrange per minimizzare l'energia ed ottenere le equazioni di hartree-fock.
Per quanto riguarda la frase, la scrissi anni fa e non ricordo piu il significato che gli avevo attribuito....
Per quanto riguarda la frase, la scrissi anni fa e non ricordo piu il significato che gli avevo attribuito....
Allora guarda, specialmente in fisica un "funzionale" è una funzione il cui argomento è una funzione. Quasi sempre un funzionale ha valori scalari. Ricordo che quello di funzione è un concetto del tutto generale e fondamentale: una funzione di un insieme $A$ in un insieme $B$ è l'assegnazione ad ogni elemento di $A$ di un unico elemento di $B$. Se $A$ è uno spazio di funzioni e $B$ è l'insieme dei numeri reali o complessi un fisico preferirà parlare di "funzionale". Si tratta di un gergo risalente, credo, ad Eulero.
Spesso un funzionale $I$ è lineare, nel senso che per ogni coppia di funzioni $f, g$ e per ogni coppia di scalari $\alpha, \beta$ esso verifica
\[
I[\alpha f+\beta g]=\alpha I[f]+\beta I[g];
\]
(noticina: è usanza dei fisici, parlando di funzionali, racchiudere l'argomento tra quadre. Non che lo facciano tutti: molti usano le tonde $I=I(f)$, oppure omettono del tutto le parentesi $I=If$. Quest'ultima scrittura è molto popolare per funzionali lineari). Esempi sono integrale e derivata, come notavi tu:
\[I[f]=\int_a^b f\, dx, \quad D[f](x)=\frac{df}{dx}(x), \]
sono funzionali lineari. Naturalmente queste scritture non hanno pienamente senso finché non siano stati specificati esplicitamente il dominio e il codominio di $I$ e di $D$. Per $I$ un buon dominio è quello delle funzioni continue su \([a, b]\), detto \(C([a, b])\), e il suo codominio è $RR$ (o $CC$ se prendi funzioni a valori complessi). Per $D$ un buon dominio è quello delle funzioni derivabili con continuità, detto \(C^1([a, b])\), e il codominio è lo spazio delle funzioni continue. Nota che in questo caso il codominio è anch'esso uno spazio di funzioni, e quindi di solito non si parla di "funzionale $D$" ma di operatore $D$.
Molti funzionali interessanti della fisica sono non lineari, però. E' il caso del funzionale dell'azione di un sistema Lagrangiano:
\[
S[\mathbb{q}]=\int_{t_0}^{t_1}\, dt\, L(\mathbb{q}(t), \dot{\mathbb{q}}(t))\,
\]
dove \(\mathbb{q}=(q_1, q_2, \ldots, q_n)\) sono le coordinate Lagrangiane. Questo funzionale è definito sullo spazio delle traiettorie ammissibili per il sistema: il suo argomento, \(\mathbb{q}\), è una funzione di \(t\) e infatti i fisici scrivono spesso \(S[\mathbb{q}(t)]\). Che io sappia esso non è mai lineare. Nel caso fondamentale dell'oscillatore armonico è
\[
S[\mathbb{x}]=\frac{1}{2}\int_{t_0}^{t_1} dt\, \left( m\lvert \dot{\mathbb{x}}\rvert^2-k\lvert \mathbb{x}\rvert^2\right).\]
Vedi subito che il funzionale non è lineare perché ci sono dei quadrati. Ad esempio, se sostituisci \(\mathbb{x}\) con \(2\mathbb{x}\), ottieni
\[S[2\mathbb{x}]=4S[\mathbb{x}], \]
e non \(S[2\mathbb{x}]=2S[\mathbb{x}]\), come dovresti avere se \(S\) fosse lineare.
Spesso un funzionale $I$ è lineare, nel senso che per ogni coppia di funzioni $f, g$ e per ogni coppia di scalari $\alpha, \beta$ esso verifica
\[
I[\alpha f+\beta g]=\alpha I[f]+\beta I[g];
\]
(noticina: è usanza dei fisici, parlando di funzionali, racchiudere l'argomento tra quadre. Non che lo facciano tutti: molti usano le tonde $I=I(f)$, oppure omettono del tutto le parentesi $I=If$. Quest'ultima scrittura è molto popolare per funzionali lineari). Esempi sono integrale e derivata, come notavi tu:
\[I[f]=\int_a^b f\, dx, \quad D[f](x)=\frac{df}{dx}(x), \]
sono funzionali lineari. Naturalmente queste scritture non hanno pienamente senso finché non siano stati specificati esplicitamente il dominio e il codominio di $I$ e di $D$. Per $I$ un buon dominio è quello delle funzioni continue su \([a, b]\), detto \(C([a, b])\), e il suo codominio è $RR$ (o $CC$ se prendi funzioni a valori complessi). Per $D$ un buon dominio è quello delle funzioni derivabili con continuità, detto \(C^1([a, b])\), e il codominio è lo spazio delle funzioni continue. Nota che in questo caso il codominio è anch'esso uno spazio di funzioni, e quindi di solito non si parla di "funzionale $D$" ma di operatore $D$.
Molti funzionali interessanti della fisica sono non lineari, però. E' il caso del funzionale dell'azione di un sistema Lagrangiano:
\[
S[\mathbb{q}]=\int_{t_0}^{t_1}\, dt\, L(\mathbb{q}(t), \dot{\mathbb{q}}(t))\,
\]
dove \(\mathbb{q}=(q_1, q_2, \ldots, q_n)\) sono le coordinate Lagrangiane. Questo funzionale è definito sullo spazio delle traiettorie ammissibili per il sistema: il suo argomento, \(\mathbb{q}\), è una funzione di \(t\) e infatti i fisici scrivono spesso \(S[\mathbb{q}(t)]\). Che io sappia esso non è mai lineare. Nel caso fondamentale dell'oscillatore armonico è
\[
S[\mathbb{x}]=\frac{1}{2}\int_{t_0}^{t_1} dt\, \left( m\lvert \dot{\mathbb{x}}\rvert^2-k\lvert \mathbb{x}\rvert^2\right).\]
Vedi subito che il funzionale non è lineare perché ci sono dei quadrati. Ad esempio, se sostituisci \(\mathbb{x}\) con \(2\mathbb{x}\), ottieni
\[S[2\mathbb{x}]=4S[\mathbb{x}], \]
e non \(S[2\mathbb{x}]=2S[\mathbb{x}]\), come dovresti avere se \(S\) fosse lineare.
Ti ringrazio vivamente! Credo pero di non avere ancora capito se esiste o meno una differenza fra funzione composta $f(g(x))$ e funzionale, inoltre di primo acchito nell'esempio dell'oscillatore armonico non mi è chiaro come si svolgono i calcoli e come si usano le notazioni
Non è facile rispondere ai tuoi dubbi. Comunque, fissata una funzione \(f\) resta definito un funzionale, chiamiamolo momentaneamente \(F\), per composizione: \(F\) è il funzionale che agisce su una funzione \(g\) così:
\[F[g](x)=(f\circ g)(x).\]
Questo più che un funzionale è un operatore, perché a funzione associa funzione (a \(g\) associa \(f\circ g\)).
Per il resto, purtroppo, non ti posso essere di grande aiuto. Meglio aprire un buon libro di meccanica e studiare un po' il formalismo Lagrangiano. Goldstein, Landau, Arnol'd, questi sono i titoli più famosi.
\[F[g](x)=(f\circ g)(x).\]
Questo più che un funzionale è un operatore, perché a funzione associa funzione (a \(g\) associa \(f\circ g\)).
Per il resto, purtroppo, non ti posso essere di grande aiuto. Meglio aprire un buon libro di meccanica e studiare un po' il formalismo Lagrangiano. Goldstein, Landau, Arnol'd, questi sono i titoli più famosi.
ok, ti ringrazio nuovamente! in che senso non e facile rispondere ai miei dubbi? non c'è una netta distinzione fra funzionale e funzione composta?
No, non è quello. E' che sono domande non standard. Spero comunque di avere chiarito un po' i tuoi dubbi.
Domanda interessante, ti faccio un esempio.
Definiamo le funzioni
\[ F : M_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow M_{2}(\mathbb{R}) \]
\[ F : M_F = \pmatrix{a & b \\ c & d} \mapsto F(M_F) = \pmatrix{b & a \\ d & c} \]
e
\[ G : M_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow M_{2}(\mathbb{R}) \]
\[ G : M_G = \pmatrix{a & b \\ c & d} \mapsto F(M_G) = \pmatrix{a & c \\ b & d} \]
dove $ M_2(\mathbb{R}) $ è l'insieme delle matrici quadrate di ordine $ 2 $ ad elementi reali.
Consideriamo ora $ F \circ G $, cioè
\[ F \circ G : M_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow M_{2}(\mathbb{R}) \]
\[ F \circ G : M_G = \pmatrix{a & b \\ c & d} \mapsto F(M_{F \circ G}) = \pmatrix{c & a \\ d & b} \]
Per come definita, la funzione composta prende in ingresso matrici (e non funzioni).
Un funzionale, invece, prende in ingresso funzioni.
Ad esempio, potremmo definire un funzionale in questo modo:
\[ H : F \mapsto \det F(I_2) \]
dove $ I_2 $ è la matrice identica di ordine $ 2 $.
Definiamo le funzioni
\[ F : M_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow M_{2}(\mathbb{R}) \]
\[ F : M_F = \pmatrix{a & b \\ c & d} \mapsto F(M_F) = \pmatrix{b & a \\ d & c} \]
e
\[ G : M_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow M_{2}(\mathbb{R}) \]
\[ G : M_G = \pmatrix{a & b \\ c & d} \mapsto F(M_G) = \pmatrix{a & c \\ b & d} \]
dove $ M_2(\mathbb{R}) $ è l'insieme delle matrici quadrate di ordine $ 2 $ ad elementi reali.
Consideriamo ora $ F \circ G $, cioè
\[ F \circ G : M_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow M_{2}(\mathbb{R}) \]
\[ F \circ G : M_G = \pmatrix{a & b \\ c & d} \mapsto F(M_{F \circ G}) = \pmatrix{c & a \\ d & b} \]
Per come definita, la funzione composta prende in ingresso matrici (e non funzioni).
Un funzionale, invece, prende in ingresso funzioni.
Ad esempio, potremmo definire un funzionale in questo modo:
\[ H : F \mapsto \det F(I_2) \]
dove $ I_2 $ è la matrice identica di ordine $ 2 $.
@Riccardo Desimini: La tua risposta non mi pare ben detta. Specialmente questo punto:
è completamente sbagliato. Se \(F\) è una funzione, essa può essere composta solo con un'altra funzione. Sei sicuro di ciò che stai dicendo?
la funzione composta prende in ingresso matrici e non funzioni
è completamente sbagliato. Se \(F\) è una funzione, essa può essere composta solo con un'altra funzione. Sei sicuro di ciò che stai dicendo?
Ti ringrazio ancora per le tue spiegazioni che un po mi hanno aiutato!!
"dissonance":
@Riccardo Desimini: La tua risposta non mi pare ben detta. Specialmente questo punto:
la funzione composta prende in ingresso matrici e non funzioni
è completamente sbagliato. Se \(F\) è una funzione, essa può essere composta solo con un'altra funzione. Sei sicuro di ciò che stai dicendo?
Non sono sicuro di aver ben capito la tua obiezione, potresti essere più esplicito?
Un funzionale non é una funzione composta, perché non ha come dominio l'oggetto della funzione f, ma proprio la funzione f!
"richard84":
Ti ringrazio ancora per le tue spiegazioni che un po mi hanno aiutato!!
Non so per quale motivo ma quando lo scrissi non avevo ancora letto i post di Riccardo, non appena ho un attimo di tranquillità li guardero meglio! Vi ringrazio ancora....
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