Differenza di potenziale tra sfere concentriche
Salve ragazzi, ho un problema sull'elettrostatica che non sono riuscito a capire:
posti due conduttori sferici concentrici $C_1$ e $C_2$, di raggi $R_1$ e $R_2$ con $R_1 < R_2$. Viene trasferita una carica $q_1$ negativa a $C_1$ ed una carica positiva $q_2$ a $C_2$. Il problema chiede la ddp tra $C_1$ e $C_2$.
Ora, il mio ragionamento è stato il seguente:
sapendo che
$ V=1/(4\pi\epsilon_0)*q/R $ è il potenziale di una sfera carica e che, posta una carica $q_1$ su $C_1$ per induzione si crea una carica $-q_1$ sulla superficie interna di $C_2$ e una carica $ q_1+q_2 $ sulla superficie esterna di $C_2$, la ddp tra le due sfere concentrice dovrebbe essere
$ \DeltaV = 1/(4\pi\epsilon_0)* (q_1/R_1 - (-q_1/R_2)) rArr \DeltaV = q_1/(4\pi\epsilon_0)* ( 1/R_1 + 1/R_2) $
In realtà la soluzione del libro dice $ \DeltaV = q_1/(4\pi\epsilon_0)* ( 1/R_1 - 1/R_2) $...
Il mio errore sta nel fatto che considero la ddp tra $q_1$ e la carica indotta $-q_1$ o in qualche altra scappatoia che non conosco?
posti due conduttori sferici concentrici $C_1$ e $C_2$, di raggi $R_1$ e $R_2$ con $R_1 < R_2$. Viene trasferita una carica $q_1$ negativa a $C_1$ ed una carica positiva $q_2$ a $C_2$. Il problema chiede la ddp tra $C_1$ e $C_2$.
Ora, il mio ragionamento è stato il seguente:
sapendo che
$ V=1/(4\pi\epsilon_0)*q/R $ è il potenziale di una sfera carica e che, posta una carica $q_1$ su $C_1$ per induzione si crea una carica $-q_1$ sulla superficie interna di $C_2$ e una carica $ q_1+q_2 $ sulla superficie esterna di $C_2$, la ddp tra le due sfere concentrice dovrebbe essere
$ \DeltaV = 1/(4\pi\epsilon_0)* (q_1/R_1 - (-q_1/R_2)) rArr \DeltaV = q_1/(4\pi\epsilon_0)* ( 1/R_1 + 1/R_2) $
In realtà la soluzione del libro dice $ \DeltaV = q_1/(4\pi\epsilon_0)* ( 1/R_1 - 1/R_2) $...
Il mio errore sta nel fatto che considero la ddp tra $q_1$ e la carica indotta $-q_1$ o in qualche altra scappatoia che non conosco?
Risposte
Non c'è alcuna carica indotta da considerare. Se sulla seconda sfera è indotta sulla "superficie interna" una carica $-q'$ (che non è detto sia $-q_1$), e sulla "superficie esterna" (adottando la tua terminologia) una carica $q'+q_2$, quello che vedi è una superficie sferica con carica superficiale totale $q_2$. In altre parole, la natura conduttrice delle sfere non ha alcuna influenza.
"Cmax":
Se sulla seconda sfera è indotta sulla "superficie interna" una carica $-q'$ (che non è detto sia $-q_1$), e sulla "superficie esterna" (adottando la tua terminologia) una carica $q'+q_2$, quello che vedi è una superficie sferica con carica superficiale totale $q_2$.
Il fatto che la carica indotta sia $-q_1$ è dovuto alla proprietà dei conduttori di avere campo elettrico interno nullo. Se come dici tu, la carica indotta fosse $-q' != -q_1$ sarebbe possibile disegnare una superficie Gaussiana interna a $C_2$ (e quindi contenente $C_1$) per la quale il flusso del campo elettrico sarebbe non nullo, in quanto sarebbe non nullo il campo elettrico stesso, e questo va in contrasto con quanto detto all'inizio.
Ed infatti nello spazio tra le due superfici sferiche il campo non è affatto nullo, come non lo è il suo flusso attraverso la una superficie come quella che hai descritto. Una superficie conduttrice scherma il campo causato da una carica esterna, ma non da una interna. In ogni caso, una carica di qualsiasi grandezza distribuita uniformemente su $C_2$ non ha alcun effetto sul campo al suo interno.
E ripeto che la natura del problema rende inutile considerare una separazione di cariche su $C_2$, anzi introduce complicazioni ulteriori: cosa terrebbe separate su una superficie conduttrice cariche a contatto (molto vicine, quindi con campo elevatissimo) e di segno opposto?
E ripeto che la natura del problema rende inutile considerare una separazione di cariche su $C_2$, anzi introduce complicazioni ulteriori: cosa terrebbe separate su una superficie conduttrice cariche a contatto (molto vicine, quindi con campo elevatissimo) e di segno opposto?
Un minuto, temo ci sia stato un malinteso
La situazione è più o meno questa: http://img139.imageshack.us/img139/5876/immaginejrt.png
La linea blu che ho tracciato è la superficie gaussiana di cui parlavo per la quale il flusso è nullo. Per il resto sono assolutamente d'accordo con quanto detto da te!
In effetti tutta la speculazione sulla carica che si viene a formare sulla superficie esterna di $C_2$ è inutile ai fini del problema, l'ho buttata lì per dare un quadro completo della situazione.
La situazione è più o meno questa: http://img139.imageshack.us/img139/5876/immaginejrt.png
La linea blu che ho tracciato è la superficie gaussiana di cui parlavo per la quale il flusso è nullo. Per il resto sono assolutamente d'accordo con quanto detto da te!
In effetti tutta la speculazione sulla carica che si viene a formare sulla superficie esterna di $C_2$ è inutile ai fini del problema, l'ho buttata lì per dare un quadro completo della situazione.
problema risolto: se faccio $ V_1 - V_2 = \int_{R_1}^{ R_2} E * ds$ viene evidente.
Scusate se riapro questa vecchia discussione, mi smebra più saggio che aprirne una nuova.
Ho un problema praticamente identico, il testo dell'esercizio mi dice che su $C1$ (interno) c'è una carica positiva $q1$, mentre su $C2$ (esterno) c'è una carica negativa $q2$ (negativa e diversa in valore assoluto da $q1$)
L'esercizio richiede di esprimere la funzione campo elettrico e la funzione potenziale nelle varie regioni dello spazio, e non ho chiaro come si distribuisce la carica sulle superfici dei conduttori, e in che modo c'entrino le cariche indotte..
Di sicuro so che:
1) per r
E quindi il potenziale come dovrei calcolarlo? per r>R_3 potrei considerare come riferimento V(inf) = 0 ma poi per le altre zone? posso considerare sempre V(inf) oppure ogni volta utilizzo come rif. la "parete più vicina"??
Vi ringrazio ho un po di confusione in testa a riguardo
Ho un problema praticamente identico, il testo dell'esercizio mi dice che su $C1$ (interno) c'è una carica positiva $q1$, mentre su $C2$ (esterno) c'è una carica negativa $q2$ (negativa e diversa in valore assoluto da $q1$)
L'esercizio richiede di esprimere la funzione campo elettrico e la funzione potenziale nelle varie regioni dello spazio, e non ho chiaro come si distribuisce la carica sulle superfici dei conduttori, e in che modo c'entrino le cariche indotte..
Di sicuro so che:
1) per r
E quindi il potenziale come dovrei calcolarlo? per r>R_3 potrei considerare come riferimento V(inf) = 0 ma poi per le altre zone? posso considerare sempre V(inf) oppure ogni volta utilizzo come rif. la "parete più vicina"??
Vi ringrazio ho un po di confusione in testa a riguardo
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