Differenza di potenziale tra conduttori

[Izzo2]

Tre conduttori $C1$,$C2$ e $C3$,sferici,cavi,concentrici,molto sottili,hanno rispettivamente raggi $R1=5 cm$, $R2=10 cm$, $R3=20 cm$. Una carica positiva $q1$ viene trasferita a $C1$, una carica negativa $q2$ a $C2$ e una carica positiva $q3$ a $C3$. Calcolare la differenza di potenziale $V3-V1$ tra i conduttori $C3$ e $C1$.
Ho risolto vari problemi simili utilizzando il seguente metodo, ora però non mi trovo. Innanzitutto trovo il campo elettrostatico in funzione di $r$.
Per $R1 mentre per
$R2 Siccome
$V3-V1= (V3-V2) + (V2-V1) $
pensavo di ricavarmi il risultato ottenendo
$V3-V2$ da $-int_(R2)^(R3) E2(r) dr$ e successivamente$V2-V1$ da $-int_(R1)^(R2) E1(r) dr$
ma non mi trovo in quanto mi uscirebbe
$V3-V1= ((-q2))/(4piepsilon) (1/(R3) - 1/(R2)) + (q1)/(4piepsilon) (1/(R2) - 1/(R1))$
mentre il risultato del libro porta
$V3-V1= ((q1+q2))/(4piepsilon) (1/(R3) - 1/(R2)) + (q1)/(4piepsilon) (1/(R2) - 1/(R1))$.
Dov'è che sbaglio utilizzando il mio ragionamento?

[donald_zeka]

$E_2=(q_1+q_2)/(4piepsilon_0r^2)$

[Izzo2]

Certo se è così si trova, ma perchè? Io mi trovo $E2= (-(q2))/(4piepsilonr^2)$

[donald_zeka]

Considera una superficie gaussiana sferica di raggio $R_2

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[Izzo2]

Detto questo sarei anche d'accordo con te, ma andrebbe in contraddizione con una soluzione del libro di un esercizio precedente, cioè questo:
"Cinque fogli metallici sferici di spessore trascurabile tutti concentrici aventi raggi pari a 1, 2, 3, 4, 5 cm sono collegati. Il sistema è inizialmente scarico. Una carica q=10^{-10}\ C è depositata sulla superficie più interna."
Il libro chiede di trovare il campo elettrostatico in funzione di $r$ e per $R2

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[donald_zeka]

La differenza tra i due esercizi è che nel secondo le sfere sono collegate e quindi sono un unico conduttore, pertanto la carica q depositata sulla superficie interna si trasferisce interamente sulla superficie più esterna, e il campo elettrico è nullo in ogni punto $r

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[Izzo2]

Beh no, in questo secondo esercizio, nelle soluzioni non porta il campo elettrostatico nullo per ogni $r

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[donald_zeka]

Perché avrai scritto male il testo dell'esercizio, scrivilo per bene e si capirà dov'è l'errore.

[Izzo2]

Questi sono i due esercizi, ovviamente io avevo chiesto solo i punti che mi interessavano .

[donald_zeka]

Come pensavo, hai riportato male il testo, infatti le 5 sfere non sono tutte collegate, ma sono solo collegate la 2 con la 3 e la 4 con la 5. Quindi se si pone una carica nella sfera 1, per induzione sulla sfera 2 si forma una carica -q, essendo la sfera 2 e la 3 un unico conduttore, allora sulla sfera 3 si formerà una carica q in modo che il conduttore costituito dalle sfere 2 e 3 resti completamente neutro. Stessa cosa per le sfere 4 e 5, ci sarà per induzione una carica -q sulla 4 e q sulla 5.
Il campo elettrico tra la 1 e la 2 vale $q/(4piepsilonr^2)$, tra la 2 e la 3 il campo è nullo perchè siamo dentro al conduttore 2-3 e infatti applicando gauss si ha che la carica netta contenuta su una superficie sferica tra la 2 e la 3 vale zero.
Tra la 3 e la 4 il campo elettrico vale ancora $q/(4piepsilonr^2)$ dato che ancora applicando gauss la carica netta totale contenuta su una superficie sferica compresa tra la 3 e la 4 vale q. Tra la 4 e la 5 il campo è nullo.

[Izzo2]

Ah ho capito, quindi se avessi avuto tutte e 5 le sfere collegate avrei avuto il campo nullo per $r Invece per l'esercizio 4.11 visto che non ho nessun conduttore collegato devo ragionare diversamente.
Cioè per $R1 per $R1 per $R2 GRAZIE!

[donald_zeka]

Se applichi gauss tra R1 e R2 hai che l'unica carica presente è la carica q1. Se applichi gauss tra R2 e R3 hai che la carica totale netta presente è q1+q2, ossia la carica presenta sulla sfera 1 e quella presente sulla sfera 2, quella presente sulla sfera 3 non va considerata perché te stai considerando R2R3 in cui la carica totale presente è q1+q2+q3 dato che le cariche di induzione si sommano e danno zero.

[Izzo2]

"Vulplasir": Per esempio la carica q1 presente in R1 per induzione produrrà una carica -q1 sulla superficie più interna di R2 e una carica q1 su qella esterna di R2, ma queste cariche inbdotte sono uguali e opposte, pertanto se applichi gauss tra R2 e R3 e sommi le cariche totali presenti, le cariche indotte su R2 essendo uguali e contrarie se sommate danno zero, pertanto la carica totale presente tra R2 e R3 è q1+q2

Avrei cioè $q1 - q1 + q1 + q2 = q1 + q2$ giusto?

[donald_zeka]

Si giusto

[Izzo2]

Grazie ancora