Dielettrico

[doyleanto]

Buongiorno, ho questo esercizio da risolvere :
Un conduttore sferico di raggio R = 5 cm è circondato da uno strato di dielettrico di costante dielettrica k = 6 e
spessore d = 2 cm. Il potenziale nel punto P distante RP= 10 cm dal centro della sfera vale V = 270 volt.
Determinare:
1. l’espressione del campo elettrico in tutti i punti dello spazio ( 0 < r < ∞ );
2. la carica libera;
3. l’espressione del vettore D in tutti i punti dello spazio ( 0 < r < ∞ );
4. le densità di carica di polarizzazione σP1 e σP2 sulla superficie interna ed esterna del dielettrico.

Ho pensato di iniziare a svolgere l'esercizio in questo modo:
- mi determino il campo E in tutti i punti dello spazio come se non ci fosse il dielettrico, ed avrò :
r r>R E = Q/(4πεor²)
Ora considero il sistema con il dielettrico poichè so che : Ek= E/K quindi :
r r>R Ek=Q/k(4πεor²) e nel caso particolare di r= Rp ho che il potenziale sarà V=Q/k(4πεoRp)

con la formula inversa posso determinare la carica libera Q=V*k*4πεoRp

Secondo voi il mio ragionamento è corretto??
Ora però come faccio a determinare i punti 3 e 4??

Grazie per l'aiuto.

[RenzoDF]

Per i punti 2 e 3 devi ricordare il semplice legame vettoriale fra spostamento elettrico $\vecD$, campo elettrico $\vecE$ e polarizzazione elettrica $\vecP$ ed inoltre la relazione notevole che lega la densità di carica superficiale $\sigma_p$ con il vettore polarizzazione $\vecP$ e il versore normale alla superficie $\hatn$ ; chiaramente in questo caso particolare dette relazioni vettoriali si semplificano drasticamente in un riferimento sferico.

[doyleanto]

I punti 1 e 2 , quindi, sono corretti?

[RenzoDF]

"doyleanto":I punti 1 e 2 , quindi, sono corretti?

Sostanzialmente si, hai solo sovrapposto gli intervalli di validità, ovvero dovresti differenziare il campo:
per r < R, per R < r< (R+d) e per r > (R+d).

[doyleanto]

Grazie RenzoDF,
ma potresti dirmi cosa cambia del campo se lo divido?
per r R r>R+d Ek=E/k

[RenzoDF]

Direi che il campo sia ridotto di un fattore k nel dielettrico non fuori, non credi?

[doyleanto]

Sarà:
r R r>R+d E= Q/4πεor² da qui V=Q/(4πεoRp) e mi ricavo la carica Q

Ora va bene?

[RenzoDF]

Non ti resta che determinare la densità di carica sulle superfici di separazione

$\sigma_p=\vecP\cdot\hatn$

[doyleanto]

Si, ho che la densità di carica sulle superfici è data da :

σp= ±P dove P=(k-1)*εo* E dove E è quello all'interno del dielettrico!
mi esce che

σp=± 2*10^-8 C/m^2

Ovviamente quello con il segno meno è su R mentre quello con il segno positivo su R+d poichè la carica interna della sfera è positiva.

Va bene così?