Dielettrici affiancati
Salve a tutti. Ho un sistema come in figura. La presenza di due dielettrici affiancati causa una distribuzione di carica non lineare sulle lastre, giusto? Quindi all'interno del condensatore avrò quattro regioni con 4 diversi campi elettrici? Inoltre mi è sembrato di capire che posso immaginare che il sistema sia un dielettrico in parallelo solo se i dielettrici occupano tutto lo spazio e quindi in questo caso non risulta in parallelo. In particolare ho trovato questa relazione:
$ \sigma_1/sigma_2=epsilon_1/epsilon_2((2epsilon_2+1)/(2epsilon_1+1)) $
Potrebbe essere? Quando avrò un po più di tempo scriverò tutti i passaggi che ho fatto (praticamente ho imposto che la ddp tra una lastra è l'altra sia costante)
$ \sigma_1/sigma_2=epsilon_1/epsilon_2((2epsilon_2+1)/(2epsilon_1+1)) $
Potrebbe essere? Quando avrò un po più di tempo scriverò tutti i passaggi che ho fatto (praticamente ho imposto che la ddp tra una lastra è l'altra sia costante)
Risposte
L'approssimazione di considerare lastre piane e infinite con una distanza tra loro molto piccola permette di affermare che i campi (aria dentro condensatore, dielettrico 1, dielettrico 2)sono rettilinei con verso nella direzione perpendicolare alle lastre.
In generale, nel caso di mezzi diversi, per calcolare i campi si possono usare le seguenti condizioni sulle superfici di separazione
1) nel caso di campi tangenti alla superficie di separazione si deve conservare il campo elettrico ovvero E1 = E2 (si dimostra facilmente partendo dalla constatazione che, essendo il campo elettrico conservativo, la sua circuitazione su un rettangolo avente un lato sul mezzo 1 e l'altro sul mezzo 2 dovrà essere nulla e quindi E1=E2). Nel caso che uno dei due mezzi sia un conduttore, il campo esce perpendicolare al conduttore e la condizione non si applica.
2) nel caso di campi perpendicolari alla superficie di separazione, in assenza di densità superficiale di carica , si deve conservare il campo di induzione elettrica elettrico ovvero D1 = D2 (si dimostra dal T. di Gauss). Nel caso che uno dei due mezzi sia un conduttore, il relativo campo è nullo e bisogna tener conto della densità superficiale di carica libera.
Utilizzando quanto sopra dovresti trovare che il sistema, da un punto di vista circuitale, può essere visto come costituito da due condensatori in parallelo (i dielettrici) in serie al condensatore in aria.
Venendo alle tue domande, quanto sopra dovrebbe permetterti di rispondere da solo.
In generale, nel caso di mezzi diversi, per calcolare i campi si possono usare le seguenti condizioni sulle superfici di separazione
1) nel caso di campi tangenti alla superficie di separazione si deve conservare il campo elettrico ovvero E1 = E2 (si dimostra facilmente partendo dalla constatazione che, essendo il campo elettrico conservativo, la sua circuitazione su un rettangolo avente un lato sul mezzo 1 e l'altro sul mezzo 2 dovrà essere nulla e quindi E1=E2). Nel caso che uno dei due mezzi sia un conduttore, il campo esce perpendicolare al conduttore e la condizione non si applica.
2) nel caso di campi perpendicolari alla superficie di separazione, in assenza di densità superficiale di carica , si deve conservare il campo di induzione elettrica elettrico ovvero D1 = D2 (si dimostra dal T. di Gauss). Nel caso che uno dei due mezzi sia un conduttore, il relativo campo è nullo e bisogna tener conto della densità superficiale di carica libera.
Utilizzando quanto sopra dovresti trovare che il sistema, da un punto di vista circuitale, può essere visto come costituito da due condensatori in parallelo (i dielettrici) in serie al condensatore in aria.
Venendo alle tue domande, quanto sopra dovrebbe permetterti di rispondere da solo.
Grazie per la risposta. Non capisco solo una cosa: se ho capito bene il campo elettrico tra le prime due regioni a sinistra (quelle nel vuoto) deve rimanere costante, perchè il campo elettrico è tg alla superficie di separazione immaginaria. Però così ottengo che la densità di carica 1 è uguale alla 2. Sto sicuramente sbagliando qualcosa ma non riesco a capire cosa. In sostanza ho due diversi campi elettrici, uno nel vuoto e uno nei dielettrici, ma se nei dielettrici imponendo questa condizione trovo che il rapporto tra le distribuzioni di carica è uguale al rapporto tra le costanti dielettriche relative, nel vuoto trovo quanto scritto sopra e non ha molto senso. Cosa sbaglio? Da un punto di vista puramente pratico invece per risolvere il problema basta immagine di avere un condensatore equivalente come hai detto tu giusto? Usando d/3 e A/2 per le dimensioni del condensatore in serie, mentre per quello in parallelo uso il condensatore in serie trovato, insieme ad un condensatore di grandezze A e (2/3)d, ponendoli in parallelo.
"giuseppe.b_02":
il campo elettrico tra le prime due regioni a sinistra (quelle nel vuoto) deve rimanere costante, perchè il campo elettrico è tg alla superficie di separazione immaginaria. Però così ottengo che la densità di carica 1 è uguale alla 2.
Si il campo E è uguale in aria dappertutto (all'interno del condensatore), quindi hai solo 3 regioni. In pratica poichè il campo è perpendicolare alle lastre, le superfici equipotenziali sono i piani paralleli alle stesse.
Quindi il piano che divide i dielettrici dall'aria è equipotenziale e lo puoi considerare come fosse una lastra "virtuale".
Per il campo in aria tieni inoltre presente che questo vede tutta la carica e quindi è facile calcolarne il valore e la relativa caduta di potenziale. Calcolando anche la caduta di potenziale lato dielettrici e impnendo che la somma sia uguale alla ddp totale si ricava la carica.
"giuseppe.b_02":
Da un punto di vista puramente pratico invece per risolvere il problema basta immagine di avere un condensatore equivalente come hai detto tu giusto? Usando d/3 e A/2 per le dimensioni del condensatore in serie, mentre per quello in parallelo uso il condensatore in serie trovato, insieme ad un condensatore di grandezze A e (2/3)d, ponendoli in parallelo.
Devi vedere il sistema nella direzione del campo. Quindi i due condensatori dei dielettrici (d/3 e A/2) sono in parallelo mentre quello in aria (A e (2/3)d) è in serie.
Se fai questa assunzione e calcoli i campi dovresti ottenere gli stessi risultati che otteresti direttamente con le equazioni del campo.
Si per la mia ultima affermazione volevo ovviamente dire il contrario, mentre scrivevo ho scambiato serie con parallelo e viceversa. Invece per quanto riguarda la parte un po più teorica, la cosa che mi crea problemi è che il campo E, dovendo necessariamente essere uguale in ogni punto nel vuoto (cosi come avviene nella regione con i due dielettrici) come è possibile che D sia uguale tra le due regioni? Dividiamo la regione in tre zone che chiamo 0 nel vuoto, e 1 e 2 dove ci sono i dielettrici.
$ D_0=D_1 $ quindi $ sigma_0=sigma_1 $ e questo dovrebbe significare che $ Q/A=2Q_1/A $
Stessi passaggi con $D_2$. Per cui arrivo al risultato che la carica si divide perfettamente a metà sulla seconda lastra, e quindi non dipende dal dielettrico?
$ D_0=D_1 $ quindi $ sigma_0=sigma_1 $ e questo dovrebbe significare che $ Q/A=2Q_1/A $
Stessi passaggi con $D_2$. Per cui arrivo al risultato che la carica si divide perfettamente a metà sulla seconda lastra, e quindi non dipende dal dielettrico?
La carica totale evidentemente dipende da tutti i componenti, ma, nell'ambito delle approssimazioni fatte, la ridistribuzione di carica sulla seconda lastra lato vuoto non dipende dai dielettrici.
La spiegazione più semplice è proprio pensare al piano equipotenziale di separazione tra i dielettrici come a una lastra virtuale che "disaccoppia" i dielettrici dal vuoto.
La spiegazione più semplice è proprio pensare al piano equipotenziale di separazione tra i dielettrici come a una lastra virtuale che "disaccoppia" i dielettrici dal vuoto.
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