Determinare spazio percorso da un corpo
Ciao a tutti, volevo chiedervi un aiuto su un determinato problema.
Ho due corpi fissati tra di loro tramite un filo. Uno dei due corpi si trova nel piano inclinato (con attrito tra piano e corpo), l'altro corpo si trova sospeso (vedi figura):
So che le masse dei due corpi sono uguali so il coefficiente d'attrito tra piano inclinato e corpo. Mi sono calcolato l'accelerazzione e la velocità del sistema (fino qui tutto ok).
Il corpo sospeso inizia a scendere (distanza tra corpo sospeso e suolo è di 1 metro). Il problema mi chiede di trovare la lunghezza d che effettua il corpo in salita (corpo che si trova sul piano inclinato).
Come devo impostare il problema? Parto dall'equazioni del moto uniformemente accelerato giusto?
Grazie a tutti, spero di essere stato chiaro
Ho due corpi fissati tra di loro tramite un filo. Uno dei due corpi si trova nel piano inclinato (con attrito tra piano e corpo), l'altro corpo si trova sospeso (vedi figura):
So che le masse dei due corpi sono uguali so il coefficiente d'attrito tra piano inclinato e corpo. Mi sono calcolato l'accelerazzione e la velocità del sistema (fino qui tutto ok).
Il corpo sospeso inizia a scendere (distanza tra corpo sospeso e suolo è di 1 metro). Il problema mi chiede di trovare la lunghezza d che effettua il corpo in salita (corpo che si trova sul piano inclinato).
Come devo impostare il problema? Parto dall'equazioni del moto uniformemente accelerato giusto?
Grazie a tutti, spero di essere stato chiaro
Risposte
Con la conservazione dell'energia si risolve molto più facilmente
ma scusate,se il filo è inestensibile,se un corpo precorre 1m anche l'altro percorre 1m
che cavolo di domanda è ?
che cavolo di domanda è ?
Sinceramente anch'io mi sono posto la tua stessa domanda.. fatto sta che dal risultato finale si vede che il corpo nel piano inclinato percorre 1,09 metri...
Potresti pubblicare il testo originale?
Si, avevo pensato anche io ka stessa cosa, ma poi ci ho riflettuto bene e infatti quando il corpo appeso atterra, il corpo sul piano inclinato avrà percorso lo stesso spazio del corpo che è atterrato ma avrà ancora energia cinetica residua che gli permetterà di salire più in alto.
ah,ecco
giusta osservazione
ovviamente però bisogna conoscere l'angolo di inclinazione del piano
giusta osservazione
ovviamente però bisogna conoscere l'angolo di inclinazione del piano
Raga io non capisco cosa sto sbagliando, dopo calcoli mistici (che magari poi pubblicherò) sono giunto alla conclusione che $d=s(sin(alpha))$ dove $d$ è la distanza da calcolare e $s$ è quella percorsa dal corpo appeso.. adesso come cavolo fa a venire $d=1.09$ se $s=1$??? Comunque ripeto magari sto sbagliando, sarei anche interessato al discorso dell'energia cinetica residua, cosa si intende esattamente?
Energia meccanica iniziale: $E_1=m_1gh$ (m_1 è la massa del corpo appeso e h l'altezza rispetto al suolo del corpo appeso).
Energia meccanica finale: $E_2=m_2gdsinalpha+fd$ ($fd$ è il lavoro meccanico dissipato dalla forza d'attrito che si converte in energia termica), data la conservazione dell'energia, abbiamo:
$E_2=E_2$ da cui:
$d=h(m_1g)/(m_2gsinalpha+f)$
Energia meccanica finale: $E_2=m_2gdsinalpha+fd$ ($fd$ è il lavoro meccanico dissipato dalla forza d'attrito che si converte in energia termica), data la conservazione dell'energia, abbiamo:
$E_2=E_2$ da cui:
$d=h(m_1g)/(m_2gsinalpha+f)$
"Vulplasir":
Energia meccanica iniziale: $E_1=m_1gh$ (m_1 è la massa del corpo appeso e h l'altezza rispetto al suolo del corpo appeso).
Energia meccanica finale: $E_2=m_2gdsinalpha+fd$ ($fd$ è il lavoro meccanico dissipato dalla forza d'attrito che si converte in energia termica), data la conservazione dell'energia, abbiamo:
$E_2=E_2$ da cui:
$d=h(m_1g)/(m_2gsinalpha+f)$
Temo che tu abbia dimenticato un dettaglio.
L'energia potenziale del corpo appeso viene in parte trasferita alla energia potenziale del corpo che scivola salendo sul piano inclinato, in parte dissipata dall'attrito di quest'ultimo sul piano inclinato, e ... basta?
Qui non va dimenticato che c'è un'altra quota di energia persa: il corpo appeso, quando arriva al suolo ci arriva con energia cinetica non nulla, al suolo sbatte! Questa energia è perduta ai fini della risalita dell'altro corpo, dunque va sottratta al bilancio generale
Giusto 
, sperando di non dire qualche altra cavolata allora dovrebbe essere:
Istante iniziale del moto: $E_1=m_1gh$
Istante prima che il corpo appeso tocchi terra: $E_2=1/2m_1v^2+1/2m_2v^2+m_2gh/(sintheta)+fh/sintheta$ (le velocità dei due corpi sono identiche dato che il filo è inestensibile)
Quindi in questa prima parte del moto si ha: $E_1=E_2$.
Istante subito dopo che il corpo appeso ha toccato terra e si è fermato: $E_3=1/2m_2v^2$
Istante finale del moto in cui il corpo sul piano inclinato si ferma: $E_4=m_2gl/(sintheta)+fl/sintheta$,
Quindi $E_3=E_4$
Due equzioni in due incognite che dovrebbero essere sufficienti a risolvere il problema
, sperando di non dire qualche altra cavolata allora dovrebbe essere:Istante iniziale del moto: $E_1=m_1gh$
Istante prima che il corpo appeso tocchi terra: $E_2=1/2m_1v^2+1/2m_2v^2+m_2gh/(sintheta)+fh/sintheta$ (le velocità dei due corpi sono identiche dato che il filo è inestensibile)
Quindi in questa prima parte del moto si ha: $E_1=E_2$.
Istante subito dopo che il corpo appeso ha toccato terra e si è fermato: $E_3=1/2m_2v^2$
Istante finale del moto in cui il corpo sul piano inclinato si ferma: $E_4=m_2gl/(sintheta)+fl/sintheta$,
Quindi $E_3=E_4$
Due equzioni in due incognite che dovrebbero essere sufficienti a risolvere il problema
Forse si fa prima a calcolare la v finale (cioè quella del corpo 2 quando il corpo 1 tocca terra) con la relazione $v^2=2as$, ovviamente avendo calcolato prima la accelerazione $a$ del sistema. Poi si eguaglia l'energia cinetica residua del corpo 2 al lavoro residuo per trovare il $Deltas$ che fa il corpo 2 in risalita (con la fune floscia) dopo aver già percorso un tratto $s$. Alla fine $l=s+\Deltas$
Ecco il testo completo con i dati:
Due massi uguali, collegate da un filo, sono disposte come da figura. L'angolo alpha, (tra l'orrizzonte e piano inclinato) vale 30°, l'altezza h vale 1 metro e il coefficiente di attrito tra massa-piano è di 0.4. Al tempo t=0 il sistema viene lasciato libero di muoversi e si vede che la massa sospesa scende. Calcolare la distanza totale d percorsa in salita dalla massa che si trova nel piano inclinato
Due massi uguali, collegate da un filo, sono disposte come da figura. L'angolo alpha, (tra l'orrizzonte e piano inclinato) vale 30°, l'altezza h vale 1 metro e il coefficiente di attrito tra massa-piano è di 0.4. Al tempo t=0 il sistema viene lasciato libero di muoversi e si vede che la massa sospesa scende. Calcolare la distanza totale d percorsa in salita dalla massa che si trova nel piano inclinato
In effetti il risultato viene $d=1,09$.
Per prima cosa si fa l'osservazione banale che quando la massa appesa scende di 1 metro, la massa inclinata sale della stessa quantità.
Dunque la cosa da calcolare è la seguente: di quanto sale ancora la massa inclinata dopo che la massa appesa ha sbattuto per terra?
Chiamiamo $\Deltas$ questa quantità. Dunque alla fine il risultato sarà $d=s+\Deltas$ dove s=1 metro.
Calcoliamo l'accelerazione dell'intero sistema finché la massa appesa scende.
$$\eqalign{
& a = g - \frac{\tau }
{m} \cr
& g - \frac{\tau }
{m} = \frac{\tau }
{m} - g\sin \alpha - \mu g\cos \alpha \cr
& a = \frac{g}
{2}\left( {1 - \sin \alpha - \mu \cos \alpha } \right) \cr} $$
Quando la massa appesa arriva a terra la velocità al quadrato del sistema è:
\[{v_f}^2 = 2as = g\left( {1 - \sin \alpha - \mu \cos \alpha } \right)s\]
Questa è anche la velocità al quadrato della massa che scivola, dunque in quel momento la sua energia cinetica è nota.
Eguagliamo questa energia cinetica al lavoro che le forze fanno per frenare questa massa nel suo salire (la fune è floscia perché la massa appesa ha smesso di tirare):
$$\frac{1}
{2}m{v_f}^2 = \Delta smg\left( {\sin \alpha + \mu \cos \alpha } \right)$$
Si ha dunque:
$$\Delta s = \frac{{1 - \sin \alpha - \mu \cos \alpha }}
{{2\left( {\sin \alpha + \mu \cos \alpha } \right)}}s = 0,09m$$
Per cui
$$d = s + \Delta s = 1,09m$$
Per prima cosa si fa l'osservazione banale che quando la massa appesa scende di 1 metro, la massa inclinata sale della stessa quantità.
Dunque la cosa da calcolare è la seguente: di quanto sale ancora la massa inclinata dopo che la massa appesa ha sbattuto per terra?
Chiamiamo $\Deltas$ questa quantità. Dunque alla fine il risultato sarà $d=s+\Deltas$ dove s=1 metro.
Calcoliamo l'accelerazione dell'intero sistema finché la massa appesa scende.
$$\eqalign{
& a = g - \frac{\tau }
{m} \cr
& g - \frac{\tau }
{m} = \frac{\tau }
{m} - g\sin \alpha - \mu g\cos \alpha \cr
& a = \frac{g}
{2}\left( {1 - \sin \alpha - \mu \cos \alpha } \right) \cr} $$
Quando la massa appesa arriva a terra la velocità al quadrato del sistema è:
\[{v_f}^2 = 2as = g\left( {1 - \sin \alpha - \mu \cos \alpha } \right)s\]
Questa è anche la velocità al quadrato della massa che scivola, dunque in quel momento la sua energia cinetica è nota.
Eguagliamo questa energia cinetica al lavoro che le forze fanno per frenare questa massa nel suo salire (la fune è floscia perché la massa appesa ha smesso di tirare):
$$\frac{1}
{2}m{v_f}^2 = \Delta smg\left( {\sin \alpha + \mu \cos \alpha } \right)$$
Si ha dunque:
$$\Delta s = \frac{{1 - \sin \alpha - \mu \cos \alpha }}
{{2\left( {\sin \alpha + \mu \cos \alpha } \right)}}s = 0,09m$$
Per cui
$$d = s + \Delta s = 1,09m$$
Intanto grazie mille per avermi rispsoto.
Ho solo un po di confusione per quanto riguarda l'uguaglianza \[ \frac{1} {2}m{v_f}^2 = \Delta smg\left( {\sin \alpha + \mu \cos \alpha } \right) \]
Hai messo in relazione l'energia cinetica e potenziale dei due corpi nei punti di partenza e arrivo giusto?
Ho solo un po di confusione per quanto riguarda l'uguaglianza \[ \frac{1} {2}m{v_f}^2 = \Delta smg\left( {\sin \alpha + \mu \cos \alpha } \right) \]
Hai messo in relazione l'energia cinetica e potenziale dei due corpi nei punti di partenza e arrivo giusto?
Dopo che il corpo appeso è atterrato, il corpo sul p. inclinato ha energia cinetica $1/2mv_f^2$, che usa per continuare a muoversi sul piano inclinato, quando si fermerà, l'energia cinetica sarà totalmente stata trasformata in energia potenziale o dissipata dall'attrito che la convertirà in energia termica non sfruttabile, quindi dalla conservazione dell'energia:
$1/2mv_f^2=Deltasmgsinalpha+Deltasmumgcosalpha$, essendo $Deltasmgsinalpha$ l'energia potenziale acquisita e $Deltasmumgcosalpha$ l'energia dissipata dalla forza d'attrito $f=mumgcosalpha$ e convertita in en. termica o qualunque altra cosa.
$1/2mv_f^2=Deltasmgsinalpha+Deltasmumgcosalpha$, essendo $Deltasmgsinalpha$ l'energia potenziale acquisita e $Deltasmumgcosalpha$ l'energia dissipata dalla forza d'attrito $f=mumgcosalpha$ e convertita in en. termica o qualunque altra cosa.
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