Determinante del tensore elettromagnetico
Buongiorno, 
Avrei bisogno di una mano con questo esercizio.
Il risultato è banalmente facile da dimostrare, un po' lungo nei conti se si identifica:
$$detF^{\mu}{}_\nu=det(g_{\nu\alpha}F^{\mu\alpha})=detg_{\nu\alpha} detF^{\mu\alpha}=-detF^{\mu\alpha}$$
Parlando con il mio professore, mi ha detto che fare il passaggio sopra è inutile, conoscendo la struttura di $$F^\mu{}_\nu$$, ma io conosco solo le rappresentazioni matriciali di $F^{\mu\nu}$ e $F_{\mu\nu}$. Qual è la sua? Poi per quanto riguarda la risoluzione suppongo sia semplicemente facile applicando una rotazione che mi azzeri qualche componente, no?
Avrei bisogno di una mano con questo esercizio.
Dato un arbitrario tensore elettromagnetico $F^{\mu\nu}$, dimostrare che
$$detF^\mu{}_\nu=-(\bar B\cdot \bar E)^2$$
Discutere il carattere invariante di tale uguaglianza.
N.B. Dato un generico tensore $F^{\mu\nu}$, applicare prima una opportuna trasformazione di Lorentz tale che il calcolo del determinante sia reso piu` semplice.
Il risultato è banalmente facile da dimostrare, un po' lungo nei conti se si identifica:
$$detF^{\mu}{}_\nu=det(g_{\nu\alpha}F^{\mu\alpha})=detg_{\nu\alpha} detF^{\mu\alpha}=-detF^{\mu\alpha}$$
Parlando con il mio professore, mi ha detto che fare il passaggio sopra è inutile, conoscendo la struttura di $$F^\mu{}_\nu$$, ma io conosco solo le rappresentazioni matriciali di $F^{\mu\nu}$ e $F_{\mu\nu}$. Qual è la sua? Poi per quanto riguarda la risoluzione suppongo sia semplicemente facile applicando una rotazione che mi azzeri qualche componente, no?
Risposte
"Frostman":
Buongiorno,
Avrei bisogno di una mano con questo esercizio.
Siccome è vero che :
\[F^{\mu}{}_\nu=g_{\nu\alpha}F^{\mu\alpha}\]
per trovare la forma mista del tensore doppio controvariante che conosci devi abbassare solo un indice, tramite la metrica.
Ciao,
confermo
per quanto riguarda la risoluzione suppongo sia semplicemente facile applicando una rotazione che mi azzeri qualche componente, no?
confermo
"Shackle":
[quote="Frostman"]Buongiorno,
Avrei bisogno di una mano con questo esercizio.
Siccome è vero che :
\[F^{\mu}{}_\nu=g_{\nu\alpha}F^{\mu\alpha}\]
per trovare la forma mista del tensore doppio controvariante che conosci devi abbassare solo un indice, tramite la metrica.[/quote]
Okay, avevo ragione allora, non volevo scrivere una bestemmia
$$F^\mu{}_\nu=\begin{pmatrix}
0 & -E_x & -E_y & - E_z\\
-E_x & 0 & B_z & -B_y\\
-E_y & -B_z & 0 & B_x\\
-E_z & B_y & -B_x & 0\\
\end{pmatrix}
$$
"Lampo1089":
Ciao,
per quanto riguarda la risoluzione suppongo sia semplicemente facile applicando una rotazione che mi azzeri qualche componente, no?
confermo
Ho provato ad applicare varie rotazioni, ma sbaglio o non semplificano molto la situazione?
Ho usato queste matrici di rotazione:
$$
R_x(\theta)=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & c\theta & s\theta \\
0 & 0 & -s\theta & c\theta \\
\end{pmatrix}
R_y(\theta)=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & c\theta & 0 & s\theta \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & -s\theta & 0 & c\theta \\
\end{pmatrix}
R_z(\theta)=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & c\theta & s\theta & 0 \\
0 & -s\theta & c\theta & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}
$$
E ottengo
$$
R_x(\theta)F^\mu{}_\nu=
\begin{pmatrix}
0 & -E_x & -E_y & -E_z \\
-E_x & 0 & B_z & -B_y \\
-E_yc\theta-E_zs\theta & -B_zc\theta+B_ys\theta & -B_xs\theta & B_xc\theta \\
E_ys\theta-E_zc\theta & B_zs\theta+B_yc\theta & -B_xc\theta & -B_xs\theta\\
\end{pmatrix}
$$
$$
R_y(\theta)F^\mu{}_\nu=
\begin{pmatrix}
0 & -E_x & -E_y & -E_z \\
-E_xc\theta-E_zs\theta & B_ys\theta & B_zc\theta -B_xs\theta & -B_yc\theta\\
-E_y & -B_z & 0 & B_x \\
E_xs\theta-E_zc\theta & B_yc\theta & -B_zs\theta -B_xc\theta & B_ys\theta \\
\end{pmatrix}
$$
$$
R_z(\theta)F^\mu{}_\nu=
\begin{pmatrix}
0 & -E_x & -E_y & -E_z \\
-E_xc\theta-E_ys\theta& -B_zs\theta & B_zc\theta & -B_yc\theta+B_xs\theta \\
E_xs\theta-E_yc\theta & -B_zc\theta & -B_zs\theta & B_ys\theta+B_xc\theta \\
-E_z & B_y & -B_x & 0 \\
\end{pmatrix}
$$
Ovviamente $\theta=0 \vv \frac \pi 2$ per azzerare il $\cos$ o il $\sin$, ma non è che si semplifichi di molto, mi sbaglio?
Scusa, ma che bisogno c’è di fare tutto questo? Non puoi lasciare il tensore $F^(munu)$ nella sua forma originale, con i due indici di controvarianza?
Guarda questo:
https://it.m.wikipedia.org/wiki/Tensore ... omagnetico
Guarda questo:
https://it.m.wikipedia.org/wiki/Tensore ... omagnetico
È quello che ho detto al professore suggerendo la mia versione, spezzando in un secondo momento il calcolo del determinate del tensore metrico (immediato) e determinante del tensore elettromagnetico. Mi ha suggerito che dovrebbe essermi immediato la versione con indice controvariante e indice covariante. Quindi il mio punto di partenza è conosco $$F^\mu{ }_\nu$$, procedo a trovare una rotazione che mi annulli qualche componente dei campi elettrico e magnetico e calcolo immediatamente il determinante.
Io non lo vedo tanto immediato, quando il tensore e.m. è dato in forma mista. Sarà che non faccio questi calcoli da un sacco di tempo...Vediamo Lampo che dice .
Attraverso una rotazione, puoi considerare il caso in cui E è diretto lungo z. In questo modo l'applicazione della regola iterativa per il calcolo dei determinanti diventa molto semplice dato che si tratta di calcolare il determinante di una matrice 2x2 (per es. la prima riga è (0,0,0,-Ez) e la matrice ridotta 3x3 possiede anch'essa una riga del tipo (0,0,B))
edit: non mi torna molto il tensore EM transformato che scrivi: mi pare che trasformi un solo indice. Anche perché direi che la proprietà di antisimmetria è invariante sotto boosts di Lorentz (credo).
edit: non mi torna molto il tensore EM transformato che scrivi: mi pare che trasformi un solo indice. Anche perché direi che la proprietà di antisimmetria è invariante sotto boosts di Lorentz (credo).
Quello che ho fatto è questo:
$$F^\mu{}_\nu=g_{\alpha\nu}F^{\mu\alpha}$$
$$F^\mu{}_\nu=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 & -E_x & -E_y & -E_z \\
E_x & 0 & -B_z & B_y \\
E_y & B_z & 0 & -B_x \\
E_z & -B_y & B_x & 0\\
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
0 & -E_x & -E_y & -E_z \\
-E_x & 0 & B_z & -B_y \\
-E_y & -B_z & 0 & B_x \\
-E_z & B_y & -B_x & 0\\
\end{pmatrix}$$
Sbaglio questo conto?
Che rotazione hai usato? Perché ho usato le rotazioni 3D io, forse mi sono ristretto troppo...
$$F^\mu{}_\nu=g_{\alpha\nu}F^{\mu\alpha}$$
$$F^\mu{}_\nu=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 & -E_x & -E_y & -E_z \\
E_x & 0 & -B_z & B_y \\
E_y & B_z & 0 & -B_x \\
E_z & -B_y & B_x & 0\\
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
0 & -E_x & -E_y & -E_z \\
-E_x & 0 & B_z & -B_y \\
-E_y & -B_z & 0 & B_x \\
-E_z & B_y & -B_x & 0\\
\end{pmatrix}$$
Sbaglio questo conto?
Che rotazione hai usato? Perché ho usato le rotazioni 3D io, forse mi sono ristretto troppo...
no no questo è giusto, è sbagliato quello dove ruoti il tensore EM. E' un tensore, non un vettore: tuttavia stai applicando la legge di trasformazione sotto rotazione di un vettore.
Per quanto riguarda la rotazione: se in un certo sistema di riferimento E è non nullo, puoi sempre trovare una rotazione che "ruota" il vettore in modo da renderlo parallelo a z. Trovare la matrice di trasformazione esplicitamente può essere difficile, ma tuttavia sempre possibile.
ps ovviamente stiamo considerando campi omogenei (non dipendenti dal punto) oppure ci concentriamo ad un solo punto.
Per quanto riguarda la rotazione: se in un certo sistema di riferimento E è non nullo, puoi sempre trovare una rotazione che "ruota" il vettore in modo da renderlo parallelo a z. Trovare la matrice di trasformazione esplicitamente può essere difficile, ma tuttavia sempre possibile.
ps ovviamente stiamo considerando campi omogenei (non dipendenti dal punto) oppure ci concentriamo ad un solo punto.
Sì, hai ragione, ho applicato la legge di trasformazione sotto rotazione di un vettore. Solitamente ho sempre usato queste rotazioni per trasformazioni di Lorentz applicate al tetravettore posizione o impulso. Pensavo che essendo il tetravettore un tensore a un solo indice, anche la matrice del tensore elettromagnetico, tensore a due indici, si potesse applicare la stessa rotazione.
Dalla richiesta del problema, è necessario scrivere in maniera esplicita la rotazione che si va a realizzare... In questo caso quale potrebbe essere?
Dalla richiesta del problema, è necessario scrivere in maniera esplicita la rotazione che si va a realizzare... In questo caso quale potrebbe essere?
Non ne ho idea della sua forma esplicita, ma certamente esiste. A questo punto, direi che il problema diventa trovare la forma esplicita della matrice di rotazione (forse con rotazioni di Eulero? ma non sono esperto su questo ...).
Ma secondo me per lo scopo di questo problema è sufficiente dire esiste una rotazione opportuna, e poi continuare con il calcolo del det vero e proprio.
Ma secondo me per lo scopo di questo problema è sufficiente dire esiste una rotazione opportuna, e poi continuare con il calcolo del det vero e proprio.
Sorvolando per un momento (chiederò al mio professore se sia necessario) il calcolo esplicito della matrice di rotazione). Possiamo dire che:
Esisterà una trasformazione di Lorentz, più precisamente una rotazione in cui il campo elettrico sarà allineato lungo un certo asse. Scegliamo lungo l'asse $z$. In questo caso il nuovo tensore elettromagnetico, risulterà essere:
$$F'^\mu{}_\nu=\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & - E_z'\\
0 & 0 & B_z' & -B_y'\\
0 & -B_z' & 0 & B_x'\\
-E_z' & B_y' & -B_x' & 0\\
\end{pmatrix}
$$
A questo punto il calcolo del determinante si riduce a:
$$
det F'^\mu{}_\nu = E_z'(B_z'(-(-B_z')(-E_z')))=-B_z'^2E_z'^2=-(B_z'E_z')^2=-(\bar B' \cdot \bar E')^2
$$
Ma dal momento che $\bar B' \cdot \bar E'$ è un invariante relativistico, questo risultato vale in ogni sistema di riferimento inerziale.
Può andare?
Esisterà una trasformazione di Lorentz, più precisamente una rotazione in cui il campo elettrico sarà allineato lungo un certo asse. Scegliamo lungo l'asse $z$. In questo caso il nuovo tensore elettromagnetico, risulterà essere:
$$F'^\mu{}_\nu=\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & - E_z'\\
0 & 0 & B_z' & -B_y'\\
0 & -B_z' & 0 & B_x'\\
-E_z' & B_y' & -B_x' & 0\\
\end{pmatrix}
$$
A questo punto il calcolo del determinante si riduce a:
$$
det F'^\mu{}_\nu = E_z'(B_z'(-(-B_z')(-E_z')))=-B_z'^2E_z'^2=-(B_z'E_z')^2=-(\bar B' \cdot \bar E')^2
$$
Ma dal momento che $\bar B' \cdot \bar E'$ è un invariante relativistico, questo risultato vale in ogni sistema di riferimento inerziale.
Può andare?
direi di sì
Provvederò ad aggiornarvi quando avrò una risposta dal mio professore. Purtroppo alcuni topic su cui ho chiesto aiuto qui, nel confrontarmi con il professore sono "errati", nel senso che la soluzione è sì corretta, ma non immediata. Infatti riscriverò anche sul topic in cui abbiamo ricavato le trasformazioni dei campi elettrici e magnetici a partire dall'equazione del moto.
Dalla richiesta del problema, è necessario scrivere in maniera esplicita la rotazione che si va a realizzare... In questo caso quale potrebbe essere?
non ho idea se hai provato a costruire esplicitamente la rotazione. Se non sei riuscito, può essere utile riflettere sul fatto che un vettore avente direzione arbitraria può essere ruotato in modo che sia parallelo all'asse z con una coppia di rotazioni lungo gli assi coordinati. Per esempio: la prima con asse l'asse z stesso, per un angolo tale che il vettore ruotato giaccia nel piano zy - infine una rotazione opportuna attorno a x in modo che il vettore ruotato sia parallelo a z.
(a ricordi, dovrebbe essere proprio questo il ragionamento alla base delle rotazioni di eulero)
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