Derivazione Navier-Stokes secondo Landau-Lifshits
Buona sera, foro 
Ho qualche problema nel raccapezzarmi con la derivazione delle equazioni di Navier-Stokes come fatta da Landau e Lifshits nel loro sesto volume del Corso di fisica teorica. Bando alle ciance, cercherò di essere sintetico.
Parliamo di fluidi viscosi, notazione di Einstein sempre attiva.
Un punto di partenza è l'equazione di Eulero in forma
\[
\frac{\partial}{\partial t} (\rho v_i) = - \frac{\partial \Pi_{ik}}{\partial x_k} \equiv \partial_t (\rho v_i) = - \partial_k \Pi_{ik} \equiv \partial_t (\rho v) = - \text{div } \Pi
\]
dove \(\Pi\) è il tensore "momentum flux density" che inizialmente è dato da \(\Pi = p \delta + \rho v \otimes v\) ma nel caso viscoso risente del contributo di \(\sigma'\), tensore doppio che rappresenta la viscosità, dando quindi \(\Pi = p \delta + \rho v \otimes v - \sigma'\).
Primo punto oscuro.
Dopo varie considerazioni fisiche [che mi sono chiare] arriva a dire che tutti i termini di \(\sigma_{ik}'\) dipenderanno da \(\partial_k v_i\), ed in particolare solo da combinazioni lineari simmetriche del tipo \(\partial_k v_i + \partial_i v_k\).
Subito dopo dice che il tensore doppio più generale possibile che rispetti queste ipotesi è della forma
\[
\sigma_{ik}' = \eta \left(\partial_k v_i + \partial_i v_k - \frac 2 3 \delta_{ik} \partial_l v_l \right) + \zeta \delta_{ik} \partial_l v_l.
\]
Non capisco in che modo deduca quella formula, in particolare il coefficiente \(\frac 2 3\).
Secondo punto oscuro.
Ottenuto il tensore di cui sopra, conclude dicendo che bisogna aggiungere \(\partial_k \sigma_{ik}'\) al secondo membro dell'equazione di Eulero in un'altra forma, e cioè all'equazione
\[
\rho \left( \partial_t v_i + v_k \partial_k v_i \right) = - \partial_i p.
\]
Perché somma a questa equazione e non alla prima che ho scritto [cioè aggiungendo i termini a quelli del caso non viscoso]? Mi fido che i procedimenti siano equivalenti, ma non mi è evidente il perché.
Grazie a tutti in anticipo
Ho qualche problema nel raccapezzarmi con la derivazione delle equazioni di Navier-Stokes come fatta da Landau e Lifshits nel loro sesto volume del Corso di fisica teorica. Bando alle ciance, cercherò di essere sintetico.
Parliamo di fluidi viscosi, notazione di Einstein sempre attiva.
Un punto di partenza è l'equazione di Eulero in forma
\[
\frac{\partial}{\partial t} (\rho v_i) = - \frac{\partial \Pi_{ik}}{\partial x_k} \equiv \partial_t (\rho v_i) = - \partial_k \Pi_{ik} \equiv \partial_t (\rho v) = - \text{div } \Pi
\]
dove \(\Pi\) è il tensore "momentum flux density" che inizialmente è dato da \(\Pi = p \delta + \rho v \otimes v\) ma nel caso viscoso risente del contributo di \(\sigma'\), tensore doppio che rappresenta la viscosità, dando quindi \(\Pi = p \delta + \rho v \otimes v - \sigma'\).
Primo punto oscuro.
Dopo varie considerazioni fisiche [che mi sono chiare] arriva a dire che tutti i termini di \(\sigma_{ik}'\) dipenderanno da \(\partial_k v_i\), ed in particolare solo da combinazioni lineari simmetriche del tipo \(\partial_k v_i + \partial_i v_k\).
Subito dopo dice che il tensore doppio più generale possibile che rispetti queste ipotesi è della forma
\[
\sigma_{ik}' = \eta \left(\partial_k v_i + \partial_i v_k - \frac 2 3 \delta_{ik} \partial_l v_l \right) + \zeta \delta_{ik} \partial_l v_l.
\]
Non capisco in che modo deduca quella formula, in particolare il coefficiente \(\frac 2 3\).
Secondo punto oscuro.
Ottenuto il tensore di cui sopra, conclude dicendo che bisogna aggiungere \(\partial_k \sigma_{ik}'\) al secondo membro dell'equazione di Eulero in un'altra forma, e cioè all'equazione
\[
\rho \left( \partial_t v_i + v_k \partial_k v_i \right) = - \partial_i p.
\]
Perché somma a questa equazione e non alla prima che ho scritto [cioè aggiungendo i termini a quelli del caso non viscoso]? Mi fido che i procedimenti siano equivalenti, ma non mi è evidente il perché.
Grazie a tutti in anticipo
Risposte
"Raptorista":
Primo punto oscuro.
Dopo varie considerazioni fisiche [che mi sono chiare] arriva a dire che tutti i termini di \(\sigma_{ik}'\) dipenderanno da \(\partial_k v_i\), ed in particolare solo da combinazioni lineari simmetriche del tipo \(\partial_k v_i + \partial_i v_k\).
Subito dopo dice che il tensore doppio più generale possibile che rispetti queste ipotesi è della forma
\[
\sigma_{ik}' = \eta \left(\partial_k v_i + \partial_i v_k - \frac 2 3 \delta_{ik} \partial_l v_l \right) + \zeta \delta_{ik} \partial_l v_l.
\]
Non capisco in che modo deduca quella formula, in particolare il coefficiente \(\frac 2 3\).
Il termine tra parentesi e' a traccia nulla, il secondo termine rappresenta il termine di traccia.
Normalmente a un fisico viene spontaneo separare i due termini, quasi di default
Il motivo e' da ricercarsi nella teoria delle rappresentazioni del gruppo delle rotazioni, per cui i due tipi di termini trasformano in maniera diversa.
Secondo punto oscuro.
Perché somma a questa equazione e non alla prima che ho scritto [cioè aggiungendo i termini a quelli del caso non viscoso]? Mi fido che i procedimenti siano equivalenti, ma non mi è evidente il perché.
Premetto che in genere tutti i libri di Landau tendono a essere in qualche punto un tantinello esoterici
Prova a fare il conto esplicitamente, vedi la differenza tra le due equazioni a che termine corrisponde, tante per ragionare su qualcosa di definito.
Se poi trovo dove ho messo il libro incriminato vado a dargli un'occhiata direttamente
Grazie per la risposta, vedo con piacere che vai a sollevare direttamente un punto che prima, che ero di fretta, mi sono dimenticato di indirizzare.
A me non torna che quel pezzo tra parentesi sia a traccia nulla XD
Purtroppo non ci è mai stato insegnato come si deve il calcolo tensoriale, però lo stesso libro di Landau dice "facendo la contrazione degli indici - che so cosa significa in teoria - si vede che il termine tra parentesi vale zero".
Ora, io ho bovinamente provato a fare il calcolo "ad occhio" ma ovviamente ho sbagliato visto che non mi è venuto zero.
La mia versione [sbagliata] sarebbe
\[
\partial_i v_i + \partial_i v_i - \frac 2 3 \partial_l v_l = \{\text{"sono tutte divergenze"}\} = \frac 4 3 \partial_i v_i.
\]
Vedendo che però il risultato non torna, mi convincerei che in qualche modo debba essere \(\partial_l v_l = 3 \partial_i v_i\), ma poi mi lascio trarre in inganno dagli indici e mi perdo
In un successivo slancio di intraprendenza mi rendo conto che \(\partial_l v_l\) non dipende da \(i\) e quindi lo posso portare fuori dalla sommatoria, ottenendo quindi
\[
\dots = \sum_{i = 1}^3 \left[ 2 \partial_i v_i \right] - 3 \cdot \frac 2 3 \partial_l v_l
\]
e ora [ri]farei il trucco di prima del "sono tutte divergenze", ottenendo una bella cifra tonda.
Che te ne pare di questa seconda versione?
A me non torna che quel pezzo tra parentesi sia a traccia nulla XD
Purtroppo non ci è mai stato insegnato come si deve il calcolo tensoriale, però lo stesso libro di Landau dice "facendo la contrazione degli indici - che so cosa significa in teoria - si vede che il termine tra parentesi vale zero".
Ora, io ho bovinamente provato a fare il calcolo "ad occhio" ma ovviamente ho sbagliato visto che non mi è venuto zero.
La mia versione [sbagliata] sarebbe
\[
\partial_i v_i + \partial_i v_i - \frac 2 3 \partial_l v_l = \{\text{"sono tutte divergenze"}\} = \frac 4 3 \partial_i v_i.
\]
Vedendo che però il risultato non torna, mi convincerei che in qualche modo debba essere \(\partial_l v_l = 3 \partial_i v_i\), ma poi mi lascio trarre in inganno dagli indici e mi perdo
In un successivo slancio di intraprendenza mi rendo conto che \(\partial_l v_l\) non dipende da \(i\) e quindi lo posso portare fuori dalla sommatoria, ottenendo quindi
\[
\dots = \sum_{i = 1}^3 \left[ 2 \partial_i v_i \right] - 3 \cdot \frac 2 3 \partial_l v_l
\]
e ora [ri]farei il trucco di prima del "sono tutte divergenze", ottenendo una bella cifra tonda.
Che te ne pare di questa seconda versione?
"Raptorista":
La mia versione [sbagliata] sarebbe
\[
\partial_i v_i + \partial_i v_i - \frac 2 3 \partial_l v_l = \{\text{"sono tutte divergenze"}\} = \frac 4 3 \partial_i v_i.
\]
In un successivo slancio di intraprendenza mi rendo conto che \(\partial_l v_l\) non dipende da \(i\) e quindi lo posso portare fuori dalla sommatoria, ottenendo quindi
\[
\dots = \sum_{i = 1}^3 \left[ 2 \partial_i v_i \right] - 3 \cdot \frac 2 3 \partial_l v_l
\]
e ora [ri]farei il trucco di prima del "sono tutte divergenze", ottenendo una bella cifra tonda.
Che te ne pare di questa seconda versione?
Direi che e' anche piu' semplice di cosi'
[tex]\sum_i(\partial_i v_i + \partial_i v_i - \frac{2}{3} \delta_{ii} \sum_l \partial_l v_l) = 2 \,\textrm{div}\,\mathbf{v} - \frac{2}{3}\cdot 3\cdot\textrm{div}\,\mathbf{v} = 0[/tex]
Sì, è più o meno quello che avevo in mente, ma ho cercato di scriverlo più prolisso per assicurarmi che i passaggi mi fossero davvero chiari
Grazie mille per il supporto,
alla prossima domanda imbarazzante
Grazie mille per il supporto,
alla prossima domanda imbarazzante
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