Derivazione formale delle equazioni di Maxwell
Leggi come l'induzione elettromagnetica (legge di Faraday Lenz), la corrente di spostamento, nella stramaggioranza dei libri vengono "buttate giù lì" a partire da fatti sperimentali. Ma a me questo non soddisfa, perchè, una volta che ho le espressioni dei campi (che prendo come sperimentali):
$$E= \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{\sum q_i}{r_i^2}$$ (Coulomb)
$$B=\frac{\mu i}{4\pi} \int\frac{dl\times r_i}{r^3}$$ (Biot Savart)
(mettiamoci pure la covarianza secondo Lorentz e la conservazione della carica elettrica), le leggi di Lenz e la presenza della corrente di spostamento (da cui si deducono le equazioni di maxwell nel caso non stazionario) dovrebbero seguire automaticamente.
Due domande:
-Perchè nessun libro lo fa (e se qualcuno lo fa me lo segnalereste? Accettati anche articoli ecc...)
-E' possibile ricavare rigorosamente
$$\nabla\times E = -\partial B/\partial t$$
$$\nabla\times H = J+\partial D/\partial t$$
prendendo come fatti sperimentali solo Coulomb e Biot Savart (e magari altri postulati), e se si, come si fa?
Grazie mille, questa questione mi perplime da molto tempo
$$E= \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{\sum q_i}{r_i^2}$$ (Coulomb)
$$B=\frac{\mu i}{4\pi} \int\frac{dl\times r_i}{r^3}$$ (Biot Savart)
(mettiamoci pure la covarianza secondo Lorentz e la conservazione della carica elettrica), le leggi di Lenz e la presenza della corrente di spostamento (da cui si deducono le equazioni di maxwell nel caso non stazionario) dovrebbero seguire automaticamente.
Due domande:
-Perchè nessun libro lo fa (e se qualcuno lo fa me lo segnalereste? Accettati anche articoli ecc...)
-E' possibile ricavare rigorosamente
$$\nabla\times E = -\partial B/\partial t$$
$$\nabla\times H = J+\partial D/\partial t$$
prendendo come fatti sperimentali solo Coulomb e Biot Savart (e magari altri postulati), e se si, come si fa?
Grazie mille, questa questione mi perplime da molto tempo
Risposte
Ciao newton, credo che il problema sia a monte. Le basi sperimentali da cui parti sono troppo ristrette (coulomb e biot-savart). Esse non contengono tutto l'elettromagnetismo. Ad esempio non dicono nulla sulla dipendenza dal tempo dei campi. Le equazioni di maxwell sono la super-sintesi di oltre un secolo di osservazioni sperimentali. Maxwell non ci ha messo dentro nulla di superfluo, cioè nulla che possa essere ricavato da un'altra equazione. Ogni singola equazione di maxwell e figlia di un fatto sperimentale indipendente dalle altre. Quindi la legge di faraday-neumann-lenz è un fatto sperimentale, così come lo è la legge di coulomb. Detto in modo apparentemente paradossale la base minima sperimentale per ricavare le equazioni di maxwell è costituita proprio dalle equazioni di maxwell.
A questo punto la cosa piu elegante che si può fare è, effettivamente, quella di prendere come "sperimentale" l'azione, e ricavare da essere le eq. di maxwell....
Però non riesco ancora a distinguere la differenza tra caso stazionario e non stazionario...a livellomicroscopico non ci sono accumuli di carica...
Però non riesco ancora a distinguere la differenza tra caso stazionario e non stazionario...a livellomicroscopico non ci sono accumuli di carica...
Purtroppo, la forma matematica dell'azione non è un dato empirico. Sono le conseguenze del principio di min.az., cioè le equazioni di moto e campo che sono passibili di verifica sperimentale.
Circa la questione di stazionario o non, è semplice. Se le cariche non si muovono o le correnti non dipendono dal tempo, sei in situazione statica o stazionaria.
Circa la questione di stazionario o non, è semplice. Se le cariche non si muovono o le correnti non dipendono dal tempo, sei in situazione statica o stazionaria.
Se c'è una corrente le cariche si muovono quindi non siamo piu nel caso stazionario...
"newton_1372":
Se c'è una corrente le cariche si muovono quindi non siamo piu nel caso stazionario...
Dipende. Puoi avere una corrente anche senza avere una carica netta in moto. Considera il classico filo conduttore. E' vero che gli elettroni si muovono, ma c'è anche il reticolo cristallino sottostante che neutralizza la carica netta del filo in ogni punto e ad ogni istante. Se invece consideri un "fila" di soli elettroni liberi che si muovono nel vuoto (senza un reticolo sottostante) allora hai sia una corrente che cariche in moto.
Nel caso di una corrente fatta da soli elettroni, senza reticolo, quindi non vale $F=qv\times B$? E il campo magnetico che generano non è dato da Biot-Savart?
La legge di Lorentz è sempre valida. La legge di Bi-Sa solo per correnti stazionarie, perchè non gestisce il potenziale ritardato.
Comunque, le due leggi competono a situazioni diverse. La prima descrive la forza che una carica in moto sente in un campo em., la seconda descrive il campo magnetico generato da una corrente stazionaria. Non vanno confuse.
Comunque, le due leggi competono a situazioni diverse. La prima descrive la forza che una carica in moto sente in un campo em., la seconda descrive il campo magnetico generato da una corrente stazionaria. Non vanno confuse.
Spero qualcuno non me ne voglia se riuppo qiuesto post, ma desideravo condividere una cosetta (e avere un pò la vostra opinione).
Il mio libro di fisica 2 prediletto (Picasso, Lezioni di Fisica Generale II) "ricava" le equazioni di Maxwell a partire dai "postulati" seguenti.
1. $\nabla\cdot E=\rho$. Questo fatto è dimostrato dalla legge di Coulomb nel caso stazionario, ma qui è preso come postulato nel caso generale.
2. Trasformazione del campo elettrico per coniugazione di carica e per isometrie nello spazio (banalmente, si assume che si possa fare il ragionamento "per simmetria" che si fa di solito per trovare campi in situazioni geometriche "belle".
3. Le leggi di trasformazione dei campi non dipendono dal sistema, ma sono le stesse per tutti i sistemi: questo mi legittima a prendere un esempio fisico particolare, vedere come trasformano i campi per cambi di sistemi di riferimento in quell'esempio specifico, e le equazioni che verranno fuori saranno le stesse per tutti i sistemi.
4. Relatività.
Lui poi prende come esempio specifico quello di un "piano" di carica, e vede come trasformano le due componenti del campo elettrico su sistemi di riferimento in moto rispetto al piano stesso. Poi ricava il campo sentito da una carica in moto con le sorgenti fisse (con un cambio di sistema di riferimento, visto che abbiamo ricavato le leggi di trasformazioni sopra). E da questi conti "magicamente" tira fuori B.
Infine aggiunge come altro postulato l'indivergenza di B, e da esse ricava le due equazioni di maxwell coi rotori...
Voi cosa ne pensate? Abbastanza prolisso, ma ha un che di "elegante" come metodo...solo che è contosissimo...però mi sembra logicamente ineccepibile...
Il mio libro di fisica 2 prediletto (Picasso, Lezioni di Fisica Generale II) "ricava" le equazioni di Maxwell a partire dai "postulati" seguenti.
1. $\nabla\cdot E=\rho$. Questo fatto è dimostrato dalla legge di Coulomb nel caso stazionario, ma qui è preso come postulato nel caso generale.
2. Trasformazione del campo elettrico per coniugazione di carica e per isometrie nello spazio (banalmente, si assume che si possa fare il ragionamento "per simmetria" che si fa di solito per trovare campi in situazioni geometriche "belle".
3. Le leggi di trasformazione dei campi non dipendono dal sistema, ma sono le stesse per tutti i sistemi: questo mi legittima a prendere un esempio fisico particolare, vedere come trasformano i campi per cambi di sistemi di riferimento in quell'esempio specifico, e le equazioni che verranno fuori saranno le stesse per tutti i sistemi.
4. Relatività.
Lui poi prende come esempio specifico quello di un "piano" di carica, e vede come trasformano le due componenti del campo elettrico su sistemi di riferimento in moto rispetto al piano stesso. Poi ricava il campo sentito da una carica in moto con le sorgenti fisse (con un cambio di sistema di riferimento, visto che abbiamo ricavato le leggi di trasformazioni sopra). E da questi conti "magicamente" tira fuori B.
Infine aggiunge come altro postulato l'indivergenza di B, e da esse ricava le due equazioni di maxwell coi rotori...
Voi cosa ne pensate? Abbastanza prolisso, ma ha un che di "elegante" come metodo...solo che è contosissimo...però mi sembra logicamente ineccepibile...
Si potrà fare in tanti modi, ma, secondo me, se vuoi aprirti alla fisica teorica nel modo migliore, alla qft e alle teorie di gauge, dovresti partire da una opportuna azione con opportune simmetrie ed applicare il principio di minima azione... ricaverai meravigliosamente le eq. di Maxwell in formato relativistico (che sono due e molto armoniose e simmetriche). Poi, se vuoi, in termini di E e B...
Ti consiglio un'occhiata al Landau, teoria dei campi
Ti consiglio un'occhiata al Landau, teoria dei campi
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo