Derivazione formale delle equazioni di Maxwell
Leggi come l'induzione elettromagnetica (legge di Faraday Lenz), la corrente di spostamento, nella stramaggioranza dei libri vengono "buttate giù lì" a partire da fatti sperimentali. Ma a me questo non soddisfa, perchè, una volta che ho le espressioni dei campi (che prendo come sperimentali):
$$E= \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{\sum q_i}{r_i^2}$$ (Coulomb)
$$B=\frac{\mu i}{4\pi} \int\frac{dl\times r_i}{r^3}$$ (Biot Savart)
(mettiamoci pure la covarianza secondo Lorentz e la conservazione della carica elettrica), le leggi di Lenz e la presenza della corrente di spostamento (da cui si deducono le equazioni di maxwell nel caso non stazionario) dovrebbero seguire automaticamente.
Due domande:
-Perchè nessun libro lo fa (e se qualcuno lo fa me lo segnalereste? Accettati anche articoli ecc...)
-E' possibile ricavare rigorosamente
$$\nabla\times E = -\partial B/\partial t$$
$$\nabla\times H = J+\partial D/\partial t$$
prendendo come fatti sperimentali solo Coulomb e Biot Savart (e magari altri postulati), e se si, come si fa?
Grazie mille, questa questione mi perplime da molto tempo
$$E= \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{\sum q_i}{r_i^2}$$ (Coulomb)
$$B=\frac{\mu i}{4\pi} \int\frac{dl\times r_i}{r^3}$$ (Biot Savart)
(mettiamoci pure la covarianza secondo Lorentz e la conservazione della carica elettrica), le leggi di Lenz e la presenza della corrente di spostamento (da cui si deducono le equazioni di maxwell nel caso non stazionario) dovrebbero seguire automaticamente.
Due domande:
-Perchè nessun libro lo fa (e se qualcuno lo fa me lo segnalereste? Accettati anche articoli ecc...)
-E' possibile ricavare rigorosamente
$$\nabla\times E = -\partial B/\partial t$$
$$\nabla\times H = J+\partial D/\partial t$$
prendendo come fatti sperimentali solo Coulomb e Biot Savart (e magari altri postulati), e se si, come si fa?
Grazie mille, questa questione mi perplime da molto tempo
Risposte
up
beh, alla seconda domanda risponde wikipedia qui.
Quanto alla prima, non sono sicuro ci sia una dimostrazione rigorosa di quelle leggi, almeno nei termini che un matematico accetterebbe. Spesso le leggi buttate lì come sperimentali siano state formulate grossolanamente per tentativi, spesso da più soggetti ignoti, per poi essere formalizzate con rigore in un secondo tempo, di solito da chi dà loro il nome.
Ad esempio la legge di Faraday-Neumann-Lenz; il fenomeno da cui parte è facile da osservare: muovi un magnete vicino ad un filo e vedi che sul filo circola una corrente che cessa se fermi il magnete e riparte con lui. Se hai uno strumento di misura delle variazioni di campi vettoriali come il flusso ed un certo formalismo alle spalle puoi enunciare la legge come $f.e.m._(text(indotta)) = epsilon_i = - (del Phi(vecB))/(del t)$ e magari darle il tuo nome.
Il mio professore di fisica disse "io conosco due modi di fare fisica, ciascuno con i suoi insigni rappresentanti: il primo è proprio di chi osserva cose strane e cerca di trovare le leggi a cui obbediscono, di solito per compiacere l'ingegnere che gli ha fornito gli strumenti per vedere quelle cose strane; il secondo è di chi ha delle leggi strane e cerca qualcosa che obbedisca loro, di solito per compiacere il matematico che ha formulato per lui quelle leggi strane".
Quanto alla prima, non sono sicuro ci sia una dimostrazione rigorosa di quelle leggi, almeno nei termini che un matematico accetterebbe. Spesso le leggi buttate lì come sperimentali siano state formulate grossolanamente per tentativi, spesso da più soggetti ignoti, per poi essere formalizzate con rigore in un secondo tempo, di solito da chi dà loro il nome.
Ad esempio la legge di Faraday-Neumann-Lenz; il fenomeno da cui parte è facile da osservare: muovi un magnete vicino ad un filo e vedi che sul filo circola una corrente che cessa se fermi il magnete e riparte con lui. Se hai uno strumento di misura delle variazioni di campi vettoriali come il flusso ed un certo formalismo alle spalle puoi enunciare la legge come $f.e.m._(text(indotta)) = epsilon_i = - (del Phi(vecB))/(del t)$ e magari darle il tuo nome.
Il mio professore di fisica disse "io conosco due modi di fare fisica, ciascuno con i suoi insigni rappresentanti: il primo è proprio di chi osserva cose strane e cerca di trovare le leggi a cui obbediscono, di solito per compiacere l'ingegnere che gli ha fornito gli strumenti per vedere quelle cose strane; il secondo è di chi ha delle leggi strane e cerca qualcosa che obbedisca loro, di solito per compiacere il matematico che ha formulato per lui quelle leggi strane".
Su quella pagina di wikipedia ero andato anche io. Ma c'è un problema, anzi piu di uno.
Imprecisioni nella dimostrazione della formula col rotore di E: la ricava dalla legge di Lenz, che dovrebbe essere una conseguenza, non la causa, delle equazioni di Maxwell...io mi sto chiedendo proprio perchè vale la legge di Lenz.
Imprecisioni nella dimostrazione della formula col rotore di H: sono molto mascherate dal fiume di parole, ma il ragionamento che lui fa non mi sembra ben posto, anche solo perchè non è detto che $$J+\partial D/\partial t$$ sia l'unico vettore la cui divergenza sia nulla...inoltre fa la molto sottile assunzione che
$$\nabla\times H = J+ f$$
mentre la "differenza" rispetto al caso stazionario potrebbe benissimo essere un altra funzione che fa J nel caso stazionario, per esempio
$$\nabla\times H = J e^\frac{\partial \rho}{\partial t}$$
Imprecisioni nella dimostrazione della formula col rotore di E: la ricava dalla legge di Lenz, che dovrebbe essere una conseguenza, non la causa, delle equazioni di Maxwell...io mi sto chiedendo proprio perchè vale la legge di Lenz.
Imprecisioni nella dimostrazione della formula col rotore di H: sono molto mascherate dal fiume di parole, ma il ragionamento che lui fa non mi sembra ben posto, anche solo perchè non è detto che $$J+\partial D/\partial t$$ sia l'unico vettore la cui divergenza sia nulla...inoltre fa la molto sottile assunzione che
$$\nabla\times H = J+ f$$
mentre la "differenza" rispetto al caso stazionario potrebbe benissimo essere un altra funzione che fa J nel caso stazionario, per esempio
$$\nabla\times H = J e^\frac{\partial \rho}{\partial t}$$
Io vorrei ricavare le due equazioni suddette in modo "univoco" a partire da Biot Savart, Coulomb e magari altro...ma, ribadisco, vorrei vederle ricavate in modo non ambiguo e univoco...
up (ho eliminato qualche up precedente per migliorare la leggibilità).
La legge di Coulomb vale solo per il caso statico. Se una carica puntiforme si muove, il campo elettrico è molto più complicato (vedi potenziali di Lienard-Wiechert). Le equazioni di Maxwell, perciò, non possono essere ricavate usando Coulomb.
In generale, però, tutte le teorie fisiche, e quindi anche la teora del campo elettromagnetico di Maxwell, sono ricavabili dal principio di minima azione applicando opportune simmetrie.
Puoi vedere come si possono ricavare le eq. di Maxwell sul Landau, teoria dei campi.
Spero di esserti stato utile
In generale, però, tutte le teorie fisiche, e quindi anche la teora del campo elettromagnetico di Maxwell, sono ricavabili dal principio di minima azione applicando opportune simmetrie.
Puoi vedere come si possono ricavare le eq. di Maxwell sul Landau, teoria dei campi.
Spero di esserti stato utile
Nel caso non statico non vale comunque $F_{\text{tot}}=F_{El}+F_{Mag} = q(E+v\times B)$? In ogni caso se non erro le espressioni di E e B rimangono quelle che ho messo nel primo post, o sbaglio?
La forza di Lorentz è giusta. La legge di Coulomb si complica di molto
non capisco...allora la derivazione delle equazioni di Maxwell a partire da Coulomb e Biot Savart è totalmente sbagliata e vale solo nel caso stazionario!
Adesso sono completamente nel pallone, come faccio a vedere/sapere cosa succede nel caso non stazionario? Che poi scusa, il caso non stazionario implica il movimento di cariche nel tempo....non posso descrivere tutto con delle correnti?
Adesso sono completamente nel pallone, come faccio a vedere/sapere cosa succede nel caso non stazionario? Che poi scusa, il caso non stazionario implica il movimento di cariche nel tempo....non posso descrivere tutto con delle correnti?
Le eq. di M. descrivono tutti i casi. Esse soni ricavabili dal principio di minima azione con opportune simmetrie. Non sono ricavabili come desidereresti tu, purtroppo...
Devo assumere cioè che si debba minimizzare una qualche azione "data così a naso"? I principi di minima azione non mi piacciono molto perchè le lagrangiane sono date un pò così ..."a naso"...per esempio quando si dà $L=T-U$ fingo di non sapere cos'è l'energia cinetica e potenziale e le vedo solo come funzioni delle coordinate, però in realtà sotto sotto sto usando F=ma...e tanto meglio usare quest'ultima, perchè F, m e a sono grandezze misurabili...è una relazione molto più sperimentale, quindi molto più adatta a essere presa come "punto di partenza"...
Mi spieghi una cosa...come diventa la legge di Coulomb nel caso non stazionario? A livello microscopico poi tutto mi sembra stazionario: la carica non si crea e non si distrugge, ci sono solo particelle cariche che si muovono qui e là...senza accumularsi...
Mi spieghi una cosa...come diventa la legge di Coulomb nel caso non stazionario? A livello microscopico poi tutto mi sembra stazionario: la carica non si crea e non si distrugge, ci sono solo particelle cariche che si muovono qui e là...senza accumularsi...
Il principio di minima azione è la vera "anima" di tutta la fisica teorica, da Newton a Feynman... bisogna che impari a farci l'abitudine
Circa il campo generato da una carica puntifirme in moto, la formula è molto complicata e non posso scriverla qui. La puoi trovare comodamente in letteratura.
Circa il campo generato da una carica puntifirme in moto, la formula è molto complicata e non posso scriverla qui. La puoi trovare comodamente in letteratura.
Domanda personale: lei è un fisico teorico?
Il campo generato da una carica puntiforme q in moto con velocità v io so esserlo così:
$E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{r^2}$
$B=\frac{\mu_0}{4\pi} \frac{qv\times r}{r^3}$
Se una carica Q viaggia a velocità W la forza sentita è $F=Q(\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{r^2}+W\times(\frac{\mu_0}{4\pi} \frac{qv\times r}{r^3}))$
Dove sbaglio?
$E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{r^2}$
$B=\frac{\mu_0}{4\pi} \frac{qv\times r}{r^3}$
Se una carica Q viaggia a velocità W la forza sentita è $F=Q(\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{r^2}+W\times(\frac{\mu_0}{4\pi} \frac{qv\times r}{r^3}))$
Dove sbaglio?
Ps. Guarda nel paragrafi dedcato ai potenzuali di Lienard-W.
Oddio sono traumatizzato!!! E quelle che ho scritto io? Totalmente sbagliate? O_o
Poi una cosa..:quand'è che vale allora Biot-Savart? Se c'è una corrente ci sono anche cariche in moto....
Poi una cosa..:quand'è che vale allora Biot-Savart? Se c'è una corrente ci sono anche cariche in moto....
Per le correnti stazionarie. Sia Coulomb che Bi-Sa. non tengono conto che il campo elettromagnetico viaggia a velocità c
E' il fatto che il campo viaggia a velocità c che fa sorgere quei fenomeni tipo l'induzione elettromagnetica e la corrente di spostamento?
Sì. Lavorando matematicamente sulle eq. di Maxwell si ottengono proprio le equazioni delle onde...
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