Derivate totali rispetto al tempo in una lagrangiana
Ciao a tutti,
non riesco a capire una cosa nella spiegazione di un esercizio di meccanica analitica. Il problema è questo
Si consideri un punto materiale \(\displaystyle Q \) di massa unitaria soggetto alla forza peso che è vincolato a muoversi lungo una retta tangente ad una circonferenza di raggio \(\displaystyle R \) in un punto \(\displaystyle P \).
Supponendo che il punto \(\displaystyle P \) si muova sulla circonferenza con legge oraria
\(\displaystyle x (t) = Rcosωt\)
\(\displaystyle y (t) = R sin ωt \)
1) scrivere la Lagrangiana utilizzando la coordinata \(\displaystyle ξ = P Q \);
Per la soluzione che riesco a ricavare anche io, trova le coordinate del punto \(\displaystyle Q \)
\(\displaystyle x = R cos ωt − ξ sin ωt \)
\(\displaystyle y = R sin ωt + ξ cos ωt \)
Poi ne fa la derivata e trova la velocità assoluta del punto \(\displaystyle Q \)
A questo punto usando le \(\displaystyle x˙ \) e \(\displaystyle y˙ \) calcolate si scrive la lagrangiana, e fin qui lo seguo
\(\displaystyle L =
R^2ω^2
/2
+
ξ˙^2/
2
+
ω^2ξ^2/
2 + Rω ξ˙ − g(R sin ωt + ξ cos ωt) \)
Ma poi dice che eliminando derivate totali rispetto al tempo si ottiene
\(\displaystyle L =
ξ˙^
2/
2
+
ω^
2
ξ^
2/2 − gξ cos ωt \)
e non capisco perché. \(\displaystyle R \) e \(\displaystyle ω \) dovrebbero essere costanti, quindi capisco perché il primo termine possa essere eliminato. Ma il secondo termine è \(\displaystyle ξ˙^2 \), e viene mantenuto, perché allora viene cancellato \(\displaystyle Rω ξ˙ \)?
Mentre invece \(\displaystyle -gR sin ωt \) è semplicemente la derivata rispetto al tempo di \(\displaystyle gR cos ωt /ω \) quindi si può togliere dalla lagrangiana, giusto?
Forse non mi è chiaro cosa sia effettivamente \(\displaystyle ξ \) e \(\displaystyle ξ˙ \) e da cosa dipendano, oppure cosa voglia dire derivata totale rispetto al tempo.
non riesco a capire una cosa nella spiegazione di un esercizio di meccanica analitica. Il problema è questo
Si consideri un punto materiale \(\displaystyle Q \) di massa unitaria soggetto alla forza peso che è vincolato a muoversi lungo una retta tangente ad una circonferenza di raggio \(\displaystyle R \) in un punto \(\displaystyle P \).
Supponendo che il punto \(\displaystyle P \) si muova sulla circonferenza con legge oraria
\(\displaystyle x (t) = Rcosωt\)
\(\displaystyle y (t) = R sin ωt \)
1) scrivere la Lagrangiana utilizzando la coordinata \(\displaystyle ξ = P Q \);
Per la soluzione che riesco a ricavare anche io, trova le coordinate del punto \(\displaystyle Q \)
\(\displaystyle x = R cos ωt − ξ sin ωt \)
\(\displaystyle y = R sin ωt + ξ cos ωt \)
Poi ne fa la derivata e trova la velocità assoluta del punto \(\displaystyle Q \)
A questo punto usando le \(\displaystyle x˙ \) e \(\displaystyle y˙ \) calcolate si scrive la lagrangiana, e fin qui lo seguo
\(\displaystyle L =
R^2ω^2
/2
+
ξ˙^2/
2
+
ω^2ξ^2/
2 + Rω ξ˙ − g(R sin ωt + ξ cos ωt) \)
Ma poi dice che eliminando derivate totali rispetto al tempo si ottiene
\(\displaystyle L =
ξ˙^
2/
2
+
ω^
2
ξ^
2/2 − gξ cos ωt \)
e non capisco perché. \(\displaystyle R \) e \(\displaystyle ω \) dovrebbero essere costanti, quindi capisco perché il primo termine possa essere eliminato. Ma il secondo termine è \(\displaystyle ξ˙^2 \), e viene mantenuto, perché allora viene cancellato \(\displaystyle Rω ξ˙ \)?
Mentre invece \(\displaystyle -gR sin ωt \) è semplicemente la derivata rispetto al tempo di \(\displaystyle gR cos ωt /ω \) quindi si può togliere dalla lagrangiana, giusto?
Forse non mi è chiaro cosa sia effettivamente \(\displaystyle ξ \) e \(\displaystyle ξ˙ \) e da cosa dipendano, oppure cosa voglia dire derivata totale rispetto al tempo.
Risposte
Hai un punto sulla circonferenza, quando consideri la tangente, quel punto resta fermo, o si muove sulla tangente.
Quindi la derivata temporale delle coordinate sulla circonferenza è nulla
Quindi la derivata temporale delle coordinate sulla circonferenza è nulla
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