Derivata covariante

[luca961]

Salve a tutti. In un libro di meccanica razionale ho trovato la notazione $\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial x^i}\cdot \mathbf{e_j}$ per la componente j-esima (covariante) del vettore v rispetto alla i-esima coordinata. A cosa corrisponde la scrittura $\nabla_jv^i$ ?

Come si dimostra poi che $\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial x^i}\cdot \mathbf{e_j} = \frac{\partial v_k}{\partial x^i}-\mathbf{v}\cdot \frac{\partial^2 P}{\partial x^i \partial x^k }$ ?

[luca961]

up

[Seneca1]

[xdom="Seneca"]Visto l'argomento, perché aumentino le possibilità di una risposta, sposto la discussione in Fisica.[/xdom]

[lucagalbu]

"luca96":Salve a tutti. In un libro di meccanica razionale ho trovato la notazione $\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial x^i}\cdot \mathbf{e_j}$ per la componente j-esima (covariante) del vettore v rispetto alla i-esima coordinata. A cosa corrisponde la scrittura $\nabla_jv^i$ ?

Come si dimostra poi che $\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial x^i}\cdot \mathbf{e_j} = \frac{\partial v_k}{\partial x^i}-\mathbf{v}\cdot \frac{\partial^2 P}{\partial x^i \partial x^k }$ ?

$\nabla_jv^i$ indica la derivata covariante dell'i-esima componente del vettore $v$ lungo la direzione $x^j$. Nel caso di spazio
piatto (euclideo o minkowskiano) la derivata covariante coincide con quella ordinaria. Non so se ho risposto alla tua prima domanda....

[luca961]

In parte si grazie

[lucagalbu]

Per la seconda parte della domanda dovresti dire cosa sono P e v...

[luca961]

v il vettore da derivare, P il generico punto sulla varietà in funzione delle coordinate.

[dissonance]

"lucagalbu":$\nabla_jv^i$ indica la derivata covariante dell'i-esima componente del vettore $v$ lungo la direzione $x^j$. Nel caso di spazio
piatto (euclideo o minkowskiano) la derivata covariante coincide con quella ordinaria.

E se l'indice è alto, così: \(\nabla^jv^i\), cosa si intende? E' stato semplicemente alzato con una metrica: \(\nabla^jv^i=g^{kj}\nabla_kv^i\), o c'è dell'altro?

[luca961]

Ora è tutto più chiaro Gli altri dubbi li ho chiariti con un libriccino di relatività