Densità volumica in presenza di dielettrici
Salve.
Se in un condensatore cilindrico (ha un'altezza $L$) ho due costante dielettriche relative diverse (nell'intercapedine dei condensatori, che si dividono a metà per avere in una la prima costante e nell'altra, la seconda) cosa posso dire riguardo la densità di carica volumica nei dielettrici?
E' uniformemente carica, ha carica $Q_0$ quindi non dovrebbe essere nulla, ma qualcosa mi dice che risulterà nulla, ma non so perchè.
Una densità superficiale (di polarizzazione) di carica è associata ad una discontinuità della componente normale del campo elettrico, giusto?
Se in un condensatore cilindrico (ha un'altezza $L$) ho due costante dielettriche relative diverse (nell'intercapedine dei condensatori, che si dividono a metà per avere in una la prima costante e nell'altra, la seconda) cosa posso dire riguardo la densità di carica volumica nei dielettrici?
E' uniformemente carica, ha carica $Q_0$ quindi non dovrebbe essere nulla, ma qualcosa mi dice che risulterà nulla, ma non so perchè.
Una densità superficiale (di polarizzazione) di carica è associata ad una discontinuità della componente normale del campo elettrico, giusto?
Risposte
"ludwigZero":
... Se in un condensatore cilindrico (ha un'altezza $L$)
Siamo sicuri che sia cilindrico? ... da quello che scrivi mi verrebbe quasi da pensare che sia ad armature piane, circolari e parallele.
"ludwigZero":
... cosa posso dire riguardo la densità di carica volumica nei dielettrici?
Per dire qualcosa dovresti ricordarti la relazione notevole che in generale permette di calcolarla, quale?
"ludwigZero":
... E' uniformemente carica, ha carica $Q_0$
Qual'è il soggetto?
"ludwigZero":
... quindi non dovrebbe essere nulla, ma qualcosa mi dice che risulterà nulla, ma non so perchè.
Questo sì che è un dubbio veramente amletico.
"ludwigZero":
... Una densità superficiale (di polarizzazione) di carica è associata ad una discontinuità della componente normale del campo elettrico, giusto?
Diciamo che sarebbe più corretto dire che è associata ad una discontinuità della polarizzazione, e in questo caso particolare anche a quella del campo elettrico.
Anche qui ti chiedo, qual'è la relazione notevole che permette di calcolarla?
Il condensatore cilindrico ha carica $Q_0$
la relazione notevole per la densità di carica (di polarizzazione) del volume è:
$\rho_P = -$ div P
con $P = \epsilon_0 (\epsilon_r - 1) E$
E questo mi confonde.
Mentre per la densità di carica di polarizzazione superficiale:
$\sigma_P = P*n $
dove n è la normale alla superficie di sopra e di sotto uscente del cilindro
L'interfaccia è discontinua, e D non è proprio parallelo all'interfaccia, quindi è $sigma_P = 0$
la relazione notevole per la densità di carica (di polarizzazione) del volume è:
$\rho_P = -$ div P
con $P = \epsilon_0 (\epsilon_r - 1) E$
E questo mi confonde.
Mentre per la densità di carica di polarizzazione superficiale:
$\sigma_P = P*n $
dove n è la normale alla superficie di sopra e di sotto uscente del cilindro
L'interfaccia è discontinua, e D non è proprio parallelo all'interfaccia, quindi è $sigma_P = 0$
"ludwigZero":
Avevo visto un esercizio (molto vecchio) nel forum:
viewtopic.php?f=19&t=58719
In quel caso, come già affermato in quel thread, il condensatore può essere visto come il parallelo di due condensatori cilindrici geometricamente uguali ma con diverso dielettrico.
"ludwigZero":
... Il condensatore cilindrico ha carica $Q_0$
Carica complessiva, ok.
"ludwigZero":
... la relazione notevole per la densità di carica (di polarizzazione) del volume è:
$\rho_P = -$ div P
con $P = \epsilon_0 (\epsilon_r - 1) E$
Ok, quindi il vettore polarizzazione risulta radiale, parallelo e proporzionale al campo elettrico, ne segue che puoi andare a determinarne la divergenza e quindi la densità di carica volumetrica; lascio a te il semplice calcolo.
"ludwigZero":
... Sul Mencuccini leggo questo:
La densità volumica delle cariche di polarizzazione scritta in questo modo:
$\rho_P = - (\epsilon_r - 1)/ (\epsilon_r ) \rho$
è non nulla se è presente una densità di cariche libere localizzate $\rho$
E questo mi confonde.
Non vedo come sia possibile avere una densità volumetrica di cariche libere in questo caso visto che è sottinteso che il dielettrico sia un isolante perfetto.
"ludwigZero":
... Mentre per la densità di carica di polarizzazione superficiale:
$\sigma_P = P*n $
dove n è la normale alla superficie di sopra e di sotto uscente del cilindro
L'interfaccia è discontinua, e D non è proprio parallelo all'interfaccia, quindi è $sigma_P = 0$
Cosa intendi dire con "D non è proprio parallelo" ... visto che poi scrivi correttamente che
"ludwigZero":
... quindi è $sigma_P = 0$
Nella tua analisi manca però il calcolo della densità di carica superficiale di polarizzazione in corrispondenza delle superfici del dielettrico affacciate alle armature.
Grazie per gli spunti, vado con ordine, prima mi calcolo la densità volumetrica:
$\rho_P = $ - div P
In generale:
$P = \epsilon_0 (\epsilon_r -1) E$
nel mio caso mettero' $\epsilon_1$ ed $\epsilon_2$
$E= Q/(\pi \epsilon_1 ) 1/r$
E viene scritto solo con componente radiale quindi la divergenza si riduce ad:
$dE/(dr) = - Q/(\pi \epsilon_1 ) 1/r^2$
e per il secondo è:
$dE/(dr) = - Q/(\pi \epsilon_2 ) 1/r^2$
Quindi la $\rho_P = \rho_1 + \rho_2 = (\epsilon_0 Q)/(\pi r^2 ) [(\epsilon_1 -1)/\epsilon_1 + (\epsilon_2 -1)/\epsilon_2 ]$
Rimane così .. io non ho $r$ dato che lo si prende compreso tra ilraggio interno e quello esterno
Che ne pensi?
$\rho_P = $ - div P
In generale:
$P = \epsilon_0 (\epsilon_r -1) E$
nel mio caso mettero' $\epsilon_1$ ed $\epsilon_2$
$E= Q/(\pi \epsilon_1 ) 1/r$
E viene scritto solo con componente radiale quindi la divergenza si riduce ad:
$dE/(dr) = - Q/(\pi \epsilon_1 ) 1/r^2$
e per il secondo è:
$dE/(dr) = - Q/(\pi \epsilon_2 ) 1/r^2$
Quindi la $\rho_P = \rho_1 + \rho_2 = (\epsilon_0 Q)/(\pi r^2 ) [(\epsilon_1 -1)/\epsilon_1 + (\epsilon_2 -1)/\epsilon_2 ]$
Rimane così .. io non ho $r$ dato che lo si prende compreso tra ilraggio interno e quello esterno
Che ne pensi?
"ludwigZero":
... vado con ordine, prima mi calcolo la densità volumetrica:
$\rho_P = $ - div P
E viene scritto solo con componente radiale quindi la divergenza si riduce ad:
$dE/(dr) = - Q/(\pi \epsilon_1 ) 1/r^2$
No, non puoi calcolarla in quel modo, siamo in presenza di un campo a simmetria cilindrica e di conseguenza devi (o per meglio dire è più semplice e "conveniente") usare la divergenza in coordinate cilindriche.
"ludwigZero":
... per il secondo è:
... e ovviamente nemmeno in questo caso.
"ludwigZero":
... Quindi la $\rho_P = \rho_1 + \rho_2 = (\epsilon_0 Q)/(\pi r^2 ) [(\epsilon_1 -1)/\epsilon_1 + (\epsilon_2 -1)/\epsilon_2 ]$
A parte il precedente errore di determinazione, anche qui no, in quanto si tratta di due volumi completamente disgiunti e di conseguenza non ha senso sommare le densità di carica.
"ludwigZero":
... ... Che ne pensi?
Che potresti riprovarci.
No, non puoi calcolarla in quel modo, siamo in presenza di un campo a simmetria cilindrica e di conseguenza devi (o per meglio dire è più semplice e "conveniente") usare la divergenza in coordinate cilindriche.
Il campo in coordinate cilindriche sarebbe:
$ E = ( E_r, E_\phi , E_z ) $
dove:
$r = sqrt(x^2 + y^2)$
$\phi = arctg(y/z)$
$z=z$
Ora io non posso dire che ha solo componente radiale ... dato che io sto assumendo che questa sia solo un'approssimazione
infatti ci sono due cilindri con dielettrici diversi, la simmetria cilindrica è rotta ed è qui che mi blocco...
tuttavia per approssimazione si ha che la divergenza sarebbe solo:
div E $= 1/r (d(E_r))/(dr)$
ti trovi fin qui?
La dipendenza da $r$ dovrebbe scomparire nella divergenza...
Se non ha senso sommare le densità di carica, rimane semplicemente $\rho_1$ e $\rho_2$.
per la densità di carica di superficie vale zero perchè i due dielettrici sono in contatto senza che ci siano
cariche libere nella interfaccia, intuitivamente, ora dovrei fare il calcolo basandomi sulla condizione al contorno:
$\sigma_1/(\epsilon_1) = \sigma_2/(\epsilon_2)$
ti trovi?
Il campo in coordinate cilindriche sarebbe:
$ E = ( E_r, E_\phi , E_z ) $
dove:
$r = sqrt(x^2 + y^2)$
$\phi = arctg(y/z)$
$z=z$
Ora io non posso dire che ha solo componente radiale ... dato che io sto assumendo che questa sia solo un'approssimazione
infatti ci sono due cilindri con dielettrici diversi, la simmetria cilindrica è rotta ed è qui che mi blocco...
tuttavia per approssimazione si ha che la divergenza sarebbe solo:
div E $= 1/r (d(E_r))/(dr)$
ti trovi fin qui?
La dipendenza da $r$ dovrebbe scomparire nella divergenza...
Se non ha senso sommare le densità di carica, rimane semplicemente $\rho_1$ e $\rho_2$.
per la densità di carica di superficie vale zero perchè i due dielettrici sono in contatto senza che ci siano
cariche libere nella interfaccia, intuitivamente, ora dovrei fare il calcolo basandomi sulla condizione al contorno:
$\sigma_1/(\epsilon_1) = \sigma_2/(\epsilon_2)$
ti trovi?
"ludwigZero":
... Ora io non posso dire che ha solo componente radiale ... dato che io sto assumendo che questa sia solo un'approssimazione ... infatti ci sono due cilindri con dielettrici diversi, la simmetria cilindrica è rotta ed è qui che mi blocco...
Tutto è un'approssimazione della realtà, la simmetria è "rotta" anche in corrispondenza alle due superfici di base esterne del cilindro, ma è chiaro che se non usiamo queste "approssimazioni" il problema non si può risolvere per via analitica.
"ludwigZero":
... tuttavia per approssimazione si ha che la divergenza sarebbe solo:
div E $= 1/r (d(E_r))/(dr)$
ti trovi fin qui?
La dipendenza da $r$ dovrebbe scomparire nella divergenza...
Proprio così.
"ludwigZero":
... Se non ha senso sommare le densità di carica, rimane semplicemente $\rho_1$ e $\rho_2$.
Certo, ci saranno due distinte densità volumetriche, in questo caso nulle.
"ludwigZero":
... per la densità di carica di superficie vale zero perchè i due dielettrici sono in contatto senza che ci siano cariche libere nella interfaccia, intuitivamente,
Di cariche libere. come già detto, in giro per i dielettrici non ce ne sono e sempre "approssimando" ti chiedo: quali sono i vincoli per il campo elettrico, l'induzione elettrica e la polarizzazione in corrispondenza di una superficie di discontinuità dielettrica?
"ludwigZero":
... ora dovrei fare il calcolo basandomi sulla condizione al contorno:
$\sigma_1/(\epsilon_1) = \sigma_2/(\epsilon_2)$
Quale calcolo? ... e cosa rappresentano quelle due $\sigma$ ?
la divergenza del primo è:
$1/r d/(dr) (r Q/(h \pi \epsilon_1) 1/r) = 0$
in modo equivalente:
$1/r d/(dr) (r Q/(h \pi \epsilon_2) 1/r) = 0$
quindi:
$\rho_1 = 0 = \rho_2$
e questo sarebbe la densità volumetrica.
Le condizioni di raccordo sono, per approssimazione, per il campo elettrico, a cavallo della superficie di separazione:
$\epsilon_2 E_2= \epsilon_1 E_1 $
mentre le componenti parallele del vettore di induzione:
$D_2 - D_1 = \sigma_c$
dove intendo $\sigma_c$ quello del conduttore.
mentre il vettore polarizzazione è legato al vettore E:
$P = (\epsilon - 1)(\epsilon_0) E$
però di nuovo E dipende da r ... quindi qualcosa non va bene in questa relazione..
$1/r d/(dr) (r Q/(h \pi \epsilon_1) 1/r) = 0$
in modo equivalente:
$1/r d/(dr) (r Q/(h \pi \epsilon_2) 1/r) = 0$
quindi:
$\rho_1 = 0 = \rho_2$
e questo sarebbe la densità volumetrica.
Le condizioni di raccordo sono, per approssimazione, per il campo elettrico, a cavallo della superficie di separazione:
$\epsilon_2 E_2= \epsilon_1 E_1 $
mentre le componenti parallele del vettore di induzione:
$D_2 - D_1 = \sigma_c$
dove intendo $\sigma_c$ quello del conduttore.
mentre il vettore polarizzazione è legato al vettore E:
$P = (\epsilon - 1)(\epsilon_0) E$
però di nuovo E dipende da r ... quindi qualcosa non va bene in questa relazione..
up!
"ludwigZero":
... quindi:
$\rho_1 = 0 = \rho_2$
Ok.
"ludwigZero":
... Le condizioni di raccordo sono, per approssimazione, per il campo elettrico, a cavallo della superficie di separazione:
$\epsilon_2 E_2= \epsilon_1 E_1 $
Scritta così suppongo sia da interpretare relativa alle sole componenti del campo parallele alla superficie di separazione, ma in questo caso direi sia una relazione errata, visto che la circuitazione del campo elettrico su un percorso rettangolare a cavallo della superficie deve risultare nullo.
"ludwigZero":
... mentre le componenti parallele del vettore di induzione:
$D_2 - D_1 = \sigma_c$
Anche su questa non concordo visto l'aggettivo usato.
"ludwigZero":
... dove intendo $\sigma_c$ quello del conduttore.
Quello chi? ... quale conduttore?
"ludwigZero":
... mentre il vettore polarizzazione è legato al vettore E:
$P = (\epsilon - 1)(\epsilon_0) E$
Certo, se quella $\epsilon$ rappresenta la costante dielettrica relativa.
"ludwigZero":
...però di nuovo E dipende da r ... quindi qualcosa non va bene in questa relazione..
Certo che E dipende da r, ma non capisco cosa ci sia che non ti torna, il vettore polarizzazione $\vec P$ ha anch'esso una sola componenti parallela in entrambi i dielettrici, si avrebbe una densità di carica di polarizzazione superficiale solo nel caso fossero presenti anche due diverse componenti normali ovvero, assumendo un versore $\hat n$ da 1 verso 2, si avrebbe
$P_{n2}-P_{n1}=-\sigma_p$
ma qui di componenti normali non ne abbiamo.
Non mi torna perchè chiede la la densit di carica di polarizzazione superficiale NEI dielettrici.
io questo ''nei dielettrici'' lo intendo appunto in dipendenza da 1/r
Ma la densità superficiale SULLE superfi, sarebbero rispettivamente su r=raggio interno e r= raggio esterno? E questi però non sono nulli ..
Scrivo in formule:
$P_1 = (\epsilon_1 - 1) \epsilon_0 E_1 $
$P_2 = (\epsilon_2 - 1) \epsilon_0 E_2 $
ora:
$E_1 = Q/(\pi \epsilon_1 h) 1/r$
$E_2 = Q/(\pi \epsilon_2 h) 1/r$
quindi:
$P = P_1 - P_2$
$P = (\epsilon_1 - 1) \epsilon_0 Q/(\pi \epsilon_1 h) 1/r - (\epsilon_2 - 1) \epsilon_0 Q/(\pi \epsilon_2 h) 1/r$
quindi
$\sigma_P = (P_1 - P_2)*n$
ti trovi?
A quanto pare non viene 0 ...
Quando poi dici che <>
Dovrei quindi scrivere, in approssimazione, che:
$E_1 = E_2$
io questo ''nei dielettrici'' lo intendo appunto in dipendenza da 1/r
Ma la densità superficiale SULLE superfi, sarebbero rispettivamente su r=raggio interno e r= raggio esterno? E questi però non sono nulli ..
Scrivo in formule:
$P_1 = (\epsilon_1 - 1) \epsilon_0 E_1 $
$P_2 = (\epsilon_2 - 1) \epsilon_0 E_2 $
ora:
$E_1 = Q/(\pi \epsilon_1 h) 1/r$
$E_2 = Q/(\pi \epsilon_2 h) 1/r$
quindi:
$P = P_1 - P_2$
$P = (\epsilon_1 - 1) \epsilon_0 Q/(\pi \epsilon_1 h) 1/r - (\epsilon_2 - 1) \epsilon_0 Q/(\pi \epsilon_2 h) 1/r$
quindi
$\sigma_P = (P_1 - P_2)*n$
ti trovi?
A quanto pare non viene 0 ...
Quando poi dici che <
Dovrei quindi scrivere, in approssimazione, che:
$E_1 = E_2$
"ludwigZero":
Non mi torna perchè chiede la la densit di carica di polarizzazione superficiale NEI dielettrici.
Giusto una domanda: potrei vedere il testo del problema in versione integrale? ... io ero rimasto a quello del vecchio thread che avevi lincato.
"ludwigZero":
... io questo ''nei dielettrici'' lo intendo appunto in dipendenza da 1/r
Nei dielettrici significa dentro i dielettrici e una densità superficiale non può stare dentro ma solo sulla superficie degli stessi.
Io avevo inteso che tu cercassi di capire quanto fosse la densità superficiele di carica di polarizzazione in corrispondenza della superficie di separazione fra i due mezzi cilindri e non in corrispondenza delle due armature (come ti avevo suggerito di analizzare in un precedente messaggio).
"ludwigZero":
... Ma la densità superficiale SULLE superfi, sarebbero rispettivamente su r=raggio interno e r= raggio esterno? E questi però non sono nulli ...
Chi? ... i raggi?
Le ultime due superfici da analizzare sono quelle e lì c'è una densità di carica superficiale di polarizzazione, visto che non è nullo il prodotto scalare fra vettore polarizzazione e versore normale $\hat n$.
"ludwigZero":
...
$P_1 = (\epsilon_1 - 1) \epsilon_0 E_1 $
$P_2 = (\epsilon_2 - 1) \epsilon_0 E_2 $
Su quelle relazioni non ci piove
"ludwigZero":
... ora:
$E_1 = Q/(\pi \epsilon_1 h) 1/r$
$E_2 = Q/(\pi \epsilon_2 h) 1/r$
Su queste invece ho seri dubbi che siano corrette.
"ludwigZero":
...
Quando poi dici che <>
Dovrei quindi scrivere, in approssimazione, che:
$E_1 = E_2$
Certo, ad ogni modo io mi riferivo ai due campi presenti ai due lati della superficie di separazione.
dove n è il versore normale alla superficie di separazione
e P il vettore polarizzazione ..
Quando all'inizio facciamo il flusso del vettore D:
$\int D*n dS = Q$
esso non è solo (mettiamoci nel mezzo 1):
$D_1 = \epsilon_0 E_1$
ma è:
$D_1 = \epsilon_0 E_1 + P_1$
forse è da qui che ho commesso l'errore ponendo come
$E_1=Q/(2pi*r*(h/2))*(1/(epsilon_1))$
a questo punto mi viene da pensare che il campo è semplicemente quello ''standard' ovvero:
$E_1=Q/(2pi*r*(h/2))*(1/(epsilon_0))$
Altra dubbio. Il campo elettrico di passaggio da una superficie all'altra si pone come condizione di raccordo $E_1 = E_2$
ma cosa succede se volessi trovare il campo ad esempio proprio all'interno del semi-cilindro con dielettrico? Il campo è uniforme dappertutto? queste costanti dielettriche, alla fin fine, mi cambiano solo la capacità dell'intero sistema ...
spero di non creare una mega confusione e spero di capirlo oggi
e P il vettore polarizzazione ..
Quando all'inizio facciamo il flusso del vettore D:
$\int D*n dS = Q$
esso non è solo (mettiamoci nel mezzo 1):
$D_1 = \epsilon_0 E_1$
ma è:
$D_1 = \epsilon_0 E_1 + P_1$
forse è da qui che ho commesso l'errore ponendo come
$E_1=Q/(2pi*r*(h/2))*(1/(epsilon_1))$
a questo punto mi viene da pensare che il campo è semplicemente quello ''standard' ovvero:
$E_1=Q/(2pi*r*(h/2))*(1/(epsilon_0))$
Altra dubbio. Il campo elettrico di passaggio da una superficie all'altra si pone come condizione di raccordo $E_1 = E_2$
ma cosa succede se volessi trovare il campo ad esempio proprio all'interno del semi-cilindro con dielettrico? Il campo è uniforme dappertutto? queste costanti dielettriche, alla fin fine, mi cambiano solo la capacità dell'intero sistema ...
spero di non creare una mega confusione e spero di capirlo oggi
Non ti capisco proprio, e quindi invece di risponderti ti faccio un paio di domande:
a) supponendo trascurabili gli "effetti ai bordi" (accettabile grazie al rapporto $h/b > 30$), mi sapresti fare un disegno di come dovrebbe ("approssimativamente") essere il campo elettrico $\vec E$ e il vettore polarizzazione $\vec P$ nell'intercapedine fra i due cilindri?
b) a tuo parere la carica Q risulta ugualmente ripartita sulle due armature?
a) supponendo trascurabili gli "effetti ai bordi" (accettabile grazie al rapporto $h/b > 30$), mi sapresti fare un disegno di come dovrebbe ("approssimativamente") essere il campo elettrico $\vec E$ e il vettore polarizzazione $\vec P$ nell'intercapedine fra i due cilindri?
b) a tuo parere la carica Q risulta ugualmente ripartita sulle due armature?
a ) no, non potrei disegnarlo, perchè non c'è simmetria
ecco perchè non capisco come posso scrivere il campo elettrico, senza simmetria e se quel raccordo $E_1 = E_2$ ha un qualche sen
ecco perchè non capisco come posso scrivere il campo elettrico, senza simmetria e se quel raccordo $E_1 = E_2$ ha un qualche sen
"ludwigZero":
a ) no, non potrei disegnarlo, perchè non c'è simmetria
Ah beh, se la vedi così, discorso chiuso.
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