Densità superficiale di carica

[Giulio98261]

Su due gusci sferici, di spessore trascurabile, concentrici e fatti di materiale isolante, è distribuita uniformemente carica elettrica. Sapendo che la carica totale disposta sul guscio interno, di raggio R1 = R è pari a Q1 = Q, mentre quella sul guscio esterno, di raggio R2 = 2*R, è Q2 = 2*Q, si determinino:
le densità superficiali di carica sigma_1 e sigma_2 sui due gusci.

Probabilmente non ho proprio ben capito cosa sia la densità superficiale di carica nè tantomeno come si calcoli. Chiedo il vostro aiuto.

[Palliit]

Prova a dire con parole tue cos'hai capito e cosa no.

[mgrau]

"Giulio9826":
Probabilmente non ho proprio ben capito cosa sia la densità superficiale di carica

Se proprio ti costa troppo andare su Wikipedia, prova a fare uno sforzo di immaginazione.
Dato per buono che tu sappia cos'è la densità (massa / volume), per analogia (visto che la parola "densità" non sarà stata usata a casaccio) cosa potrà mai voler dire densità - superficiale di carica ?

[Giulio98261]

"mgrau":
Se proprio ti costa troppo andare su Wikipedia, prova a fare uno sforzo di immaginazione.
Dato per buono che tu sappia cos'è la densità (massa / volume), per analogia (visto che la parola "densità" non sarà stata usata a casaccio) cosa potrà mai voler dire densità - superficiale di carica ?

In effetti era più semplice del previsto, il problema era che non era stato ben esplicitato a lezione…

Riguardo a questo problema ho un altro quesito (che probabilmente sarà altrettanto semplice), che a me non viene.

Calcolare la differenza di potenziale tra i punti A e C con R_A = 3*R e R_C = R/2 e, successivamente, tra il punto A e il punto D, posto a una distanza R_D = R/3 dal centro dei due gusci, su di un raggio formante un angolo di 37 gradi con il raggio su cui sono posti i punti A, B, C.

Credo che il dato dell'angolo di 37 gradi sia inutile però non ne ho la certezza.

[mgrau]

Avrai visto che il potenziale in un punto rappresenta il lavoro per spostare la carica unitaria da lì all'infinito.
Per un campo generato da una carica puntiforme, è dato da $V(r) = 1/(4piepsi_0)Q/r$, e questo vale anche per una carica disposta su un guscio sferico, all'esterno; all'interno, dato che il campo è zero, il potenziale resta costante, uguale a quello sul guscio. Inoltre, il potenziale è additivo.
Così, i tuoi due gusci producono, uno $V_1 = 1/(4piepsi_0)Q/r$ per $r >= R$ (e $V_1 = 1/(4piepsi_0)Q/R$ per $r < R$), e $V_2 = 1/(4piepsi_0)(3Q)/r$ per $r >= 2R$ ( e $V_2 = 1/(4piepsi_0)(3Q)/R$ per $r < 2R)$, il potenziale complessivo è la somma dei due.
Per trovare le d.d.p. richieste devi calcolare il valore di V nei due punti, e sottrarli.
L'angolo come supponevi non serve a niente, visto che V dipende solo da r.
Nomini un punto B che non si sa cosa sia...

Edit: la formula $V_2 = 1/(4piepsi_0)(3Q)/R$ per $r < 2R)$ è invece $V_2 = 1/(4piepsi_0)(3Q)/(2R)$ per $r < 2R)$

[Giulio98261]

"mgrau":Avrai visto che il potenziale in un punto rappresenta il lavoro per spostare la carica unitaria da lì all'infinito.
Per un campo generato da una carica puntiforme, è dato da $V(r) = 1/(4piepsi_0)Q/r$, e questo vale anche per una carica disposta su un guscio sferico, all'esterno; all'interno, dato che il campo è zero, il potenziale resta costante, uguale a quello sul guscio. Inoltre, il potenziale è additivo.
Così, i tuoi due gusci producono, uno $V_1 = 1/(4piepsi_0)Q/r$ per $r >= R$ (e $V_1 = 1/(4piepsi_0)Q/R$ per $r < R$), e $V_2 = 1/(4piepsi_0)(3Q)/r$ per $r >= 2R$ ( e $V_2 = 1/(4piepsi_0)(3Q)/R$ per $r < 2R)$, il potenziale complessivo è la somma dei due.
Per trovare le d.d.p. richieste devi calcolare il valore di V nei due punti, e sottrarli.
L'angolo come supponevi non serve a niente, visto che V dipende solo da r.
Nomini un punto B che non si sa cosa sia...

No scusa, non ho capito…
Cioè in un punto intermedio (come ad esempio $ r=3/2*R $) il potenziale sarebbe $ V=1/(4piepsi_0)*(4*Q)/(R+3/2*R $ ??
Io cosi facendo non mi trovo con i risultati, quindi probabilmente non ho ben compreso ciò che hai scritto...

[mgrau]

A $r = 3/2R$ i due potenziali sono : $V_1 = 1/(4piepsi_0)Q/(3/2R)$ e $V_2 = 1/(4piepsi_0)(2Q)/(2R)$ (c'è un 2R al denominatore, avevo sbagliato, sopra), da sommare insieme, ma che non è quel che hai scritto tu

EDIT Vedo che ho fatto tutto come se ci fossero 3Q sul guscio esterno, invece è 2Q; chiaramente, i 3 vanno sostituiti con 2 (in questo post l'ho già fatto)

[Giulio98261]

"mgrau":A $r = 3/2R$ i due potenziali sono : $V_1 = 1/(4piepsi_0)Q/(3/2R)$ e $V_2 = 1/(4piepsi_0)(2Q)/(2R)$ (c'è un 2R al denominatore, avevo sbagliato, sopra), da sommare insieme, ma che non è quel che hai scritto tu

EDIT Vedo che ho fatto tutto come se ci fossero 3Q sul guscio esterno, invece è 2Q; chiaramente, i 3 vanno sostituiti con 2 (in questo post l'ho già fatto)

Mi sembra tutto giusto, ho capito il ragionamento che c'è dietro ecc...
Eppure non mi trovo con il risultato, a me viene una d.d.p. negativa e ovviamente $ V_A-V_C = V_A-V_D $
dato che sia il punto C che il D si trovano all'interno del raggio più piccolo (e su questo mi trovo d'accordo anche con il risultato!!).
Ora scrivo il risultato dell'esercizio così magari potete chiarirmi le idee:

Prendiamo $ V_oo =0V $ , $ V_A-V_C=Q/(2piepsi_0R)=V_A-V_D $

[mgrau]

"Giulio9826":
Ora scrivo il risultato dell'esercizio così magari potete chiarirmi le idee:

Prendiamo $ V_oo =0V $ , $ V_A-V_C=Q/(2piepsi_0R)=V_A-V_D $

Se non ho sbagliato i conti a me viene $ V_A-V_C=Q/(4piepsi_0R)$

[Giulio98261]

A me viene il tuo stesso risultato ma con segno opposto, infatti V_c mi esce il doppio di V_A. Ma comunque nel risultato del professore c'è un 2 a denominatore che non è uscito nemmeno a te

[mgrau]

Per il segno è vero, $V_C > V_A$. Per il 2 o 4 proverò a rivedere i conti.