Densità di una miscela
Voglio calcolare la densità di una portata di una miscela di composizione nota in una determinata sezione.
Nel caso di una miscela gassosa ideale avrei pensato a qualcosa del genere:
$p_iV=n_iRT=>n_i/V=p_i/(RT)=>(n_iM_i)/V=(p_iM_i)/(RT)=>m_i/V=(py_iM_i)/(RT)=>$
$=>sum_(i)(m_i)/V=m/V=rho=sum_(i)(py_iM_i)/(RT)$
E' corretto?
Nel caso di una miscela generica invece ho pensato di calcolarla come media pesata delle densità dei singoli costituenti, ma non sapevo se utilizzare come pesi le frazioni molari o quelle massiche. Cercando su internet ho letto che bisogna usare le frazioni massiche $y^m$, ossia:
$rho=sum_(i)y_i^m\cdotrho_i(p,T)$
Per togliermi ogni dubbio sto cercando di ottenere la precedente partendo dalla definizione di densità:
$rho=m/V=sum_(i)m_i/V=sum_(i)(y_i^mm)/V=...$
ma mi sono bloccato...
Nel caso di una miscela gassosa ideale avrei pensato a qualcosa del genere:
$p_iV=n_iRT=>n_i/V=p_i/(RT)=>(n_iM_i)/V=(p_iM_i)/(RT)=>m_i/V=(py_iM_i)/(RT)=>$
$=>sum_(i)(m_i)/V=m/V=rho=sum_(i)(py_iM_i)/(RT)$
E' corretto?
Nel caso di una miscela generica invece ho pensato di calcolarla come media pesata delle densità dei singoli costituenti, ma non sapevo se utilizzare come pesi le frazioni molari o quelle massiche. Cercando su internet ho letto che bisogna usare le frazioni massiche $y^m$, ossia:
$rho=sum_(i)y_i^m\cdotrho_i(p,T)$
Per togliermi ogni dubbio sto cercando di ottenere la precedente partendo dalla definizione di densità:
$rho=m/V=sum_(i)m_i/V=sum_(i)(y_i^mm)/V=...$
ma mi sono bloccato...
Risposte
"Super Squirrel":
Voglio calcolare la densità di una portata di una miscela di composizione nota in una determinata sezione.
Nel caso di una miscela gassosa ideale avrei pensato a qualcosa del genere:
$ p_iV=n_iRT=>n_i/V=p_i/(RT)=>(n_iM_i)/V=(p_iM_i)/(RT)=>m_i/V=(py_iM_i)/(RT)=> $
$ =>sum_(i)(m_i)/V=m/V=rho=sum_(i)(py_iM_i)/(RT) $
E' corretto?
Certo, con $y_i$ frazioni molari.
Tra l'altro da qui puoi definire un peso molecolare medio $M$ per la miscela
$M=sum_(i)y_i M_i$ e puoi usare la legge dei gas perfetti per la miscela come per una specie singola:
$rho=(p M)/(R T)$
che è molto comodo.
"Super Squirrel":
Nel caso di una miscela generica invece ho pensato di calcolarla come media pesata delle densità dei singoli costituenti, ma non sapevo se utilizzare come pesi le frazioni molari o quelle massiche. Cercando su internet ho letto che bisogna usare le frazioni massiche $ y^m $, ossia:
$ rho=sum_(i)y_i^m\cdotrho_i(p,T) $
Non ho mai avuto necessità di usare una tale relazione anche perchè non ne capisco molto il senso: cosa si intende per $rho_i$ in relazione alla miscela? Cioè che pressione e volume si stanno considerando per la specie singola con densità $rho_i$ in relazione alla densità $rho$ della miscela?
Se si considerano le pressioni parziali e il volume totale occupato dalla miscela (e temperatura della miscela ovviamente) allora quella relazione non vale in quanto sarebbe banalmente:
$rho=sum_(i) rho_i$
se invece, come sembrerebbe, la pressione della singola specie è la stessa che avrebbe la miscela allora ok, ma a me appunto non è una relazione che sia stata mai fondamentale (credo che la dimostrazione della formula in questi termini non sia difficile).
"Faussone":
Non ho mai avuto necessità di usare una tale relazione anche perchè non ne capisco molto il senso:
In pratica ci sono due correnti fluide (una liquida e una gassosa) coinvolte in un processo di assorbimento (a pressione e temperatura costanti) le cui portate e composizioni molari variano lungo la colonna; mi serve sapere la loro densità in particolari sezioni (anche se forse parlare di densità in una sezione non è particolarmente rigoroso?!).
Per la corrente gassosa posso utilizzare la legge dei gas perfetti nel modo in cui tu mi hai confermato essere corretto.
Per la corrente liquida invece bisogna per forza ricorrere ad un approccio più generico, e come già detto nel precedente post avrei pensato di calcolare la densità della miscela come media pesata delle densità dei singoli costituenti. Essendo in dubbio se utilizzare come pesi le frazioni molari o quelle massiche, ho fatto una ricerca in rete e da qui la formula:
$ rho=sum_(i)y_i^m\cdotrho_i(p,T) $
che è sì sensata, ma non riuscendo a dimostrarla non ho la certezza che sia effettivamente corretta.
Per esempio qui viene presentata una formula diversa...
Ah!!! Avevo dato per scontato che parlassi sempre di stato gassoso, scusa l'incomprensione.
Adesso non riesco risponderò più avanti, se nessuno avrà già chiarito.
Adesso non riesco risponderò più avanti, se nessuno avrà già chiarito.
Direi che la formula che hai messo, considerando un solido o un liquido, in cui ciascuna specie di densità $rho_i$ occupa il volume $V_i$, è valida per frazioni in volume non in massa:
$rho=sum_i m_i/V=sum_i rho_i V_i/V=sum_i rho_i y_i^V$
$rho=sum_i m_i/V=sum_i rho_i V_i/V=sum_i rho_i y_i^V$
"Faussone":
Direi che la formula che hai messo, considerando un solido o un liquido, in cui ciascuna specie di densità $rho_i$ occupa il volume $V_i$, è valida per frazioni in volume non in massa:
$rho=sum_i m_i/V=sum_i rho_i V_i/V=sum_i rho_i y_i^V$
Già, sono d'accordo!
La seguente invece mi sembra corretta:
[size=120]$1/rho=V/m=sum_(i)V_i/m=sum_(i)(m_i/rho_i)/m=sum_(i)m_i/(mrho_i)=sum_(i)y_i^m/rho_i=>rho=1/(sum_(i)y_i^m/rho_i)$[/size]
che dici?
Inoltre dovrebbe essere valida sia per una miscela liquida che gassosa, o sbaglio?
"Super Squirrel":
La seguente invece mi sembra corretta:
[size=120]$1/rho=V/m=sum_(i)V_i/m=sum_(i)(m_i/rho_i)/m=sum_(i)m_i/(mrho_i)=sum_(i)y_i^m/rho_i=>rho=1/(sum_(i)y_i^m/rho_i)$[/size]
che dici?
Mi pare ineccepibile
"Super Squirrel":
Inoltre dovrebbe essere valida sia per una miscela liquida che gassosa, o sbaglio?
Continuo a non capire come sia utile per una miscela gassosa, bisogna fare attenzione a interpretare le $V_i$ e quindi le $rho_i$ infatti, in quel caso meglio ragionare con una unica $V$ e con le pressioni parziali $p_i$, secondo me almeno.
Un'altra cosa: il tuo scopo finale è quello di calcolare la densità di una miscela liquido/gassosa?
Se così non sono sicuro che quelle relazioni possano aiutare visto che in realtà in molti casi il gas si "scioglie" nel liquido.
Se così non sono sicuro che quelle relazioni possano aiutare visto che in realtà in molti casi il gas si "scioglie" nel liquido.
"Faussone":
Un'altra cosa: il tuo scopo finale è quello di calcolare la densità di una miscela liquido/gassosa?
Se così non sono sicuro che quelle relazioni possano aiutare visto che in realtà in molti casi il gas si "scioglie" nel liquido.
Le correnti gassosa e liquida sono sì coinvolte in un processo di assorbimento, ma a me serve calcolare la densità della miscela gassosa $rho_G$ e di quella liquida $rho_L$ separatamente in una determinata sezione, quindi credo che le suddette relazioni possano andare.
"Super Squirrel":
Le correnti gassosa e liquida sono sì coinvolte in un processo di assorbimento, ma a me serve calcolare la densità della miscela gassosa $ rho_G $ e di quella liquida $ rho_L $ separatamente in una determinata sezione, quindi credo che le suddette relazioni possano andare.
Ah ok! Siccome avevi parlato di assorbimento (o adsorbimento?) appunto mi sembrava volessi fare direttamente la miscela gassosa.
"Faussone":
Siccome avevi parlato di assorbimento (o adsorbimento?) appunto mi sembrava volessi fare direttamente la miscela gassosa.
Ah ok, comunque si tratta di assorbimento (o absorbimento che dir si voglia)!
P.S.
Ho provato ad utilizzare la precedente formula anche sulla fase gassosa e ottengo un valore molto prossimo a quello ottenuto dalla formula ricavata dalla legge dei gas perfetti.
"Super Squirrel":
Ho provato ad utilizzare la precedente formula anche sulla fase gassosa e ottengo un valore molto prossimo a quello ottenuto dalla formula ricavata dalla legge dei gas perfetti.
Sì certo, non mi aspettavo non fosse valida per un gas, bisogna solo fare attenzione: nell'applicarla si sta presupponendo che i vari gas miscelati vanno ad occupare un volume che è la somma dei volumi che occupavano da soli quando le loro densità erano per ciascuno $rho_i$.
Mi pare più generale il primo approccio con la legge dei gas perfetti e le pressioni parziali (certo ovviamente lì si suppone valida la legge dei gas perfetti, ma va considerato che nella maggior parte dei casi, se non si lavora a pressioni molto maggiori di quella atmosferica, tale legge è una ottima approssimazione del comportamento di un gas reale).
Poi dipende da quello che devi fare tu, se nel tuo caso è applicabile la relazione con le frazioni in massa o volume allora va benissimo.
"Faussone":
Sì certo, non mi aspettavo non fosse valida per un gas, bisogna solo fare attenzione: nell'applicarla si sta presupponendo che i vari gas miscelati vanno ad occupare un volume che è la somma dei volumi che occupavano da soli quando le loro densità erano per ciascuno $rho_i$.
Mi pare più generale il primo approccio con la legge dei gas perfetti e le pressioni parziali (certo ovviamente lì si suppone valida la legge dei gas perfetti, ma va considerato che nella maggior parte dei casi, se non si lavora a pressioni molto maggiori di quella atmosferica, tale legge è una ottima approssimazione del comportamento di un gas reale).
Poi dipende da quello che devi fare tu, se nel tuo caso è applicabile la relazione con le frazioni in massa o volume allora va benissimo.
Chiarissimo!
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