Densità di energia elettrostatica in un punto

[ludwigZero]

Salve!
Ho trovato online questo problema, senza risoluzione, e vorrei vedere se ci ho ragionato bene:



a parte che credo $z_0$ sia una costante, anche se non viene detto ... ed anche A (questo probabilmente con una sua dimensione):

per il punto 1) ho semplicemente fatto la derivata e posto $z=d$ e mi viene:
$ E_z = -(dV)/dz = - d/dz( A ln (z_0/z) )= A 1/z $

$ E_z (0,0,d) = A 1/d $

punto 2)

$u = (\epsilon_0 E_z^2)/2 $

punto 3) che il cilindro sia posizionato in $(0,0,d)$ non credo sconvolga la carica presente nel cilindro ..
Io farei con Gauss, dato che vuole la carica all'interno, prendiamo un raggio $r < R$ e integriamo:

$Q_int = \epsilon_0 int_0^R E(r
dove con $E(r $E(r però non sono molto sicuro di ciò, cosa non va?

[RenzoDF]

"ludwigZero":... a parte che credo $z_0$ sia una costante, anche se non viene detto ... ed anche A (questo probabilmente con una sua dimensione):

Certo, $z_0$ è una costante e anche dimensionata, altrimenti il logaritmo (come al solito) perderebbe di senso ( $[z_0]=m$) e così pure A che dovrà avere come unità di misura il volt.

"ludwigZero":... per il punto 1) ... punto 2)

Per questi due punti Ok.

"ludwigZero":... punto 3) che il cilindro sia posizionato in $(0,0,d)$ non credo sconvolga la carica presente nel cilindro ..Io farei con Gauss, dato che vuole la carica all'interno, prendiamo un raggio $r < R$ e integriamo:

Non vedo cosa ci sia da integrare, dal gradiente hai già ricavato che il campo elettrico ha esclusivamente una componente lungo z e di conseguenza risulterà costante (anche se diverso) sulle due basi del cilindro.
Per la carica non ti rimane quindi che usare Gauss e osservare che il flusso lo avrai non nullo solo attraverso le due superfici di base, mentre sarà nullo sulla superficie laterale del cilindro; nessun integrale quindi per il flusso, ma semplicemente un prodotto fra $\Delta E$ e la superficie di base.

[ludwigZero]

quindi devo prendere la base a distanza $d$ e l'altra a distanza $d+h$

$\delta E= E_z(d+h) - E_z(d) = A (1/(d+h) - 1/d)$
la superficie di una sola base è
$S_(base) = 2 \pi r $
Quindi devo mettere il tutto qui dentro:
$\delta E S_(base) = Q/\epsilon_0$

[RenzoDF]

Superficie a parte , sì.

[ludwigZero]

"RenzoDF":Superficie a parte , sì.

le basi del cilindro sono due cerchi, quindi sommandole entrambe si ottiene $2 \pi r^2 $

giusto?

[RenzoDF]

"ludwigZero":... le basi del cilindro sono due cerchi, quindi sommandole entrambe si ottiene $2 \pi r^2 $

giusto?

No, le superfici non vanno sommate visto il prodotto con il $\Delta E$, ad ogni modo mi riferivo a quanto da te scritto per calcolare la singola.

"ludwigZero":... la superficie di una sola base è
$S_(base) = 2 \pi r $

[ludwigZero]

Ah quindi se non si sommano è semplicemente $\pi r$
(però non capisco ora perchè non si sommano sia quella della base che il ''coperchio'' ...

[RenzoDF]

"ludwigZero":Ah quindi se non si sommano è semplicemente $\pi r$

Direi ancora no.

"ludwigZero": ... (però non capisco ora perchè non si sommano sia quella della base che il ''coperchio'' ...

Non si sommano in quanto usando la differenza fra i due campi $\Delta E$ siamo andati a scrivere il flusso uscente dall'intera superficie cilindrica come

$\Phi _E=S_bE(h+d)-S_bE(h) =S_b\Delta E$

[ludwigZero]

$S_b = \pi (x^2 + y^2)$

dato che la base è un cerchio ... dopo questa non saprei proprio più che pensare!

[RenzoDF]

"ludwigZero":... dato che la base è un cerchio ... dopo questa non saprei proprio più che pensare!

Forse, semplicemente, a

$S_b=\piR^2$

[ludwigZero]

sono la dimostrazione di come perdersi in un bicchier d'acqua.
grazie mille renzo.

[RenzoDF]

Di nulla!