Densitá di corrente. Dubbio concettuale.
Buongiorno a tutti ho un grosso dubbio che non riguarda un esercizio in sé, ma un aspetto teorico più generale.
Definiamo la densità di corrente superficiale come quel vettore tale che il suo flusso attraverso una sezione di conduttore sia la corrente che scorre in quel conduttore (cfr. Mencuccini), giusto? Ma se la definizione utilizza i conduttori che fare quando ho degli isolanti? In particolare ho un problema di una sfera isolante con carica totale Q che ruota e mi su chiede la densità di corrente superficiale? Solo che non capisco, non c'è nessun flusso di corrente.
Grazie per le risposte!
Definiamo la densità di corrente superficiale come quel vettore tale che il suo flusso attraverso una sezione di conduttore sia la corrente che scorre in quel conduttore (cfr. Mencuccini), giusto? Ma se la definizione utilizza i conduttori che fare quando ho degli isolanti? In particolare ho un problema di una sfera isolante con carica totale Q che ruota e mi su chiede la densità di corrente superficiale? Solo che non capisco, non c'è nessun flusso di corrente.
Grazie per le risposte!
Risposte
Se hai una carica che si muove, anche se "trasportata" da terzi, hai anche una corrente, non credi?
Certo ma il "flusso" (nel senso vettoriale del termine) dov'è? É la superficie che si muove: non c'è niente che la attraversi
Scusa ma non avevo letto che
... quella è una densità volumetrica non superficiale; nel caso della sfera carica si suppone lo spessore sia infinitesimo e attraverso una astrazione matematica andiamo ad usare una densità superficiale Js che si misurerà in A/m e quindi a calcolare la corrente non attraverso un flusso ma attraverso un prodotto scalare fra Js e versore normale n all'elemento infinitesimo di lunghezza dl.
"pollo93":
... Definiamo la densità di corrente superficiale come quel vettore tale che il suo flusso attraverso una sezione di conduttore sia la corrente che scorre in quel conduttore ...
... quella è una densità volumetrica non superficiale; nel caso della sfera carica si suppone lo spessore sia infinitesimo e attraverso una astrazione matematica andiamo ad usare una densità superficiale Js che si misurerà in A/m e quindi a calcolare la corrente non attraverso un flusso ma attraverso un prodotto scalare fra Js e versore normale n all'elemento infinitesimo di lunghezza dl.
Oddio ho capito!! Quindi qui non è il flusso, ma il prodotto scalare con un tratto "lineare" dl.
Nella fattispecie dell'esercizio data la carica della sfera e la sua $omega$ abbiamo che $J=di/(2 pi r ) = Q/(2 pi r) omega/(2 pi) $ dove r é il raggio della sezione circolare di sfera (R*sin(t) con t angolo al centro). Giusto?
Nella fattispecie dell'esercizio data la carica della sfera e la sua $omega$ abbiamo che $J=di/(2 pi r ) = Q/(2 pi r) omega/(2 pi) $ dove r é il raggio della sezione circolare di sfera (R*sin(t) con t angolo al centro). Giusto?
... scusa ma non ho capito.
Sí scusami in effetti non si capisce niente.
Sono passato ad un problema vero e proprio. Ho una sup. Sferica avente carica Q che ruota con velocità angolare $omega$ e mi chede la densità di corrente superficiale.
Detto $theta$ l'angolo polare tra l'asse z e il raggio della sfera R si ha che la nostra densità di corrente J($theta$) é quel vettore tale che
$i_{sez}= Q omega/(2 pi)= int J dl = J 2 pi R sin(theta) $ da cui possiamo ricavare j.
Se poi mi chiede anche la corrente totale si ottiene integrando quella roba (noto J) da -pi a pi ovviamente riscrivendo dl come $2 pi R cos(theta ) d theta $
Sono passato ad un problema vero e proprio. Ho una sup. Sferica avente carica Q che ruota con velocità angolare $omega$ e mi chede la densità di corrente superficiale.
Detto $theta$ l'angolo polare tra l'asse z e il raggio della sfera R si ha che la nostra densità di corrente J($theta$) é quel vettore tale che
$i_{sez}= Q omega/(2 pi)= int J dl = J 2 pi R sin(theta) $ da cui possiamo ricavare j.
Se poi mi chiede anche la corrente totale si ottiene integrando quella roba (noto J) da -pi a pi ovviamente riscrivendo dl come $2 pi R cos(theta ) d theta $
"pollo93":
...
$ int J dl = J 2 pi R sin(theta) $ da cui possiamo ricavare j.
Come hai ottenuto questa uguaglianza?
$ int j dl = int_0^{2pi} j r d phi = int_0^{2pi} j R sintheta d phi = j R sintheta 2 pi$ cioè ho semplicemente integrato sul tratto infinitesimo di circonferenza lungo tutta la circonferenza e ho semplicemente j*2pi r
... continuo a non capire, chi è $\phi$ ?
Se mi fai un disegnetto facciamo prima, no?
Se mi fai un disegnetto facciamo prima, no?
Phi é solo l'angolo azimutale della sezione della sfera (in rosso)
... ora ho capito, anche se ci ho messo un po' con quel disegno 
... ma allora ti chiedo, come puoi andare a scrivere la seguente uguaglianza
se non ho capito male io, 'sta sfera ruota intorno all'asse zeta e di conseguenza il tratto infinitesimo del quale ti parlavo è un
$dl=Rd\theta$
non un
$dl=rd\phi$
e di conseguenza, per ottenere la corrente totale, devi integrare lungo un meridiano, non lungo un parallelo; e lungo un meridiano la densità dipende dalla colatitudine.
... ma allora ti chiedo, come puoi andare a scrivere la seguente uguaglianza"pollo93":
$ int j dl = int_0^{2pi} j r d phi $
se non ho capito male io, 'sta sfera ruota intorno all'asse zeta e di conseguenza il tratto infinitesimo del quale ti parlavo è un
$dl=Rd\theta$
non un
$dl=rd\phi$
e di conseguenza, per ottenere la corrente totale, devi integrare lungo un meridiano, non lungo un parallelo; e lungo un meridiano la densità dipende dalla colatitudine.
Ottimo! É proprio il punto che non ho capito. Perché $R d theta$? La corrente scorre lungo i paralleli no? L'integrale é una specie di circuitazione no?
"pollo93":
Ottimo! É proprio il punto che non ho capito. Perché $R d theta$? La corrente scorre lungo i paralleli no?
Certo, ma il tratto $d\vecl$ da utilizzare per ricavare poi la densità superficiale è normale a $\vecJ_s$, non parallelo.
"pollo93":
...L'integrale é una specie di circuitazione no?
In che senso?
Ad ogni modo, giusto per non metterci il pomeriggio, ti dico come farei io: dalla densità di carica superficiale $\rho$ andrei a determinarmi la carica associata alla superficie infinitesima di larghezza $dl=Rd\theta$ e lunghezza $2\pir$, e osserverei che la corrente infinitesima ad essa associata è ottenibile considerando che in un tempo $t=T$ detta carica compirà un giro completo; lasciando indicato dl sarà immediato il passaggio alla densità superficiale.
Capisco se ti sei stufato ma sono più confuso di prima. Se la corrente scorre lungo i paralleli e il vettore j é sempre parallelo alle linee di corrente, se vado a fare il prodotto scalare tra due vettori ortogonali ottengo sempre 0.
Quindi non capisco perché andiamo a integrare il prodotto scalare tra j (parallelo ai paralleli) e $Rd theta $ (parallelo ai meridiani)
Quindi non capisco perché andiamo a integrare il prodotto scalare tra j (parallelo ai paralleli) e $Rd theta $ (parallelo ai meridiani)
"pollo93":
... se vado a fare il prodotto scalare tra due vettori ortogonali ottengo sempre 0.
Prova a rileggere il mio secondo post.
Ok forse ho capito. Nel dubbio grazie mille !!
"pollo93":
Nel dubbio ...
Per precisare quello che dicevo nel secondo post, dove ricordavo che il prodotto scalare è fra il vettore densità di corrente superficiale e la normale al segmento infinitesimo dl,
$di=\vec J_S \cdot \hat n dl$
puoi spiegarti questa relazione partendo da quella reale che determina la corrente infinitesima dal prodotto scalare della densità volumetrica con la normale alla superficie infinitesima
$di=\vec J_V \cdot \hat n dS$
con un passaggio al limite per una delle due dimensioni di dS al fine di far degenerare la superficie in un segmento e la densità volumetrica (ampere per unità di superficie) a quella superficiale (ampere per unità di lunghezza).
Ad ogni modo, chiedi pure, magari non riuscirò a rispondere subito, ma prima o poi lo faccio di certo.
Se poi ti va di postare il tuo risultato sarebbe di certo utile per i lettori del Forum!
Certo,
Calcoliamo $sigma$ densità superficiale come $ Q/(4piR^2)$
A questo punto la carica della parte di superficie compresa tra due piani che tagliano la sfera é $dq=sigma dl 2 pi r $ dove r é il raggio della sezione della sfera e dipende dall'angolo polare $r= R sin theta $ e dl é in qualche modo l'altezza, ovvero $Rd theta$.
Avendo dq troviamo di moltiplicando per $omega /{ 2pi} $ ovvero il periodo.
Otteniamo allora $di= sigma omega R sin theta dl$ da cui ricaviamo $j= sigma omega R sin theta$
Scrivendo quindi dl come Rdtheta e integrando $di$ da 0 a pi otteniamo come corrente totale $sigma 2 R^2 omega $
Fin.
Calcoliamo $sigma$ densità superficiale come $ Q/(4piR^2)$
A questo punto la carica della parte di superficie compresa tra due piani che tagliano la sfera é $dq=sigma dl 2 pi r $ dove r é il raggio della sezione della sfera e dipende dall'angolo polare $r= R sin theta $ e dl é in qualche modo l'altezza, ovvero $Rd theta$.
Avendo dq troviamo di moltiplicando per $omega /{ 2pi} $ ovvero il periodo.
Otteniamo allora $di= sigma omega R sin theta dl$ da cui ricaviamo $j= sigma omega R sin theta$
Scrivendo quindi dl come Rdtheta e integrando $di$ da 0 a pi otteniamo come corrente totale $sigma 2 R^2 omega $
Fin.
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