Densita' di corrente anello: alcuni dubbi
Salve,
ho due dubbi riguardante la densita' di corrente e la corrente circolante in un anello:
immaginiamo di avere un anello carico con densita' $\lambda$, in rotazione attorno al suo centro con velocita' $\omega$
[list=1]
[*:2ui2xzoz]se l'anello ha spessore trascurabile non posso definire una densita' di corrente, giusto?[/*:m:2ui2xzoz]
[*:2ui2xzoz] se invece l'anello ha uno spessore diciamo $h$ l'espressione della densita' di corrente dovrebbe essere $j\ =\ \frac{\lambda\omega}{h}$, giusto? ma a questo punto invece di parlare di densita' lineare di carica non bisognerebbe parlare di densita' superficiale di carica?[/*:m:2ui2xzoz]
[*:2ui2xzoz] se adesso volessi sapere la corrente che circola nell'anello dovrei porre una frontiera e integrare la densita' di corrente in questa frontiera, ma che frontiera devo scegliere?[/*:m:2ui2xzoz][/list:o:2ui2xzoz]
Grazie delle risposte ...
ho due dubbi riguardante la densita' di corrente e la corrente circolante in un anello:
immaginiamo di avere un anello carico con densita' $\lambda$, in rotazione attorno al suo centro con velocita' $\omega$
[list=1]
[*:2ui2xzoz]se l'anello ha spessore trascurabile non posso definire una densita' di corrente, giusto?[/*:m:2ui2xzoz]
[*:2ui2xzoz] se invece l'anello ha uno spessore diciamo $h$ l'espressione della densita' di corrente dovrebbe essere $j\ =\ \frac{\lambda\omega}{h}$, giusto? ma a questo punto invece di parlare di densita' lineare di carica non bisognerebbe parlare di densita' superficiale di carica?[/*:m:2ui2xzoz]
[*:2ui2xzoz] se adesso volessi sapere la corrente che circola nell'anello dovrei porre una frontiera e integrare la densita' di corrente in questa frontiera, ma che frontiera devo scegliere?[/*:m:2ui2xzoz][/list:o:2ui2xzoz]
Grazie delle risposte ...
Risposte
EDIT: post corretto
giusto. Il concetto di densità di corrente è basato sul concetto di superficie attraversata dalle cariche elettriche. Se consideri sistemi unidimensionali, non puoi parlare di densità di corrente.
Non mi sembra. Cosa intendi per spessore? Se $r$ è il raggio della sezione dell'anello, e $R$ è il raggio dell'anello, allora si ha:
\(\displaystyle j=\frac{dQ}{Sdt}=\frac{\lambda 2\pi R}{\pi r^2\frac{2\pi}{\omega}}=\frac{\lambda\omega R}{\pi r^2} \)
Se con $h$ intendi il diametro della sezione allora ti viene un 4 a numeratore e metti $h$ al posto di $r$.
No..perché? Che c'entra? Non credo di capire capire cosa intendi...
Tieni presente che si può parlare di densità lineare anche per corpi con spessori finiti. Immagina un cilindro lungo $L$ con una sezione di $1m^2$ (quindi non trascurabile...) su cui è distribuita una carica elettrica $Q$ in modo uniforme. Nessuno mi impedisce di definire per il cilindro la densità lineare di carica $\lambda=\frac{Q}{L}$
Devi prendere la sezione dell'anello naturalmente. Usando la densità che ho calcolato sopra si ha:
\(\displaystyle i=jS=\frac{\omega\lambda R \pi r^2}{\pi r^2} =\omega\lambda R\) (che è proprio il valore giusto per la corrente...)
"caesar753":
se l'anello ha spessore trascurabile non posso definire una densita' di corrente, giusto?
giusto. Il concetto di densità di corrente è basato sul concetto di superficie attraversata dalle cariche elettriche. Se consideri sistemi unidimensionali, non puoi parlare di densità di corrente.
"caesar753":
se invece l'anello ha uno spessore diciamo h l'espressione della densita' di corrente dovrebbe essere $j = λω/h$, giusto?
Non mi sembra. Cosa intendi per spessore? Se $r$ è il raggio della sezione dell'anello, e $R$ è il raggio dell'anello, allora si ha:
\(\displaystyle j=\frac{dQ}{Sdt}=\frac{\lambda 2\pi R}{\pi r^2\frac{2\pi}{\omega}}=\frac{\lambda\omega R}{\pi r^2} \)
Se con $h$ intendi il diametro della sezione allora ti viene un 4 a numeratore e metti $h$ al posto di $r$.
"caesar753":
ma a questo punto invece di parlare di densita' lineare di carica non bisognerebbe parlare di densita' superficiale di carica?
No..perché? Che c'entra? Non credo di capire capire cosa intendi...
Tieni presente che si può parlare di densità lineare anche per corpi con spessori finiti. Immagina un cilindro lungo $L$ con una sezione di $1m^2$ (quindi non trascurabile...) su cui è distribuita una carica elettrica $Q$ in modo uniforme. Nessuno mi impedisce di definire per il cilindro la densità lineare di carica $\lambda=\frac{Q}{L}$"caesar753":
se adesso volessi sapere la corrente che circola nell'anello dovrei porre una frontiera e integrare la densita' di corrente in questa frontiera, ma che frontiera devo scegliere?
Devi prendere la sezione dell'anello naturalmente. Usando la densità che ho calcolato sopra si ha:
\(\displaystyle i=jS=\frac{\omega\lambda R \pi r^2}{\pi r^2} =\omega\lambda R\) (che è proprio il valore giusto per la corrente...)
Sì che puoi definirla, ma non sarà una funzione regolare; sarà una distribuzione. Per l'anello in questione, la densita di corrente $j$ sarà:
\[ \vec{j}(r,\theta,\phi) = \frac{1}{R} \delta( r - R) \delta(\theta - \theta') I \hat{l}\]
dove $I$ è la corrente totale, $\theta$ è una latitudine che vale $0$ sul piano dell'anello, e $\hat{l}$ è un versore nella direzione della corrente.
La corrente in questione è chiaramente $\lambda \omega R$, come penso tu stessi già dicendo implicitamente.
Se l'anello ha uno spessore piccolo $h$ allora $\iota = \frac{\lambda \omega R}{h}$ è la densità superficiale di corrente, non di carica, e non merita il simbolo $j$. Analogamente puoi definire $\sigma = \frac{\lambda}{h}$ densità superficiale di carica. Non c'è contraddizione, $\sigma$, $\lambda$, $j$, $\iota$, $I$, $Q$ sono tutte quantità diverse.
La corrente che circola nell'anello a partire dalla densità di carica si scrive calcolando il flusso di $\vec{j}$ attraverso una superficie attraversata solo una volta dalla spira; un esempio può essere, nelle coordinate usate sopra, il piano $r\geq 0$,$-\pi/2 < \theta < \pi/2$, $\phi = 0$. Questo integrale è proprio $I = \lambda \omega R$, e in effetti è proprio questo integrale a giustificare la forma per la densità di corrente che ne ho fornito sopra.
\[ \vec{j}(r,\theta,\phi) = \frac{1}{R} \delta( r - R) \delta(\theta - \theta') I \hat{l}\]
dove $I$ è la corrente totale, $\theta$ è una latitudine che vale $0$ sul piano dell'anello, e $\hat{l}$ è un versore nella direzione della corrente.
La corrente in questione è chiaramente $\lambda \omega R$, come penso tu stessi già dicendo implicitamente.
Se l'anello ha uno spessore piccolo $h$ allora $\iota = \frac{\lambda \omega R}{h}$ è la densità superficiale di corrente, non di carica, e non merita il simbolo $j$. Analogamente puoi definire $\sigma = \frac{\lambda}{h}$ densità superficiale di carica. Non c'è contraddizione, $\sigma$, $\lambda$, $j$, $\iota$, $I$, $Q$ sono tutte quantità diverse.
La corrente che circola nell'anello a partire dalla densità di carica si scrive calcolando il flusso di $\vec{j}$ attraverso una superficie attraversata solo una volta dalla spira; un esempio può essere, nelle coordinate usate sopra, il piano $r\geq 0$,$-\pi/2 < \theta < \pi/2$, $\phi = 0$. Questo integrale è proprio $I = \lambda \omega R$, e in effetti è proprio questo integrale a giustificare la forma per la densità di corrente che ne ho fornito sopra.
"hamilton":
Sì che puoi definirla, ma non sarà una funzione regolare; sarà una distribuzione
Caro hamilton, sono d'accordo con te ma dato che caesar753 poneva delle questioni molto più basilari non mi sembrava proprio il caso di tirare in ballo le distribuzioni. Credo che gli avrei solo confuso le idee ancora di più.
Rileggendo il mio post, comunque, mi sono accorto di aver fatto confusione tra il raggio dell'anello e il raggio della sezione dell'anello (li avevo trattati come la stessa quantità....) e quindi ho corretto alcune formule.
"hamilton":
Se l'anello ha uno spessore piccolo $ h $ allora $ \iota = \frac{\lambda \omega R}{h} $ è la densità superficiale di corrente, non di carica, e non merita il simbolo $ j $. Analogamente puoi definire $ \sigma = \frac{\lambda}{h} $ densità superficiale di carica.
Qui non ti seguo. Anche a te chiedo cosa intendi con "spessore" e soprattutto cosa intendi con densità superficiale di corrente. Suppongo che tu non intenda il vettore $\vec j$, che è la densità di corrente e sappiamo come è definito.
argh ho fatto confusione. Ho sbagliato a chiamarla densità superficiale di corrente. È una cosa che integrata su una sezione 1-dimensionale (non 2-d, scusa) ti da la corrente attraverso una lamina. Quando sopra caesar ha dato all'anello uno spessore h, ho immaginato intendesse renderlo una "striscia" o "lamina", a forma di corona o di cilindro (è uguale se h è molto piccolo), e quindi immagino la quantità rilevante in una situazione del genere sia la corrente per unità di sezione, cioè $\iota$.
Se invece con dare uno spessore si intendeva rendere l'anello tridimensionale, allora aveva senso dare una sezione $S$, anche questa piccola, e allora si usava $j$ e $\rho$.
Diciamo che lo schemino che avevo in mente è:
Se invece con dare uno spessore si intendeva rendere l'anello tridimensionale, allora aveva senso dare una sezione $S$, anche questa piccola, e allora si usava $j$ e $\rho$.
Diciamo che lo schemino che avevo in mente è:
[*:29x7zys8] $j = \rho * v$ il cui flusso attraverso una 2-varietà dà la corrente[/*:m:29x7zys8]
[*:29x7zys8] $\iota = \sigma * v$ il cui flusso attraverso una 1-sezione da la corrente[/*:m:29x7zys8]
[*:29x7zys8] $I = \lambda * v$ che è la corrente[/*:m:29x7zys8][/list:u:29x7zys8]
e si aveva, nei due casi: $\rho = \frac{\lambda}{S}$, $\sigma = \frac{\lambda}{h}$
"hamilton":
Quando sopra caesar ha dato all'anello uno spessore h, ho immaginato intendesse renderlo una "striscia" o "lamina", a forma di corona o di cilindro
...ora capisco. Io ho inteso l'anello nel senso di toro (quindi 3D) anche perché quando ho sentito parlare di densità di corrente ho pensato subito alla tridimensionalità. Sarebbe stato meglio allora chiamare $h$ "altezza" e non "spessore" (come del resto lasciava intendere il simbolo usato) poiché il termine "spessore" presuppone la tridimensionalità.
Comunque sia, chiarito l'equivoco, ora mi chiedo se ciò che tu (ma anche io a questo punto...) chiami "quella cosa che integrata su una sezione 1-dimensionale dà una corrente" abbia un nome più ortodosso, poiché non mi è mai capitato di considerare tale quantità se non nella sua versione 2-d che sarebbe la ben nota densità di corrente $\vec j$.
dubito che abbia un nome ufficiale, visto che non serve quasi a niente. Non so, potrebbe essere utile quando si parla di correnti in lamine sottili, come nell'effetto hall.
Io credo in retrospettiva che la risposta che la risposta che avrei dovuto dare sarebbe semplicemente:
"La quantità rilevante in questo contesto non è la densità di corrente, ma la corrente totale, perché la corrente scorre in un filo 1-dimensionale e non in un volume."
Io credo in retrospettiva che la risposta che la risposta che avrei dovuto dare sarebbe semplicemente:
"La quantità rilevante in questo contesto non è la densità di corrente, ma la corrente totale, perché la corrente scorre in un filo 1-dimensionale e non in un volume."
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