Densità di carica lineare/superficiale
Stavo guardando degli esercizi svolti e uno di questi era così:
"Una densità di carica lineare uniforme $\lambda$, nota, è distribuita su un filo rettilineo indefinito. Una distribuzione di carica superficiale uniforme $\sigma$, ignota, è distribuita su un cilindro cavo di raggio $R$ e avente l'asse coincidente con il filo rettilineo. Quanto vale σ affinché l'intensità del campo elettrico all’esterno del cilindro sia doppia rispetto a quella dovuta al solo filo?"
Poi l'esercizio inizia in questo modo:
Per il teorema di Gauss si ha per il solo filo:
$\int_{S} \vec E_(filo) * d\vec(S) = E_(filo) * 2 \pi r h = (\lambda h)/\epsilon_0 rArr E_(filo) (r) = \lambda/(2 \pi \epsilon_0 r) \hat r$
Per il cilindro cavo invece si ha:
$\int_{S} \vec E_(su) * d\vec(S) = E_(su) * 2 \pi r h = (\sigma 2 \pi R h)/\epsilon_0 rArr E_(su) (r) = (R \sigma)/(r \epsilon_0) \hat r$
Qualcuno può spiegarmi perché l'integrale di superficie per entrambi da $E * 2 \pi r h$? E perché dopo essi sono uguali a $(\lambda h)/\epsilon_0$ per la densità di carica lineare e $(\sigma 2 \pi R h)/\epsilon_0$ per la densità di carica superficiale? Il teorema di Gauss dice che il flusso del campo elettrostatico nel vuoto $\vec E_0$ attraverso una superficie chiusa qualunque $S$ è pari all'integrale delle cariche contenute all'interno di $S$ divisa per $\epsilon_0$, questo significa che $\lambda h = Q_(filo)$ e $\sigma 2 \pi R h = Q_(su)$, giusto? Ma come ci si arriva a questo?
"Una densità di carica lineare uniforme $\lambda$, nota, è distribuita su un filo rettilineo indefinito. Una distribuzione di carica superficiale uniforme $\sigma$, ignota, è distribuita su un cilindro cavo di raggio $R$ e avente l'asse coincidente con il filo rettilineo. Quanto vale σ affinché l'intensità del campo elettrico all’esterno del cilindro sia doppia rispetto a quella dovuta al solo filo?"
Poi l'esercizio inizia in questo modo:
Per il teorema di Gauss si ha per il solo filo:
$\int_{S} \vec E_(filo) * d\vec(S) = E_(filo) * 2 \pi r h = (\lambda h)/\epsilon_0 rArr E_(filo) (r) = \lambda/(2 \pi \epsilon_0 r) \hat r$
Per il cilindro cavo invece si ha:
$\int_{S} \vec E_(su) * d\vec(S) = E_(su) * 2 \pi r h = (\sigma 2 \pi R h)/\epsilon_0 rArr E_(su) (r) = (R \sigma)/(r \epsilon_0) \hat r$
Qualcuno può spiegarmi perché l'integrale di superficie per entrambi da $E * 2 \pi r h$? E perché dopo essi sono uguali a $(\lambda h)/\epsilon_0$ per la densità di carica lineare e $(\sigma 2 \pi R h)/\epsilon_0$ per la densità di carica superficiale? Il teorema di Gauss dice che il flusso del campo elettrostatico nel vuoto $\vec E_0$ attraverso una superficie chiusa qualunque $S$ è pari all'integrale delle cariche contenute all'interno di $S$ divisa per $\epsilon_0$, questo significa che $\lambda h = Q_(filo)$ e $\sigma 2 \pi R h = Q_(su)$, giusto? Ma come ci si arriva a questo?
Risposte
Quello che non dici, ma si capisce dal contesto, è che pure il cilindro di raggio R è indefinitamente lungo.
Se prendiamo un secondo cilindro ideale coassiale col filo e col primo cilindro, e avente raggio r>R e applichiamo il teorema di Gauss, è chiaro che il campo dipende da quanta carica è contenuta all'interno. Dunque se si vuole che il campo totale sia il doppio di quello prodotto dal solo filo, bisogna che la carica del cilindro di raggio R sia uguale a quella del filo di pari lunghezza.
Presa dunque una sezione di lunghezza h, pari all'altezza del cilindro di raggio R, del cilindro di raggio r e alla lunghezza del loro asse, ovvero alla lunghezza del filo, la carica del filo è $h\lambda$, la carica del cilindro di raggio R è pari alla sua superficie laterale per la densità superficiale, ovvero $h2\piR\sigma$. Queste due cariche devono essere uguali, dunque $\lambda=2\piR\sigma$.
Il flusso del campo è uguale alla superficie laterale del cilindro di raggio r e altezza h per il campo elettrico, cioè $h2\pirE$.
Se prendiamo un secondo cilindro ideale coassiale col filo e col primo cilindro, e avente raggio r>R e applichiamo il teorema di Gauss, è chiaro che il campo dipende da quanta carica è contenuta all'interno. Dunque se si vuole che il campo totale sia il doppio di quello prodotto dal solo filo, bisogna che la carica del cilindro di raggio R sia uguale a quella del filo di pari lunghezza.
Presa dunque una sezione di lunghezza h, pari all'altezza del cilindro di raggio R, del cilindro di raggio r e alla lunghezza del loro asse, ovvero alla lunghezza del filo, la carica del filo è $h\lambda$, la carica del cilindro di raggio R è pari alla sua superficie laterale per la densità superficiale, ovvero $h2\piR\sigma$. Queste due cariche devono essere uguali, dunque $\lambda=2\piR\sigma$.
Il flusso del campo è uguale alla superficie laterale del cilindro di raggio r e altezza h per il campo elettrico, cioè $h2\pirE$.
Adesso capisco! Grazie mille!
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