Densità di carica di un semiconduttore
Ciao a tutti, come si calcola la densità di carica di un semiconduttore n con un livello energetico donore al variare del band bending? Mi basta il procedimento, i calcoli li sviluppo io. Secondo me si dovrebbe moltiplicare la funzione di ionizzazione dei donori per la loro concentrazione per otterenere Nd+, cioè la concentrazione di donori ionizzati. Invece In un articolo trovo scritto che vale $|e|*Nd+ -|e|n$ Dove n credo sia la concentrazione di elettroni liberi, ma non capisco questa relazione. Potete chiarirmi le idee?
Risposte
Nessuno ha qualche indizio da darmi?
All'equilibrio termodinamico (no tensione applicata al semiconduttore) e facendo l'ipotesi di ionizzazione completa, la densità di carica si trova risolvendo
[tex]\left\{\begin{matrix}
n+N_A=p+N_D\\
pn=n_i^2
\end{matrix}\right.[/tex]
che porta a
[tex]n=\frac{1}{2}\left[(N_D-N_A)+\sqrt{(N_D-N_A)^2+4n_i^2}\right][/tex]
[tex]p=\frac{1}{2}\left[(N_A-N_D)+\sqrt{(N_A-N_D)^2+4n_i^2}\right][/tex]
Ovviamente, se [tex]N_D \gg N_A[/tex], [tex]n \simeq N_D[/tex] e viceversa. Con [tex]N_D, N_A[/tex] intengo la densità volumetrica di drogante, con [tex]n,p[/tex] la densità volumetrica di portatori liberi. Poi chiedi del band banding. A rigore, le concentrazioni andrebbero calcolate così:
[tex]$n=\int_{E_C}^\infty N(E)F(E)\text d E$[/tex]
[tex]$p=\int_{-\infty}^{E_V} N(E)F(E)\text d E$[/tex]
dove [tex]E_C, E_V[/tex] sono i bordi della banda di conduzione e di valenza, [tex]N(E)[/tex] è una funzione (la densità degli stati) che dipende dalla radice dell'energia, e
[tex]$F(E)=\frac{1}{1+e^{\frac{E-E_F}{kT}}}$[/tex]
è la celeberrima distribuzione di Fermi-Dirac, ed [tex]E_F[/tex] è il celeberrimo livello di Fermi. Approssimandola con una distribuzione di tipo Maxwell-Boltzmann, i.e.
[tex]$F(E)\simeq e^{-\frac{E-E_F}{kT}}$[/tex]
si possono svolgere gli integrali, per ottenere
[tex]$n=N_C e^{-\frac{E_C-E_F}{kT}}$[/tex]
[tex]$p=N_V e^{-\frac{E_F-E_V}{kT}}$[/tex]
dove [tex]N_C, N_V[/tex] sono costanti (a dire il vero, dipendono dalla temperatura). Moltiplicando tra loro le ultime due relazioni, si trova che
[tex]$pn=N_C N_V e^{-\frac{E_{g}}{kT}}=n_i^2$[/tex]
dove [tex]E_g[/tex] è l'energy gap del semiconduttore. Ovviamente, nelle equazioni precedenti, ti basta sapere [tex]E_C(x), E_V(x)[/tex], ovvero come vanno le bande nello spazio, per ottenere le densità di portatori [tex]n(x),p(x)[/tex].
Fuori equilibrio è tutto più complicato (non esiste più il livello di Fermi), ma per ora mi fermo qui.
[tex]\left\{\begin{matrix}
n+N_A=p+N_D\\
pn=n_i^2
\end{matrix}\right.[/tex]
che porta a
[tex]n=\frac{1}{2}\left[(N_D-N_A)+\sqrt{(N_D-N_A)^2+4n_i^2}\right][/tex]
[tex]p=\frac{1}{2}\left[(N_A-N_D)+\sqrt{(N_A-N_D)^2+4n_i^2}\right][/tex]
Ovviamente, se [tex]N_D \gg N_A[/tex], [tex]n \simeq N_D[/tex] e viceversa. Con [tex]N_D, N_A[/tex] intengo la densità volumetrica di drogante, con [tex]n,p[/tex] la densità volumetrica di portatori liberi. Poi chiedi del band banding. A rigore, le concentrazioni andrebbero calcolate così:
[tex]$n=\int_{E_C}^\infty N(E)F(E)\text d E$[/tex]
[tex]$p=\int_{-\infty}^{E_V} N(E)F(E)\text d E$[/tex]
dove [tex]E_C, E_V[/tex] sono i bordi della banda di conduzione e di valenza, [tex]N(E)[/tex] è una funzione (la densità degli stati) che dipende dalla radice dell'energia, e
[tex]$F(E)=\frac{1}{1+e^{\frac{E-E_F}{kT}}}$[/tex]
è la celeberrima distribuzione di Fermi-Dirac, ed [tex]E_F[/tex] è il celeberrimo livello di Fermi. Approssimandola con una distribuzione di tipo Maxwell-Boltzmann, i.e.
[tex]$F(E)\simeq e^{-\frac{E-E_F}{kT}}$[/tex]
si possono svolgere gli integrali, per ottenere
[tex]$n=N_C e^{-\frac{E_C-E_F}{kT}}$[/tex]
[tex]$p=N_V e^{-\frac{E_F-E_V}{kT}}$[/tex]
dove [tex]N_C, N_V[/tex] sono costanti (a dire il vero, dipendono dalla temperatura). Moltiplicando tra loro le ultime due relazioni, si trova che
[tex]$pn=N_C N_V e^{-\frac{E_{g}}{kT}}=n_i^2$[/tex]
dove [tex]E_g[/tex] è l'energy gap del semiconduttore. Ovviamente, nelle equazioni precedenti, ti basta sapere [tex]E_C(x), E_V(x)[/tex], ovvero come vanno le bande nello spazio, per ottenere le densità di portatori [tex]n(x),p(x)[/tex].
Fuori equilibrio è tutto più complicato (non esiste più il livello di Fermi), ma per ora mi fermo qui.
Ti ringrazio tanto per la risposta dato che hai scritto tantissimo. Sapevo giàquello che hai scritto, io non capisco bene le equazioni del caso più generale, quello in cui il livello donore non è superficiale e pertanto non è completamente ionizzato a temperatura ambiente. Per tale situazione vorrei capire come varia con la polarizzazione la densità di carica.
Mi sono accorto di non aver risposto in modo chiaro alla prima domanda. Effettivamente, non è detto che tutti i donori o gli accettori siano ionizzati. Vale che
[tex]$N_D^+=\frac{N_D}{1+g_D \exp\left(\frac{E_F-E_D}{kT}\right)}$[/tex]
[tex]$N_A^-=\frac{N_A}{1+g_A \exp\left(\frac{E_A-E_F}{kT}\right)}$[/tex]
dove [tex]E_D, E_F[/tex] sono i livelli energetici introdotti, all'interno del gap, dagli atomi di drogante, mentre [tex]g_D,g_A[/tex] (che di solito valgono 2 e 4) sono le degenerazioni del ground-state dei suddetti livelli. Nel post precedente, [tex]N_A, N_D[/tex] vanno intesi come [tex]N_A^-, N_D^+[/tex]. Comunque questo livello di raffinatezza non si usa mai nella fisica dei dispositivi a semiconduttore, almeno nei conti a mano. Brutalmente, si assume [tex]N_D=N_D^+[/tex], [tex]N_A=N_A^-[/tex]. Se si vuole essere molto precisi, si deve usare il computer. Che dispositivo hai in mente? Un diodo, un MOS?
[tex]$N_D^+=\frac{N_D}{1+g_D \exp\left(\frac{E_F-E_D}{kT}\right)}$[/tex]
[tex]$N_A^-=\frac{N_A}{1+g_A \exp\left(\frac{E_A-E_F}{kT}\right)}$[/tex]
dove [tex]E_D, E_F[/tex] sono i livelli energetici introdotti, all'interno del gap, dagli atomi di drogante, mentre [tex]g_D,g_A[/tex] (che di solito valgono 2 e 4) sono le degenerazioni del ground-state dei suddetti livelli. Nel post precedente, [tex]N_A, N_D[/tex] vanno intesi come [tex]N_A^-, N_D^+[/tex]. Comunque questo livello di raffinatezza non si usa mai nella fisica dei dispositivi a semiconduttore, almeno nei conti a mano. Brutalmente, si assume [tex]N_D=N_D^+[/tex], [tex]N_A=N_A^-[/tex]. Se si vuole essere molto precisi, si deve usare il computer. Che dispositivo hai in mente? Un diodo, un MOS?
Ho fatto questa domanda relativamente allo studio delle proprietà elettroniche della interfaccia semiconduttore / elettrolita nel caso di un semiconduttore cristallino con un livello donore profondo. In questo caso la equazione di Mott-Schotky non vale più dato che non riesce a interpretare i risultati sperimentali al variare della frequenza AC del segnale in alternata impartito per effettuare la misura.
La relazione che non capisco è:
$rho(psi)=|e|*[N_d^+(psi)-n(psi)]=|e|*[N_d*f(psi)-N_d*f(psi_f)*e^((-|e|*(psi-psi(f)))/(K_b*T))]$
dove $psi$ è il band bending
e $|e|*psi(f)=(Ec-Ef)$ nel bulk del semiconduttore
$f$ è la funzione di probabilità di ionizzazione dei donori che hai riportato tu sopra
La relazione che non capisco è:
$rho(psi)=|e|*[N_d^+(psi)-n(psi)]=|e|*[N_d*f(psi)-N_d*f(psi_f)*e^((-|e|*(psi-psi(f)))/(K_b*T))]$
dove $psi$ è il band bending
e $|e|*psi(f)=(Ec-Ef)$ nel bulk del semiconduttore
$f$ è la funzione di probabilità di ionizzazione dei donori che hai riportato tu sopra
Ok, credo di aver capito. Suppongo che al contatto semiconduttore - elettrolita si formi una regione svuotata, giusto? La densità di carica sarà [tex]N_D^+[/tex], ovvero la densità volumetrica degli atomi donori ionizzati, più la densità di carica dei portatori liberi, che però, essendo negativa, va moltiplicata per un segno meno. La tua [tex]f(\psi)[/tex], quindi, è la funzione di ionizzazione che ho scritto prima.
Esatto. Io non capisco la carica libera a cosa è dovuta. Se è dovuta ai donatori ionizzati non dovrebbe essere uguale e opposta a $N_D^+$ e dare una densità di carica netta nulla?
Se il semiconduttore è pesantemente drogato n effettivamente è così, ma solo nelle zone neutre. Nelle zone vicine al contatto, si formerà una regione svuotata dai portatori liberi, che vengono spazzati via dal campo elettrico, e che lasciano scoperti i donori ionizzati, quindi in quel caso [tex]\rho \neq 0[/tex]. Di solito si fa l'approssimazione brutale che in tutta la regione svuotata [tex]\rho = N_D^+[/tex], ma per essere più preciso devi sommare [tex]N_D^+[/tex] ai portatori [tex]n[/tex], che non avranno un andamento "a box" (per quanto quest'ipotesi semplifichi i conti) ma declineranno in funzione del potenziale.
Ti ringrazio tantissimo. Mi sei stato molto utile
Chiedo questa ultima cosa:
perchè n vale:
$n(psi)=|e|*N_d*f(psi_f)*e^((-|e|*(psi-psi(f)))/(K_b*T))$ ?
perchè n vale:
$n(psi)=|e|*N_d*f(psi_f)*e^((-|e|*(psi-psi(f)))/(K_b*T))$ ?
Per un semiconduttore n all'equilibrio, [tex]n_0 \simeq N_d^+[/tex], quindi per quanto detto prima dev'essere
[tex]$n_0=N_C \exp\left(-\frac{E_C-E_F}{kT}\right) = \frac{N_D}{1+g_D \displaystyle \exp\left(\frac{E_F-E_D}{kT}\right)}=N_D f(\psi_f)$[/tex]
da cui
[tex]$N_C=N_D f(\psi_f) \exp\left(\frac{E_C-E_F}{kT}\right)$[/tex]
Fuori equilibrio avrai
[tex]n = n_0 \exp \left(\displaystyle -\frac{|e|\psi}{kT}\right)[/tex]
quindi hai il risultato
[tex]n=N_D f(\psi_f) \exp\left(\displaystyle \frac{E_C-E_F}{kT}\right) \exp\left(-\displaystyle \frac{|e| \psi}{kT}\right)=N_D f(\psi_f)\exp\left(\displaystyle -\frac{|e|(\psi-\psi(f))}{kT}\right)[/tex].
[tex]$n_0=N_C \exp\left(-\frac{E_C-E_F}{kT}\right) = \frac{N_D}{1+g_D \displaystyle \exp\left(\frac{E_F-E_D}{kT}\right)}=N_D f(\psi_f)$[/tex]
da cui
[tex]$N_C=N_D f(\psi_f) \exp\left(\frac{E_C-E_F}{kT}\right)$[/tex]
Fuori equilibrio avrai
[tex]n = n_0 \exp \left(\displaystyle -\frac{|e|\psi}{kT}\right)[/tex]
quindi hai il risultato
[tex]n=N_D f(\psi_f) \exp\left(\displaystyle \frac{E_C-E_F}{kT}\right) \exp\left(-\displaystyle \frac{|e| \psi}{kT}\right)=N_D f(\psi_f)\exp\left(\displaystyle -\frac{|e|(\psi-\psi(f))}{kT}\right)[/tex].
Non capisco come hai fatto ad ottenere l'ultima equazione. Sostituendo la prima equazione nella penultima io ottengo un risultato diverso
Si scusa, hai ragione, è cannato. Però anche te sei poco chiaro: cos'è [tex]f(\psi_f)[/tex]?
hai ragione anche tu.. il problema è che l'ho presa da alcune dispenze poco chiare e non da un libro.
domani ricontrollo le formule. grazia di tutto intanto
domani ricontrollo le formule. grazia di tutto intanto
"matematicoestinto":
[size=150]dispenze[/size]
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