Delucidazioni sul lavoro svolto su un dipolo elettrico
Cercavo su internet chiarimenti riguardo all'energia potenziale associata ad un dipolo immerso in un campo elettrico uniforme, e mi sono imbattuto nel seguente articolo:
https://it.wikibooks.org/wiki/Fisica_cl ... _elettrico
dove in pratica c'è scritto che le due forze elettriche applicate alle estremità del dipolo danno origine a un momento torcente $\vec (\tau) = \vec (p) \times \vec (E)$. E fin qui ci siamo.
Ora, il lavoro che dev'essere compiuto per ruotare il dipolo da una posizione $\theta_0$ a $\theta$ rispetto al campo elettrico, è, sempre secondo l'articolo, $W = -\int_{\theta_0}^{\theta} \tau d\theta$, ed ecco, non riesco proprio a capire il significato di quel segno meno.
Sul mio libro c'è scritto che il lavoro infinitesimo associato alla rotazione del dipolo è $dW = \vec (\tau) * d\vec (\theta)$ (prodotto scalare), da cui io ho ricavato che il lavoro complessivo è:
$W = \int_{\theta_0}^{\theta} \vec (\tau) * d\vec (\theta) = \int_{\theta_0}^{\theta} (\vec (p) \times \vec (E))* d\vec (\theta) = \int_{\theta_0}^{\theta} pEsin\theta d\theta = pE [-cos\theta]_{\theta_0}^{\theta} = pE(cos\theta_0 - cos\theta).$
Ma questa dovrebbe essere la differenza di energia potenziale, non il lavoro. Quindi, possibile che il mio libro abbia torto? O forse sbaglio nello svolgere il prodotto scalare $\vec (\tau) * d\vec (\theta)$? L'ho infatti eseguito sotto l'assunto che i vettori $\vec (\tau)$ e $d\vec (\theta)$ abbiano uguale verso, dal momento che se il dipolo si sposta in senso antiorario, vuol dire che le linee di forza del campo elettrico sono dirette verso sinistra (rispetto al verso di $\vec p$), e quindi, per la regola della mano destra, abbiamo un momento torcente parallelo alla direzione positiva dell'asse di rotazione (con ragionamento analogo se il senso è orario).
Tuttavia non sono molto sicuro su quest'ultimo punto. Se il momento torcente e il vettore spostamento avessero versi opposti, filerebbe tutto (il prodotto scalare sarebbe negativo), ma non vedo come ciò possa essere.
Allora? Cosa c'è sotto?
https://it.wikibooks.org/wiki/Fisica_cl ... _elettrico
dove in pratica c'è scritto che le due forze elettriche applicate alle estremità del dipolo danno origine a un momento torcente $\vec (\tau) = \vec (p) \times \vec (E)$. E fin qui ci siamo.
Ora, il lavoro che dev'essere compiuto per ruotare il dipolo da una posizione $\theta_0$ a $\theta$ rispetto al campo elettrico, è, sempre secondo l'articolo, $W = -\int_{\theta_0}^{\theta} \tau d\theta$, ed ecco, non riesco proprio a capire il significato di quel segno meno.
Sul mio libro c'è scritto che il lavoro infinitesimo associato alla rotazione del dipolo è $dW = \vec (\tau) * d\vec (\theta)$ (prodotto scalare), da cui io ho ricavato che il lavoro complessivo è:
$W = \int_{\theta_0}^{\theta} \vec (\tau) * d\vec (\theta) = \int_{\theta_0}^{\theta} (\vec (p) \times \vec (E))* d\vec (\theta) = \int_{\theta_0}^{\theta} pEsin\theta d\theta = pE [-cos\theta]_{\theta_0}^{\theta} = pE(cos\theta_0 - cos\theta).$
Ma questa dovrebbe essere la differenza di energia potenziale, non il lavoro. Quindi, possibile che il mio libro abbia torto? O forse sbaglio nello svolgere il prodotto scalare $\vec (\tau) * d\vec (\theta)$? L'ho infatti eseguito sotto l'assunto che i vettori $\vec (\tau)$ e $d\vec (\theta)$ abbiano uguale verso, dal momento che se il dipolo si sposta in senso antiorario, vuol dire che le linee di forza del campo elettrico sono dirette verso sinistra (rispetto al verso di $\vec p$), e quindi, per la regola della mano destra, abbiamo un momento torcente parallelo alla direzione positiva dell'asse di rotazione (con ragionamento analogo se il senso è orario).
Tuttavia non sono molto sicuro su quest'ultimo punto. Se il momento torcente e il vettore spostamento avessero versi opposti, filerebbe tutto (il prodotto scalare sarebbe negativo), ma non vedo come ciò possa essere.
Allora? Cosa c'è sotto?
Risposte
Buonasera Zultacchie,
innanzi tutto non ha senso la frase che hai scritto:
Il campo elettrico è un campo conservativo, quindi vale il teorema delle forze morte che asserisce che la differenza di energia potenziale fra il punto iniziale e quello finale ( e non il viceversa come è solito fare per le differenze) è pari al lavoro svolto dal campo; ovvero
$$
\Delta U=-L
$$
dove $\Delta U=U_f-U_i$
Chiarito questo punto cruciale, quel meno è dovuto appunto al fatto che nell'articola da te citato vogliono calcolare la differenza di energia potenziale e quindi mettono il meno di fronte all'espressione del lavoro; potevano anche non metterlo li e metterlo davanti al $\Delta U$ ; in ogni caso dimenticati di Wikipedia salvo tu non debba aiutare il tuo fratellino di terza media con la sua ricerca per la tesina
(sempre che si faccia ancora la tesina in terza media 
)
innanzi tutto non ha senso la frase che hai scritto:
"Zultacchie":
Ma questa dovrebbe essere la differenza di energia potenziale, non il lavoro.
Il campo elettrico è un campo conservativo, quindi vale il teorema delle forze morte che asserisce che la differenza di energia potenziale fra il punto iniziale e quello finale ( e non il viceversa come è solito fare per le differenze) è pari al lavoro svolto dal campo; ovvero
$$
\Delta U=-L
$$
dove $\Delta U=U_f-U_i$
Chiarito questo punto cruciale, quel meno è dovuto appunto al fatto che nell'articola da te citato vogliono calcolare la differenza di energia potenziale e quindi mettono il meno di fronte all'espressione del lavoro; potevano anche non metterlo li e metterlo davanti al $\Delta U$ ; in ogni caso dimenticati di Wikipedia salvo tu non debba aiutare il tuo fratellino di terza media con la sua ricerca per la tesina
(sempre che si faccia ancora la tesina in terza media )
"Bossmer":
Buonasera Zultacchie,
innanzi tutto non ha senso la frase che hai scritto:
[quote="Zultacchie"]
Ma questa dovrebbe essere la differenza di energia potenziale, non il lavoro.
Il campo elettrico è un campo conservativo, quindi vale il teorema delle forze morte che asserisce che la differenza di energia potenziale fra il punto iniziale e quello finale ( e non il viceversa come è solito fare per le differenze) è pari al lavoro svolto dal campo; ovvero
$$
\Delta U=-L
$$
dove $\Delta U=U_f-U_i$
Chiarito questo punto cruciale, quel meno è dovuto appunto al fatto che nell'articola da te citato vogliono calcolare la differenza di energia potenziale e quindi mettono il meno di fronte all'espressione del lavoro; potevano anche non metterlo li e metterlo davanti al $\Delta U$ ; in ogni caso dimenticati di Wikipedia salvo tu non debba aiutare il tuo fratellino di terza media con la sua ricerca per la tesina
(sempre che si faccia ancora la tesina in terza media )[/quote]Ciao Bossmer. Innanzitutto ti ringrazio della risposta, ma ahimé, i miei dubbi non sono stati chiariti.
Sul mio libro viene calcolato, utilizzando un metodo analitico diverso (che il mio professore non ci ha mostrato) che l'energia potenziale del dipolo posto a un angolo $\theta$ dal campo elettrico è pari a $- \vec (p) * \vec (E)$.
Da quel che ho capito, ciò è in ogni caso frutto di una mera convenzione, in quanto si sceglie l'angolo retto come punto di riferimento in cui il dipolo ha energia potenziale nulla. Dunque l'unica cosa che ci interessa è la differenza di potenziale che si viene a creare spostando il dipolo da un certo angolo a un altro:
$\Delta U = U_f-U_i = -pEcos\theta_f + pEcos\theta_i$.
Il problema è proprio il teorema delle forze morte che hai citato tu, che asserisce che $L = -\Delta U$; infatti, come ho mostrato nel mio post iniziale, è possibile sfruttare la definizione di lavoro rotazionale come prodotto scalare tra il momento torcente e lo spostamento angolare per giungere a un'espressione analitica del lavoro apparentemente identica a quella succitata della differenza di energia potenziale: contraddicendo il teorema delle forze morte. Perciò sembra che il meno che inseriscono nell'articolo serva proprio a calcolare il lavoro, anche se non si capisce da dove salti fuori - sembra una specie di ragionamento circolare per far comparire il risultato giusto alla fine, non so se mi spiego.
Infatti, la cosa divertente è che mettono addirittura due meno! Prima (apparentemente) per calcolare il lavoro, poi di nuovo davanti al lavoro per calcolare la differenza di energia potenziale. Che confusione!
Mah, forse è colpa mia che non ho le idee molto chiare.
Al solito, per la ennesima volta, ripeto che il sistema di riferimento e' fondamentale (mi pare di essere Catone con Cartagine), per evitare di incartarsi in questi errori.
Se guardi la figura nel sito postato da te, assunto il sistema di riferimento arbitrario in cui le $theta$ sono crescenti quando antiorarie e l' asse z sia positivo quando uscente dal foglio. In questo sistema del tutto arbitrario, secondo la regola della mano dx:
$vec(theta)=thetavec(k)$,
avendo indicato con $veck$ il versore associato a z.
Il momento $tau$, invece, sempre per la regola della mano dx, essendo il vettoriale di $vecp$ e $vecE$, risulta entrante nel foglio. Cioe,
$vectau=-tauveck$
Ne consegue che il lavoro, in notazione estesa e':
$ int_(theta_0)^(theta_1) vectauvectheta d theta =int_(theta_0)^(theta_1) -tauveckthetaveckd theta=-int_(theta_0)^(theta_1)2Fasintheta=2Facos(theta_1-theta_0) $
Una rotazione positiva, cioe' in senso antiorario ($theta_1>theta_0)$, richiede un lavoro negativo (vai "contro" la coppia di dipolo), in virtu del fatto che il coseno e' decrescente nel primo quadrante.
Quello che mi sembra che non ti sia chiaro e' che il campo e' assegnato (da sx verso dx nella figura da te indicata), e che il segno meno viene fuori dal fatto che il vettore $vecp$ e' diretto dalla q negativa alla q positiva.
Quel dipolo tende a ruotare "naturalmente" dunque in senso orario. Al contrario, un dipolo con le carica invertite immerso nello stesso campo avrebbe un momento positivo (perche' questo sarebbe orientato, secondo la regola della mano destra, uscente dal foglio, e cioe' concorde con $veck$).
La variazione di energia potenziale $DeltaU$ essendo l'opposto del lavoro W, sara' una funzione crescente, e l'imposizione della costante arbitraria tale per cui $U=0$ per $theta=90$, ti fornisce l'andamento: $U=-pEcostheta=-vecp*vecE$.
I sistemi di riferimento sono la prima cosa da mettere. Direzioni degli assi, versi crescenti degli angoli. E poi si va tranquilli
Se guardi la figura nel sito postato da te, assunto il sistema di riferimento arbitrario in cui le $theta$ sono crescenti quando antiorarie e l' asse z sia positivo quando uscente dal foglio. In questo sistema del tutto arbitrario, secondo la regola della mano dx:
$vec(theta)=thetavec(k)$,
avendo indicato con $veck$ il versore associato a z.
Il momento $tau$, invece, sempre per la regola della mano dx, essendo il vettoriale di $vecp$ e $vecE$, risulta entrante nel foglio. Cioe,
$vectau=-tauveck$
Ne consegue che il lavoro, in notazione estesa e':
$ int_(theta_0)^(theta_1) vectauvectheta d theta =int_(theta_0)^(theta_1) -tauveckthetaveckd theta=-int_(theta_0)^(theta_1)2Fasintheta=2Facos(theta_1-theta_0) $
Una rotazione positiva, cioe' in senso antiorario ($theta_1>theta_0)$, richiede un lavoro negativo (vai "contro" la coppia di dipolo), in virtu del fatto che il coseno e' decrescente nel primo quadrante.
Quello che mi sembra che non ti sia chiaro e' che il campo e' assegnato (da sx verso dx nella figura da te indicata), e che il segno meno viene fuori dal fatto che il vettore $vecp$ e' diretto dalla q negativa alla q positiva.
Quel dipolo tende a ruotare "naturalmente" dunque in senso orario. Al contrario, un dipolo con le carica invertite immerso nello stesso campo avrebbe un momento positivo (perche' questo sarebbe orientato, secondo la regola della mano destra, uscente dal foglio, e cioe' concorde con $veck$).
La variazione di energia potenziale $DeltaU$ essendo l'opposto del lavoro W, sara' una funzione crescente, e l'imposizione della costante arbitraria tale per cui $U=0$ per $theta=90$, ti fornisce l'andamento: $U=-pEcostheta=-vecp*vecE$.
I sistemi di riferimento sono la prima cosa da mettere. Direzioni degli assi, versi crescenti degli angoli. E poi si va tranquilli
Grazie per la risposta, professorkappa.
Credo di aver capito dove sta il problema. Io avevo frainteso pensando che si stesse calcolando il lavoro compiuto dal campo elettrico quando il dipolo è GIÀ in spostamento orario per effetto del campo elettrico stesso - è logico che questo lavoro sia sempre positivo, dal momento che il dipolo tende naturalmente alla posizione di potenziale minimo. Nello specifico, il momento è negativo, lo spostamento orario (e quindi, per il sistema di riferimento scelto, negativo) - il loro prodotto scalare sarà positivo.
Invece, consideriamo il lavoro svolto nel mentre il dipolo si stia spostando, per qualche ragione, in senso antiorario: in questo caso il campo elettrico cerca di "richiamare" il dipolo a ruotare nel verso opposto, compiendo lavoro negativo.
Ed è per questo che, quando consideriamo il dipolo fermo in una posizione generica diversa da quella di equilibrio stabile, consideriamo l'energia potenziale come il lavoro, positivo, che AVRÀ COMPIUTO per effetto del campo elettrico una volta che l'avrà raggiunta.
È giusto così?
Credo di aver capito dove sta il problema. Io avevo frainteso pensando che si stesse calcolando il lavoro compiuto dal campo elettrico quando il dipolo è GIÀ in spostamento orario per effetto del campo elettrico stesso - è logico che questo lavoro sia sempre positivo, dal momento che il dipolo tende naturalmente alla posizione di potenziale minimo. Nello specifico, il momento è negativo, lo spostamento orario (e quindi, per il sistema di riferimento scelto, negativo) - il loro prodotto scalare sarà positivo.
Invece, consideriamo il lavoro svolto nel mentre il dipolo si stia spostando, per qualche ragione, in senso antiorario: in questo caso il campo elettrico cerca di "richiamare" il dipolo a ruotare nel verso opposto, compiendo lavoro negativo.
Ed è per questo che, quando consideriamo il dipolo fermo in una posizione generica diversa da quella di equilibrio stabile, consideriamo l'energia potenziale come il lavoro, positivo, che AVRÀ COMPIUTO per effetto del campo elettrico una volta che l'avrà raggiunta.
È giusto così?
Un po contorta, ma e' sempre una questione di riferimenti.
Il lavoro si calcola per uno spostamento virtuale, non occorre che il dipolo ruoti fisicamente.
Se prendi come positivi i versi orari, allora il SDR piu "naturale" per contare gli angoli non e' piu' l'angolo con l'asse orizzontale, ma l'angolo con l'asse verticale (0 sull'asse e 90 quando il dipolo e' orizzontale).
Assegnata questa rotazione, l'asse z e' entrante nel foglio.
Il momento entra anche esso nel folgio (prodotto vettoriale con la mano dx) ed e' dunque positivo, $vectau=2Facosthetaveck$. La rotazione risulta $vectheta=thetaveck $
Il lavoro e': $ int2Facosthetaveck*thetaveck=2Fasintheta $.
Funzione crescente: se $theta$ aumenta (angoli crescenti in senso orario), il lavoro e' positivo, come viene a te.
E' sempre e solo una questione di sistemi di riferimento.
Il lavoro si calcola per uno spostamento virtuale, non occorre che il dipolo ruoti fisicamente.
Se prendi come positivi i versi orari, allora il SDR piu "naturale" per contare gli angoli non e' piu' l'angolo con l'asse orizzontale, ma l'angolo con l'asse verticale (0 sull'asse e 90 quando il dipolo e' orizzontale).
Assegnata questa rotazione, l'asse z e' entrante nel foglio.
Il momento entra anche esso nel folgio (prodotto vettoriale con la mano dx) ed e' dunque positivo, $vectau=2Facosthetaveck$. La rotazione risulta $vectheta=thetaveck $
Il lavoro e': $ int2Facosthetaveck*thetaveck=2Fasintheta $.
Funzione crescente: se $theta$ aumenta (angoli crescenti in senso orario), il lavoro e' positivo, come viene a te.
E' sempre e solo una questione di sistemi di riferimento.
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