Delta di Dirac e funzione gradino
Salve,
studiando i segnali e i sistemi, mi sono imbattuto nel delta di Dirac $delta$.
Ho trovato scritto che esso è esprimibile come la derivata rispetto al tempo della funzione gradino.
$u(t) = { ( 1 , t>=0 ),( 0, t<0 ):} $.
Ora mi (e vi) chiedo come ciò sia possibile: la derivata della funzione gradino nel punto $0$ NON esiste, mentre nel delta di Dirac l'origine assume valore $+oo$.
Quindi come è possibile asserire che il delta di Dirac sia uguale alla derivata della funzione gradino nel tempo?
studiando i segnali e i sistemi, mi sono imbattuto nel delta di Dirac $delta$.
Ho trovato scritto che esso è esprimibile come la derivata rispetto al tempo della funzione gradino.
$u(t) = { ( 1 , t>=0 ),( 0, t<0 ):} $.
Ora mi (e vi) chiedo come ciò sia possibile: la derivata della funzione gradino nel punto $0$ NON esiste, mentre nel delta di Dirac l'origine assume valore $+oo$.
Quindi come è possibile asserire che il delta di Dirac sia uguale alla derivata della funzione gradino nel tempo?
Risposte
La derivata sinistra è infinita, la destra è nulla. Se modifichi la funzione in modo che, per esempio, $f(0)=1/2$, allora la derivata in 0 è infinita.
Grazie per la risposta.. Tuttavia continuo a non comprendere: condizione necessaria perche una funzione sia derivabile in un punto è che sia continua in tale punto. Il nostro gradino invece non presenta continuità nello 0, dunque non dovrebbe essere derivabile.. A parte ciò, la derivata a destra non dovrebbe essere nulla perche la funzione è costante? E così per la parte a sinistra dello zero?
Ad ogni modo, grazie per l'aiuto
Ad ogni modo, grazie per l'aiuto
Quel teorema vale solo se la derivata è un numero. La derivata, però, può anche essere infinita! In quel caso, la funzione può non essere continua... Ripassati bene la definizione di derivata... 
Faccio piena professione di umiltà e chiedo se può essere un po' più esplicito nel giustificarmi perché la derivata assume valore infinito positivo in corrispondenza dello zero nella funzione gradino. Metta in conto che io sia un ignorante.
Ciò che ho sempre ritenuto di sapere è che:
1. le derivata in un punto esiste solo se la funzione da derivare è continua in quel punto. Quest'ultima è una condizione necessaria ma non sufficiente per la derivabilità; ovvero: se la funzione da derivare è continua, allora la derivata potrebbe esistere; se non è continua, allora non esiste.
2. La derivata di una funzione costante è nulla.
Ora nel nostro caso, non vedo come la funzione gradino su definita, discontinua nello zero, possa ammettere operazioni di derivazione in tal punto.
Inoltre, ammettendo comunque che sia derivabile, non capisco come faccia ad assumere valore infinito, essendo la funzione costante sia a sinistra che a destra dello zero.
Questo è ciò che non capisco. Probabilmente qualcosa mi sfugge, visto che dovunque è riportato che la derivata della funzione gradino è il delta di dirac: vorrei capire cosa.
La ringrazio nuovamente
Ciò che ho sempre ritenuto di sapere è che:
1. le derivata in un punto esiste solo se la funzione da derivare è continua in quel punto. Quest'ultima è una condizione necessaria ma non sufficiente per la derivabilità; ovvero: se la funzione da derivare è continua, allora la derivata potrebbe esistere; se non è continua, allora non esiste.
2. La derivata di una funzione costante è nulla.
Ora nel nostro caso, non vedo come la funzione gradino su definita, discontinua nello zero, possa ammettere operazioni di derivazione in tal punto.
Inoltre, ammettendo comunque che sia derivabile, non capisco come faccia ad assumere valore infinito, essendo la funzione costante sia a sinistra che a destra dello zero.
Questo è ciò che non capisco. Probabilmente qualcosa mi sfugge, visto che dovunque è riportato che la derivata della funzione gradino è il delta di dirac: vorrei capire cosa.
La ringrazio nuovamente
Diamoci del tu... La derivata di una funzione numerica reale, se esiste, o è un numero o è infinita!!! L'infinito, per la derivata, è un valore ammesso.
Se la derivata in un punto è un numero (finito), allora la funzione è ivi continua. D'accordo.
Se la derivata in un punto è infinita, allora la funzione in quel punto o è continua o non lo è.
Es.La radice cubica di x è continua in 0 ed ivi ha derivata infinita. Il gradino, invece, in 0 ha derivata infinita ma non è ivi continua.
Chiaro? Se non ci credi, applica la definiione di derivata (limite del rapporto incrementale)
Se la derivata in un punto è un numero (finito), allora la funzione è ivi continua. D'accordo.
Se la derivata in un punto è infinita, allora la funzione in quel punto o è continua o non lo è.
Es.La radice cubica di x è continua in 0 ed ivi ha derivata infinita. Il gradino, invece, in 0 ha derivata infinita ma non è ivi continua.
Chiaro? Se non ci credi, applica la definiione di derivata (limite del rapporto incrementale)
"Dino 92":
Quindi come è possibile asserire che il delta di Dirac sia uguale alla derivata della funzione gradino nel tempo?
Questa è un'affermazione fuorviante, per non dire che è un fatto falso (non si tratta della derivazione di una funzione, ma di una derivazione nel senso delle distribuzioni), ma è una cosa che i fisici adorano dire. La delta di Dirac NON è una funzione, ma una funzione generalizzata, ergo per trattarla propriamente bisogna studiare le basi della teoria delle distribuzioni. Se non si ha voglia di farlo la si può sempre trattare empiricamente facendo finta che la definizione che riporti abbia senso e che le operazioni che ci effettui sopra siano ben definite, il che comporta la rinuncia a darle un qualsivoglia senso propriamente matematico.
[ot]
"anonymous_af8479":
La derivata sinistra è infinita, la destra è nulla.
Se derivata destra e sinistra non coincidono la funzione è per definizione non derivabile. Ad ogni modo:
"anonymous_af8479":
L'infinito, per la derivata, è un valore ammesso.
Direi proprio di no. Si potrebbero ammettere valori infiniti per la derivata lavorando ad esempio sulla retta reale ampliata (ma allora è un problema quando la derivata da un lato è infinita e positiva mentre dall'altro è infinita e negativa) o sulla sua compattificazione di Alexandroff (ma allora il teorema della permanenza del segno va a farsi benedire), ma non è conveniente farlo e infatti solitamente non lo si fa. Per definizione, se la funzione derivata tende ad un valore infinito al tendere ad un punto, allora la funzione non è derivabile in quel punto.[/ot]
D'accordissimo, io mi sono limitato alla questione della derivata del gradino, questione matematicamente ben posta e risolta.
Ho editato la risposta precedente.
Aggiungo che:
tutto quello che c'è scritto in questo messaggio è corretto.
Aggiungo che:
"Dino 92":
Ciò che ho sempre ritenuto di sapere è che: (...)
tutto quello che c'è scritto in questo messaggio è corretto.
Ho letto il testo nascosto. Le mie fonti ammettono valori della derivata in $ \bar{R}$. Evidentemente non c'è accordo in letteratura.
Mi rendo conto che, con la nozione in mio possesso di derivata e qui riportata, nozione non maggioritaria, ho sicuramente prodotto un danno a Dino e ad altri lettori. Me ne scuso. Tutte le mie affermazioni in questo topic sono da ritenersi fuorviati.
Non appena uno si trova a dover derivare una funzione a gradino, bisogna immediatamente passare al formalismo delle distribuzioni.
Indipendentemente dalla definizione generalizzata di derivata che si può dare, se con essa non vale il teorema fondamentale del calcolo, per la fisica non serve a niente.
La delta di dirac non è una funzione. E' definita dalla sua azione sulle funzioni di test:
$ \int \delta(x) \phi(x) dx = \phi(0)$
la funzione a gradino è una funzione (sufficientemente regolare per il contesto), ed anche una distribuzione, ovviamente. La sua azione come distribuzione è:
$ \int \theta(x) \phi(x) dx = \int_0^\infty \phi(x)$
Studiamo l'azione della $\theta'(x)$:
$ \int \theta'(x) \phi(x) dx$
usiamo l'integrazione per parti, il termine al contorno è nullo perché $\phi(x)$ è di test:
$ = - \int \theta(x) \phi(x) dx = - \int_0^\infty \phi'(x) dx = \phi(0)$
Dunque $\theta'$ ha la stessa azione di $\delta$ e quindi sono la stessa distribuzione.
Indipendentemente dalla definizione generalizzata di derivata che si può dare, se con essa non vale il teorema fondamentale del calcolo, per la fisica non serve a niente.
La delta di dirac non è una funzione. E' definita dalla sua azione sulle funzioni di test:
$ \int \delta(x) \phi(x) dx = \phi(0)$
la funzione a gradino è una funzione (sufficientemente regolare per il contesto), ed anche una distribuzione, ovviamente. La sua azione come distribuzione è:
$ \int \theta(x) \phi(x) dx = \int_0^\infty \phi(x)$
Studiamo l'azione della $\theta'(x)$:
$ \int \theta'(x) \phi(x) dx$
usiamo l'integrazione per parti, il termine al contorno è nullo perché $\phi(x)$ è di test:
$ = - \int \theta(x) \phi(x) dx = - \int_0^\infty \phi'(x) dx = \phi(0)$
Dunque $\theta'$ ha la stessa azione di $\delta$ e quindi sono la stessa distribuzione.
Ringrazio tutti quanti per l'aiuto. Tuttavia secondo voi converrebbe che mi mettessi a studiare le distribuzioni oppure do per assunto quanto invece vi chiedevo?
Non è nel mio spirito dare per assunto, ma se lo studio delle distribuzione dovesse occupare più tempo dello studio dell'esame stesso, non varrebbe certo la pena..
Non è nel mio spirito dare per assunto, ma se lo studio delle distribuzione dovesse occupare più tempo dello studio dell'esame stesso, non varrebbe certo la pena..
non ti serve un corso intero, basta anche una trattazione informale sulle distribuzioni; è una roba molto tranquilla. Cerca del materiale introduttivo e dacci un'occhiata, rende molte cose molto più facili.
Però a me è rimasta sullo stomaco la questione della derivata (e non vado fuori tema, perchè il quesito di Dino riguardava proprio la derivata).
Secondo voi, quanto vale in 0 la derivata prima della funzione $ y=x^{1/3}$ (definita su tutto R)?
Cosa posso dire sulla continuità in 0?
Cosa posso dire sulla crescenza in 0?
Grazie a chi vorrà rispondere.
Secondo voi, quanto vale in 0 la derivata prima della funzione $ y=x^{1/3}$ (definita su tutto R)?
Cosa posso dire sulla continuità in 0?
Cosa posso dire sulla crescenza in 0?
Grazie a chi vorrà rispondere.
Ciao Arrigo. Anch'io, sull'argomento della discussione, non mi trovo d'accordo con te: la definizione di derivata che mi risulta più accreditata prevede che corrisponda al limite del rapporto incrementale se tale limite esiste ed è finito, il che esclude di poter definire in modo formale una derivata infinita. Che poi si dia ugualmente un senso a punti in cui la derivata lo sia è altra cosa, ma da un punto di vista - ripeto - formale ammettere la non finitezza è un abuso.
Dell'esempio che riporti, $x^(1/3)$, io direi che è una funzione continua in tutto $RR$, crescente in tutto $RR$, derivabile ovunque tranne che in $x=0$ (l'origine è sede di un flesso a tangente verticale, che è un tipico punto di non derivabilità)
Dell'esempio che riporti, $x^(1/3)$, io direi che è una funzione continua in tutto $RR$, crescente in tutto $RR$, derivabile ovunque tranne che in $x=0$ (l'origine è sede di un flesso a tangente verticale, che è un tipico punto di non derivabilità)
Grazie Palliit, ma rimango della mia idea (del mio professore di Analisi Bruno Pini, compianto grande analista, discepolo di Cimmino
[url]
http://ricerca.repubblica.it/repubblica ... sione.html
[/url] ).
Essendo la derivata il limite del rapporto incrementale, ed ammettendo i limiti l'infinito, anche la derivata ammette l'infinito.
In 0 la suddetta funzione ha derivata +infinito e per questo è crescente. Circa la continuità, se la derivata non è finita, non possiamo dire nulla, la verifichiamo per altra via.
La funzione di Heaviside (con valore metà del massimo in 0) ha derivata +infinito in zero. A causa di questo, non possiamo affermare nulla circa la sua continuità in zero, che va decisa in altro modo.
Per quanto riguarda il teorema fondamentale, la sua formulazione va precisata così:
se una funzione ha derivata FINITA in un punto allora in quel punto è continua.
Ora, per comodità e per le estensioni al concetto di $C^k$ nonchè per le funzioni olomorfe ecc., conviene escludere l'infinito alla derivata e parlare di DERIVBILITÀ, indendendo implicitamente che la derivata sia finita.
Per concludere, secondo me, se lo precisa oer bene, chi aderisce alle concezioni del Pini non commette alcun abuso nè errore
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http://ricerca.repubblica.it/repubblica ... sione.html
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Essendo la derivata il limite del rapporto incrementale, ed ammettendo i limiti l'infinito, anche la derivata ammette l'infinito.
In 0 la suddetta funzione ha derivata +infinito e per questo è crescente. Circa la continuità, se la derivata non è finita, non possiamo dire nulla, la verifichiamo per altra via.
La funzione di Heaviside (con valore metà del massimo in 0) ha derivata +infinito in zero. A causa di questo, non possiamo affermare nulla circa la sua continuità in zero, che va decisa in altro modo.
Per quanto riguarda il teorema fondamentale, la sua formulazione va precisata così:
se una funzione ha derivata FINITA in un punto allora in quel punto è continua.
Ora, per comodità e per le estensioni al concetto di $C^k$ nonchè per le funzioni olomorfe ecc., conviene escludere l'infinito alla derivata e parlare di DERIVBILITÀ, indendendo implicitamente che la derivata sia finita.
Per concludere, secondo me, se lo precisa oer bene, chi aderisce alle concezioni del Pini non commette alcun abuso nè errore
a mio parere, va fatta una distinzione tra derivata in un punto e derivabilità in un punto.
La derivata in un punto, come dice arrigo, è il valore del limite del rapporto incrementale, qualunque esso sia.
D'altra parte, pensandola in maniera empirica, non mi sembra strano pensare che in presenza di un salto si "cresca a velocità infinita".
Diremo invece che la funzione è derivabile se la funzione derivata in quel punto, ammette soluzione reale, quindi, in soldoni, se è possibile calcolare la pendenza della funzione in quel punto.
In ogni caso, questo è un argomento spinoso e nel mondo della matematica ci sono varie posizioni a riguardo.
La derivata in un punto, come dice arrigo, è il valore del limite del rapporto incrementale, qualunque esso sia.
D'altra parte, pensandola in maniera empirica, non mi sembra strano pensare che in presenza di un salto si "cresca a velocità infinita".
Diremo invece che la funzione è derivabile se la funzione derivata in quel punto, ammette soluzione reale, quindi, in soldoni, se è possibile calcolare la pendenza della funzione in quel punto.
In ogni caso, questo è un argomento spinoso e nel mondo della matematica ci sono varie posizioni a riguardo.
Allora arrigo io ti faccio la seguente domanda: Quanto vale la derivata in 0 di $ f(x)=|x^(1/3)| $ ?
In 0 la derivata prima non c'è. La derivata destra in 0 è più infinito, la derivata sinistra in zero è meno infinito. Il rapporto incrementale non è un'opinione!
Mi pare sia vero il contrario ... 
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