Delta di Dirac come estensione al continuo della delta di Kronecker
Ciao!
Oggi, durante la lezione di fisica quantistica, il professore ha dato un'interpretazione della delta di Dirac a cui non avevo mai pensato. Come da titolo lui l'ha definita come "la controparte continua della delta di Kronecker", cosa che mi ha incuriosito molto.
Il discorso era più o meno il seguente.
Indicato con $|e_i>$ un autostato generico di un certo operatore associato ad un'osservabile in un caso finito dimensionale lo abbiamo scritto nella base degli $|e_i>$ stessi, dunque \(=(0,0,...,1,0,...,0)=\delta_{ij}\)
Invece in un caso continuo, considerati due autostati di un operatore hermitiano $|x>$ e $|y>$ abbiamo che\(=\delta(x-y)\).
E da qui è saltato fuori il discorso che, come la delta di Kronecker, anche la delta di Dirac è nulla in tutti gli (infiniti in questo caso) autostati dell'operatore tranne che in $|x>$ dove, invece che valere $1$ , spara a $\infty$.
Se qualcuno ne sa di più su questo parallelismo potrebbe dirmi se quanto detto non è completamente da buttare? Nel caso potreste spiegarmi se la cosa ha radici più profonde?
Mi dispiace chiedere cose così vaghe ma non so bene neanch'io cosa chiedere esattamente... Sono semplicemente curioso e ne vorrei sapere un po' di più! Ringrazio per la pazienza
P.S. È la prima volta che posto qualcosa e (mea culpa) non mi sono interessato troppo a come scrivere in maniera decente la matrice eheh
Oggi, durante la lezione di fisica quantistica, il professore ha dato un'interpretazione della delta di Dirac a cui non avevo mai pensato. Come da titolo lui l'ha definita come "la controparte continua della delta di Kronecker", cosa che mi ha incuriosito molto.
Il discorso era più o meno il seguente.
Indicato con $|e_i>$ un autostato generico di un certo operatore associato ad un'osservabile in un caso finito dimensionale lo abbiamo scritto nella base degli $|e_i>$ stessi, dunque \(
Invece in un caso continuo, considerati due autostati di un operatore hermitiano $|x>$ e $|y>$ abbiamo che\(
E da qui è saltato fuori il discorso che, come la delta di Kronecker, anche la delta di Dirac è nulla in tutti gli (infiniti in questo caso) autostati dell'operatore tranne che in $|x>$ dove, invece che valere $1$ , spara a $\infty$.
Se qualcuno ne sa di più su questo parallelismo potrebbe dirmi se quanto detto non è completamente da buttare? Nel caso potreste spiegarmi se la cosa ha radici più profonde?
Mi dispiace chiedere cose così vaghe ma non so bene neanch'io cosa chiedere esattamente... Sono semplicemente curioso e ne vorrei sapere un po' di più! Ringrazio per la pazienza
P.S. È la prima volta che posto qualcosa e (mea culpa) non mi sono interessato troppo a come scrivere in maniera decente la matrice eheh
Risposte
Non penso ci siano radici profonde.
Ad esempio ti faccio notare che così come
$\int dx f(x)\delta(x-x_0)=f(x_0)$ pure $sum_k a_k \delta_{ik}=a_i$.
Ad esempio ti faccio notare che così come
$\int dx f(x)\delta(x-x_0)=f(x_0)$ pure $sum_k a_k \delta_{ik}=a_i$.
E da qui è saltato fuori il discorso che, come la delta di Kronecker, anche la delta di Dirac è nulla in tutti gli (infiniti in questo caso) autostati dell'operatore tranne che in ∣x> dove, invece che valere 1 , spara a ∞.
Se qualcuno ne sa di più su questo parallelismo potrebbe dirmi se quanto detto non è completamente da buttare? Nel caso potreste spiegarmi se la cosa ha radici più profonde?
A livello intuitivo è corretto quanto scrivi, ed è sufficiente per le applicazioni in QM.
Valgono sempre i soliti caveat in quanto l'interpretazione naive della delta di dirac $\delta(x)$ come funzione nulla ovunque tranne che in zero, dove vale $+\infty$ non è rigorosamente corretta (l'integrale secondo Lebesgue $\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x) dx $ sarebbe nullo).
La delta di Dirac è più propriamente un funzionale lineare continuo che agisce su delle "funzioni test" appartenenti ad uno spazio opportuno sufficientemente lisce (tipicamente infinitamente differenziabili), a decrescenza rapida (spazio di Schwartz) o a supporto compatto (indicato con D, onestamente non ricordo il nome).
Grazie mille ad entrambi!
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