Degenerazione autovalori

[Silente]

Salve a tutti,
il dubbio che mi è sorto nasce studiando per l'esame di meccanica quantistica, ma è fondamentalmente un dubbio matematico che mi farebbe piacere risolvere con il vostro aiuto.
Il libro che sto utilizzando è il Bransden-Joachain, Quantum Mechanics, 2nd Edition.
A pagina 142 (per chi è interessato ad andare a vedere, ma comunque riporto in questo messaggio i passaggi) viene risolta l'equazione di Shröedinger indipendente dal tempo per un elettrone in un potenziale a gradino come in figura:

[fcd][FIDOCAD]
LI 55 70 55 10 0
FCJ 2 0 3 2 0 1
TY 55 5 4 3 0 0 0 * V(x)
TY 60 80 4 3 0 0 0 *
LI 15 60 135 60 0
FCJ 2 0 3 2 0 1
TY 135 65 4 3 0 0 0 * x
TY 50 70 4 3 0 0 0 *
LI 55 35 135 35 0
TY 45 30 4 3 0 0 0 * V0[/fcd]

dunque l'equazione è:

\(\displaystyle \widehat{H} \psi(x)=E\psi(x) \)

\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
- \frac{\hbar ^2}{2m}\psi''(x)+V_0\psi(x)=E\psi(x)\; , \; \; x>0\\
- \frac{\hbar ^2}{2m}\psi''(x)=E\psi(x)\; , \; \; x<0
\end{matrix}\right. \)

che risolta fornisce:

\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
\psi(x)=Ae^{\text{i}kx}+Be^{-\text{i}kx}\; , \; \; x<0\\
\psi(x)=De^{-\kappa x}\; , \; \; x>0
\end{matrix}\right. \)

dove \(\displaystyle k=\sqrt{\frac{2mE}{\hbar ^2}} \) e \(\displaystyle \kappa=\sqrt{\frac{2m(V_0-E)}{\hbar ^2}} \).

Ora, ancora prima di applicare le condizioni di continuità per la \(\displaystyle \psi(x) \) in \(\displaystyle x=0 \), il testo afferma che l'autovalore \(\displaystyle E \) è non degenere. Non riesco a capire da dove si possa vedere, se non applicando le condizioni al contorno accertandosi che in realtà i coefficienti D e B dipendono da A.

Un aiutino?

Grazie in anticipo.

[anonymous_0b37e9]

Perché, studiando le proprietà dell'equazione di Schrodinger, si può dimostrare la seguente implicazione:

$[lim_(x->-oo)\psi(x)=0] vv [lim_(x->+oo)\psi(x)=0] rarr [E$ non degenere$]$

[Silente]

Grazie della risposta, puoi farmi vedere la dimostrazione per favore? Magari anche con un link dove andare a leggere.

Grazie.

[anonymous_0b37e9]

Dal Landau:

Quando scrive "... all'infinito $\psi_1=\psi_2=0$ ..." puoi anche supporre:

$[lim_(x->-oo)\psi(x)=0] vv [lim_(x->+oo)\psi(x)=0]$

come lo stesso autore precisa in un paragrafo successivo:

[Silente]

Grazie mille!