Definizione di punto di equilibrio stabile secondo Lyapunov
Sul mio libro la definizione è questa: Per un sistema olonomo, una configurazione $ ul(q)^e=(q_1,q_2,....,q_n) $ di equilibrio si dice stabile se, per ogni \( \varepsilon ,\epsilon'>0 \) , esistono \( \delta ,\delta '>0 \) (dipendenti da \( \varepsilon ,\epsilon' \)) tali che:
Se \( \begin{cases} |\underline{q}(t_0)-\underline{q}^e|<\delta \\|\underline{\dot{q} }(t_0)|<\delta '\end{cases} \Rightarrow \begin{cases} |\underline{q}(t)-\underline{q}^e|<\varepsilon \\|\underline{\dot{q} }(t)|<\varepsilon'\end{cases}, \forall t>t_0 \)
Sbaglio o i ruoli di epsilon e delta sono stati invertiti? Non dovrebbe essere invece che per ogni delta e delta primo esistono epsilon ed epsilon primo che soddisfano la condizione ?
Se \( \begin{cases} |\underline{q}(t_0)-\underline{q}^e|<\delta \\|\underline{\dot{q} }(t_0)|<\delta '\end{cases} \Rightarrow \begin{cases} |\underline{q}(t)-\underline{q}^e|<\varepsilon \\|\underline{\dot{q} }(t)|<\varepsilon'\end{cases}, \forall t>t_0 \)
Sbaglio o i ruoli di epsilon e delta sono stati invertiti? Non dovrebbe essere invece che per ogni delta e delta primo esistono epsilon ed epsilon primo che soddisfano la condizione ?
Risposte
No, la definizione è giusta.
Con $epsilon$ ed $epsilon'$ diamo noi a priori ed arbitrariamente una regione "massima" in cui possono variare $q$ e $dotq$, $delta$ e $delta'$ invece ci dicono dentro quale regione bisogna "partire" per fare in modo che si resti sempre dentro la regione degli epsilon. Quindi, se in qualsiasi modo scegliamo la regione ammissibile con gli epsilon, c'è sempre una regione definita dai delta che fa si che il moto resti sempore dentro epsilon, allora il punto è stabile.
Considera per esempio questa immagine:
La curva in nero è una montagna russa, i due punti evidenziati sono, come è noto, quello a sinistra stabile e quello a destra instabile.
Considerail punto stabile, quello in basso. Considera la circonferenza viola e quella verde dentro quella viola. quella viola rappresenta il dominio scelto a priori dagli $epsilon$, noi vogliamo verificare se esiste un domonio verde tale che se il punto parte da quello verde, resta dentro quello viola. Come si vede se il punto parte dentro quello verde, per la conservazione dell'energia, non può usciare dal verde stesso, pertanto è soddisfatta la condizione e quel punto è stabile.
Considera ora il punto in alto. applichiamo la definizione. Consideriamo quindi la circonferenza marrone che rappresenta gli $epsilon$, come si vede, se si fa partire il punto in un qualsiasi punto dentro a quello verde, il punto "scivola giù" dalla montagna russa ed esce quindi dal cerchio marrone, questo per qualsiasi scelta del cerchio verde, non è quindi possibile soddisfare la definizione di stabiltà, è quindi instabile.
Se invece applicassimo la tua definizione al punto in alto, dovremmo scegliere a priori il cerchio verde, supponiamo di scegliere quello in figura, la tua definizione quindi richiede di trovare un cerchio marrone tale che il punto resti dentro al cerchio marrone, ma se scegliamo come cerchio marrone quello grande in figura che contiene i punti estremi delle montagne russe, per la conservazione dell'energia il punto non può uscire dal cerchio marrone, abbiamo quindi soddisfatto la tua definizione e pertanto quel punto risulterebbe stabile. Il problema della tua definizione è che, in qualunque modo si scelga il cerchiio verde, è sempre possibile trovare un cerchio marrone che soddisfi la tua definizione, basta prenderlo "abbastanza grande", e quindi per la tua definizione tutti i punti di equilibrio sarebbero stabili.
Un modo più astratta ma che rende molto meglio l'idea di questo concetto è quella di spazio delle fasi e traiettorie.
Lo spazio delle fasi di un sistema olonomo è lo spazione $(vecq, vecdotq)$, ossia lo spazio di tutte le posizioni e velocità del sistema, un punto di equilibrio nello spazio delle fasi è il punto $E=(vecq^e, 0)$, quindi:
E si dice stabile seconda Liapunov se, per qualsiasi sfera $B_R$ di raggio R e centro E nello spazio delle fasi, esiste una sfera $B_r$ di raggio r
Nel tuo caso la sfera $B_R$ è determinata dagli epsilon, quella $B_r$ dai delta.
Con $epsilon$ ed $epsilon'$ diamo noi a priori ed arbitrariamente una regione "massima" in cui possono variare $q$ e $dotq$, $delta$ e $delta'$ invece ci dicono dentro quale regione bisogna "partire" per fare in modo che si resti sempre dentro la regione degli epsilon. Quindi, se in qualsiasi modo scegliamo la regione ammissibile con gli epsilon, c'è sempre una regione definita dai delta che fa si che il moto resti sempore dentro epsilon, allora il punto è stabile.
Considera per esempio questa immagine:
La curva in nero è una montagna russa, i due punti evidenziati sono, come è noto, quello a sinistra stabile e quello a destra instabile.
Considerail punto stabile, quello in basso. Considera la circonferenza viola e quella verde dentro quella viola. quella viola rappresenta il dominio scelto a priori dagli $epsilon$, noi vogliamo verificare se esiste un domonio verde tale che se il punto parte da quello verde, resta dentro quello viola. Come si vede se il punto parte dentro quello verde, per la conservazione dell'energia, non può usciare dal verde stesso, pertanto è soddisfatta la condizione e quel punto è stabile.
Considera ora il punto in alto. applichiamo la definizione. Consideriamo quindi la circonferenza marrone che rappresenta gli $epsilon$, come si vede, se si fa partire il punto in un qualsiasi punto dentro a quello verde, il punto "scivola giù" dalla montagna russa ed esce quindi dal cerchio marrone, questo per qualsiasi scelta del cerchio verde, non è quindi possibile soddisfare la definizione di stabiltà, è quindi instabile.
Se invece applicassimo la tua definizione al punto in alto, dovremmo scegliere a priori il cerchio verde, supponiamo di scegliere quello in figura, la tua definizione quindi richiede di trovare un cerchio marrone tale che il punto resti dentro al cerchio marrone, ma se scegliamo come cerchio marrone quello grande in figura che contiene i punti estremi delle montagne russe, per la conservazione dell'energia il punto non può uscire dal cerchio marrone, abbiamo quindi soddisfatto la tua definizione e pertanto quel punto risulterebbe stabile. Il problema della tua definizione è che, in qualunque modo si scelga il cerchiio verde, è sempre possibile trovare un cerchio marrone che soddisfi la tua definizione, basta prenderlo "abbastanza grande", e quindi per la tua definizione tutti i punti di equilibrio sarebbero stabili.
Un modo più astratta ma che rende molto meglio l'idea di questo concetto è quella di spazio delle fasi e traiettorie.
Lo spazio delle fasi di un sistema olonomo è lo spazione $(vecq, vecdotq)$, ossia lo spazio di tutte le posizioni e velocità del sistema, un punto di equilibrio nello spazio delle fasi è il punto $E=(vecq^e, 0)$, quindi:
E si dice stabile seconda Liapunov se, per qualsiasi sfera $B_R$ di raggio R e centro E nello spazio delle fasi, esiste una sfera $B_r$ di raggio r
Nel tuo caso la sfera $B_R$ è determinata dagli epsilon, quella $B_r$ dai delta.
Queso di Liapunov non è un concetto che riguarda solo la meccanica lagrangiana, è un concetto molto generele, che si applica a qualsiasi "sistema dinamico", ossia sistema di equazioni differenziali del tipo $doty=Ay$
Grazie mille
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