Definizione di flusso
Salve a tutti, approfittando della quarantena stavo preparando lezioni sull'elettrostatica ma la definizione di flusso su una superficie qualunque per presentare poi le applicazioni del teorema di Gauss mi ha fatto sorgere un problema.
Da profondo odiatore dei simboli del tipo $dx$ (almeno quando non sono utilizzati per le forme differenziali) ho pensato di ricalcare quello che viene fatto per l'integrale di Riemann (che gli studenti vedono in matematica a distanza di poco tempo), cioè parlo di partizioni e raffinamenti su una superficie (in maniera intuitiva) e in ogni porzione $\Delta S$ di superficie considero il minimo e il massimo della funzione \[
\overrightarrow{E}\cdot\widehat{n}
\]
($m$ e $M$ rispettivamente) e affermo che
\[
\sum_i^n m_i\Delta S\le\Phi(\overrightarrow{E})\le\sum_i^n M_i\Delta S.
\]
Successivamente passo al $\Sup$ sull'insieme delle partizioni.
Il problema è che non sono riuscito a trovare in nessun libro una definizione di integrale di superficie come questa. Ovviamente la ometterò insieme alla regola per il calcolo di tale integrale (dirò solo quelle proprietà necessarie a calcolare il flusso in casi molto particolari) però è per essere "in pace con la coscienza", vorrei essere sicuro che quelle somme tendono esattamente all'integrale di superficie che, nei libri di analisi che ho, è definito utilizzando le aree della regione di spazio tangente corrispondente anziché della superficie stessa (ovviamente al limite è la stessa cosa ma trovo molto più intuitivo e comprensibile utilizzare porzioni di superficie).
Qualcuno può fornirmi un riferimento per la dimostrazione di quanto ho detto? Oppure c'è una maniera più corretta ma altrettanto intuitiva che mi sfugge?
Da profondo odiatore dei simboli del tipo $dx$ (almeno quando non sono utilizzati per le forme differenziali) ho pensato di ricalcare quello che viene fatto per l'integrale di Riemann (che gli studenti vedono in matematica a distanza di poco tempo), cioè parlo di partizioni e raffinamenti su una superficie (in maniera intuitiva) e in ogni porzione $\Delta S$ di superficie considero il minimo e il massimo della funzione \[
\overrightarrow{E}\cdot\widehat{n}
\]
($m$ e $M$ rispettivamente) e affermo che
\[
\sum_i^n m_i\Delta S\le\Phi(\overrightarrow{E})\le\sum_i^n M_i\Delta S.
\]
Successivamente passo al $\Sup$ sull'insieme delle partizioni.
Il problema è che non sono riuscito a trovare in nessun libro una definizione di integrale di superficie come questa. Ovviamente la ometterò insieme alla regola per il calcolo di tale integrale (dirò solo quelle proprietà necessarie a calcolare il flusso in casi molto particolari) però è per essere "in pace con la coscienza", vorrei essere sicuro che quelle somme tendono esattamente all'integrale di superficie che, nei libri di analisi che ho, è definito utilizzando le aree della regione di spazio tangente corrispondente anziché della superficie stessa (ovviamente al limite è la stessa cosa ma trovo molto più intuitivo e comprensibile utilizzare porzioni di superficie).
Qualcuno può fornirmi un riferimento per la dimostrazione di quanto ho detto? Oppure c'è una maniera più corretta ma altrettanto intuitiva che mi sfugge?
Risposte
Ciao Pierlu11, più che di Didattica della Matematica, questa mi sembra una domanda di Fisica. Sposto nell'area più adatta.
Tutto bello ma incalcolabile
Dovresti fargli un po di lezioni sulle superfici
Comunque l'integrale di Riemann su $ R^n $ si riconduce a n integrali su R.
Dovresti fargli un po di lezioni sulle superfici
Comunque l'integrale di Riemann su $ R^n $ si riconduce a n integrali su R.
L'intenzione era solo quella di dare una corretta definizione. Essendo un quinto liceo non posso dare nozioni sulle curve e le superfici differenziali, di conseguenza ometterei il calcolo di quell'integrale.
La mia richiesta era solo una dimostrazione di quanto detto (da tenere per me).
La mia richiesta era solo una dimostrazione di quanto detto (da tenere per me).
Penso che l'integrale di Riemann su R^n lo trovi in qualsiasi libro di Analisi II.
Quello che hai scritto va benissimo
Quello che hai scritto va benissimo
In quelli che ho o viene omessa la dimostrazione o viene fatta utilizzando le corrispondenti aree nello spazio tangente, non usano questo genere di impostazione. Per questo mi chiedevo se c'è un riferimento che invece imposta a definizione così. Se hai un libro di Analisi II al quale posso far riferimento puoi darmi il titolo? Ti ringrazio in anticipo!
Il capitolo misura è integrazione del Pagani Salsa.
Ma trovi molte dispense sull'integrazione di Riemann, che è argomento di analisi uno e in R^n non è affatto diversa
Ma trovi molte dispense sull'integrazione di Riemann, che è argomento di analisi uno e in R^n non è affatto diversa
Non parlo di integrazione in R^n, lì so bene che la definizione che di da è proprio quella analoga a quella in R. ho dato un'occhiata al Pagani Salsa e mi sembra usi i simboli $dS$... (Mi riferisco al libro Analisi matematica 2 di Bramanti, Pagani, Salsa)
[ot]Suppongo che la tua classe sia formata da tanti piccoli Gauss... 
[/ot]
[/ot]
Credo che tu non abbia capito.
Leggiti questo.
https://www.google.com/url?sa=t&source= ... 9AueXcRvbu
Leggiti questo.
https://www.google.com/url?sa=t&source= ... 9AueXcRvbu
Non sono un docente, quindi non voglio “spiegarti come fare il tuo lavoro”, però avendo finito il liceo da meno di 9 anni, e sapendo cosa ho affrontato dopo all’università, posso dirti cosa avrei voluto sentire dal mio professore.
Una descrizione troppo analitica secondo me é inutile, in pochi la coglierebbero e gli altri si annoierebbero, una troppo qualitativa sarebbe forse più interessante ma altrettanto inutile.
Il campo elettrico é qualcosa di intangibile che si presta poco a una spiegazione intuitiva. Se fossi io a spiegare l’argomento magari partirei da un tubo in cui passa dell’acqua, direi che ogni molecola ha un vettore associato che ne descrive la velocità, e poi farei uno zoom su una sezione del tubo dividendolo in una griglia. A questo punto farei calcolare quante molecole attraversano la superficie, e magari farei vedere cosa succede cambiando l’angolo della sezione nel tubo e/o la direzione del flusso.
A partire da questo, farei un parallelo con il campo elettrico su una superficie semplice, e dopo darei una definizione più rigorosa generalizzando campo e superficie. In questo modo penso che il tuo concetto possa essere seguito, a livelli diversi, sia da chi capisce il parallelo e poi impara la formuletta per gli esercizi, sia da chi vuole avere una comprensione più completa
Una descrizione troppo analitica secondo me é inutile, in pochi la coglierebbero e gli altri si annoierebbero, una troppo qualitativa sarebbe forse più interessante ma altrettanto inutile.
Il campo elettrico é qualcosa di intangibile che si presta poco a una spiegazione intuitiva. Se fossi io a spiegare l’argomento magari partirei da un tubo in cui passa dell’acqua, direi che ogni molecola ha un vettore associato che ne descrive la velocità, e poi farei uno zoom su una sezione del tubo dividendolo in una griglia. A questo punto farei calcolare quante molecole attraversano la superficie, e magari farei vedere cosa succede cambiando l’angolo della sezione nel tubo e/o la direzione del flusso.
A partire da questo, farei un parallelo con il campo elettrico su una superficie semplice, e dopo darei una definizione più rigorosa generalizzando campo e superficie. In questo modo penso che il tuo concetto possa essere seguito, a livelli diversi, sia da chi capisce il parallelo e poi impara la formuletta per gli esercizi, sia da chi vuole avere una comprensione più completa
Si ma Gauss era un genio
Anche qui l'integrale di superficie è trattato senza una dimostrazione come invece viene fatta per integrali su R^n (che però non sto cercando).
Forse non ci stiamo capendo a vicenda, pazienza... grazie comunque.
Forse non ci stiamo capendo a vicenda, pazienza... grazie comunque.
A me pare che, alla fin fine, non sia un problema di Fisica o Didattica ma di Analisi quindi, forse, sarebbe meglio spostarlo là
Dai, la dimostrazione è fatta su R, e si estende su R^n che sono i tuoi integrali superficiali
Il problema si sta spostando da tutt'altra parte (come spiegare il concetto di flusso, dibattito sull'utilità di spiegare o meno la parte formale della definizione dell'integrale) quando avevo semplicemente chiesto una dimostrazione di un risultato (E NON UNA GENERALIZZAZIONE "A PAROLE" DI UN FATTO COME L'INTEGRALE SU R^n) da tenere PER ME (non da spiegare ai ragazzi).
Detto questo ringrazio tutti per gli interventi ma la prossima volta starò più attento all'esposizione della domanda affinché le risposte siano coerenti.
Detto questo ringrazio tutti per gli interventi ma la prossima volta starò più attento all'esposizione della domanda affinché le risposte siano coerenti.
"Pierlu11":
Il problema si sta spostando da tutt'altra parte … quando avevo semplicemente chiesto una dimostrazione di un risultato …
A maggior ragione allora era meglio la stanza di "Analisi" ... prova a fartelo spostare (di nuovo
)
Tanto non vuole capire
Gli ho messo un link.
Ho indicato il capitolo del Pagani Salsa.
Gli ho detto più volte che la spiegazione è in R
Gli ho messo un link.
Ho indicato il capitolo del Pagani Salsa.
Gli ho detto più volte che la spiegazione è in R
Io non vorrei capire?? La tua chiusura nella convinzione di avere centrato il punto della mia domanda è sconcertante!
Se rispondi una cosa per un'altra cerca tu di rileggere e capire meglio la domanda.
Comunque troverò quello che cerco da un'altra parte, GRAZIE.
Se rispondi una cosa per un'altra cerca tu di rileggere e capire meglio la domanda.
Comunque troverò quello che cerco da un'altra parte, GRAZIE.
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