Definire l'azione di un operatore sui vettori di base (MQ)
Buonasera 
Sto avendo dei forti dubbi sul seguente problema, è anche possibile che qualcosa di ovvio mi stia sfuggendo ma in ogni caso ecco qua.
Ho uno sistema quantistico che può torvarsi in una combinazione qualsiasi di 4 autostati $ |1>$ $ |2>$ $ |3>$ $ |4>$ e definisco l'operatore $O$ in modo tale che restituisca autovalore $1$ se agisce sullo stato:
\[ |\psi> =\frac{1}{\sqrt{2}}(i|1>+|2>) \]
mentre restituisce autovalore $0$ per ogni stato ortogonale a $|\psi>$. L'esercizio chiede di scrivere la matrice associata a $O$ nella base dei 4 autostati quindi dovrei definire l'azione dell'operatore sui 4 autostati di base.
Sapendo che $O|\psi> =|\psi>$ ricavo che $O|1> =|1>$ e $O|2> =|2>$ mentre so per certo che $|3>$ e $|4>$ sono ortogonali a $|\psi>$ quindi $O|3> =O|4> =0$.
Il problema è che così costruito l'operatore non fa quello che dovrebbe, ad esempio restituisce un autovalore non nullo agendo sullo stato :
\[ |\psi_p> =\frac{1}{\sqrt{2}}(-i|1>+|2>) \]
che invece è ortogonale a $|\psi>$.
Potrebbe darsi che manchi un autovalore? Cosa succede se l'operatore $O$ agisce su uno stato che non è $\psi$ ma non è nemmeno ortogonale a $\psi$?
Sto avendo dei forti dubbi sul seguente problema, è anche possibile che qualcosa di ovvio mi stia sfuggendo ma in ogni caso ecco qua.
Ho uno sistema quantistico che può torvarsi in una combinazione qualsiasi di 4 autostati $ |1>$ $ |2>$ $ |3>$ $ |4>$ e definisco l'operatore $O$ in modo tale che restituisca autovalore $1$ se agisce sullo stato:
\[ |\psi> =\frac{1}{\sqrt{2}}(i|1>+|2>) \]
mentre restituisce autovalore $0$ per ogni stato ortogonale a $|\psi>$. L'esercizio chiede di scrivere la matrice associata a $O$ nella base dei 4 autostati quindi dovrei definire l'azione dell'operatore sui 4 autostati di base.
Sapendo che $O|\psi> =|\psi>$ ricavo che $O|1> =|1>$ e $O|2> =|2>$ mentre so per certo che $|3>$ e $|4>$ sono ortogonali a $|\psi>$ quindi $O|3> =O|4> =0$.
Il problema è che così costruito l'operatore non fa quello che dovrebbe, ad esempio restituisce un autovalore non nullo agendo sullo stato :
\[ |\psi_p> =\frac{1}{\sqrt{2}}(-i|1>+|2>) \]
che invece è ortogonale a $|\psi>$.
Potrebbe darsi che manchi un autovalore? Cosa succede se l'operatore $O$ agisce su uno stato che non è $\psi$ ma non è nemmeno ortogonale a $\psi$?
Risposte
No si tratta di un errore nel procedimento.
L'operatore O è essenzialmente il proiettore lungo lo stato P, che può essere scritto come - indipendentemente dalla base:
\[
\mathcal{P}_\psi = |\psi\rangle\langle\psi| = \frac{1}{2}\left(|1\rangle\langle 1| + i |1\rangle\langle 2| - i |2\rangle\langle 1| + |2\rangle\langle 2|\right)
\]
e di conseguenza nella base (1,2,3,4) è rappresentato dalla matrice:
\[
\mathcal{P}_\psi \doteq \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1&i&0&0\\ -i&1&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0 \end{pmatrix}
\]
L'operatore O è essenzialmente il proiettore lungo lo stato P, che può essere scritto come - indipendentemente dalla base:
\[
\mathcal{P}_\psi = |\psi\rangle\langle\psi| = \frac{1}{2}\left(|1\rangle\langle 1| + i |1\rangle\langle 2| - i |2\rangle\langle 1| + |2\rangle\langle 2|\right)
\]
e di conseguenza nella base (1,2,3,4) è rappresentato dalla matrice:
\[
\mathcal{P}_\psi \doteq \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1&i&0&0\\ -i&1&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0 \end{pmatrix}
\]
Grazie! Come sospettavo era solo una svista.
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