Decomposizione velocità moto elicoidale

[caffeinaplus]

Salve a tutti,
non riesco a capire se in questo passaggio del libro c'è un errore di stampa o sono io che non capisco.


Parto con la premessa che il paragrafo precedente ha dimostrato come il moto di un corpo rigido si possa sempre scomporre, scegliendo un particolare polo che chiameremo $Omega_1$ e un punto $P$ di un corpo rigido, nel momento della velocità angolare rispetto a questo polo e alla velocità di spostamento parallela a a questa velocità angolare.


Sia $V$ la velocità di spostamento di un corpo orientata in modo parallelo a $w$, la sua velocità angolare e $M=w \wedge(P-Omega_1)$ il momento della velocità angolare.

Quindi dice:

Immaginiamo una retta parallela a $w$ che passi per $Omega_1$, che chiameremo $r$ e sia $pi$ il piano ortogonale a $r$ che contiene $Omega_1$.

Allora siano $P_r$ e $P_(pi)$ le proiezioni ortogonali di $P$ sulla retta e il piano.
Dato che $V$ è costante il moto di $P_r$ sarà uniforme.
Mentre $P_(pi)$ con velocità $M$ ha il braccio che si può riscrivere come

$P-Omega_1=(P-P_(pi))+(P_(pi)-Omega_1)$

Ma allora dato che $P$ e $P_(pi)$ sono paralleli il momento sarà

$w \wedge (P_(pi) - Omega_1)$

Io ho sinceramente difficoltà a immaginare, per come è stato costruito il tutto, come $P$ possa essere proiettato ortogonalmente su $pi$, però fingiamo di esserci riusciti prendendolo per buono senza provare a vederlo.
Allora ecco che non mi ritrovo su un altro punto.
Come può essere $(P-P_(pi))$ parallelo a $w$?
Non riesco a visualizzarlo in nessun modo e non mi convince in nessun modo.
Qualcuno può aiutarmi?

[Shackle]

"caffeinaplus":Salve a tutti,
non riesco a capire se in questo passaggio del libro c'è un errore di stampa o sono io che non capisco.


Parto con la premessa che il paragrafo precedente ha dimostrato come il moto di un corpo rigido si possa sempre scomporre, scegliendo un particolare polo che chiameremo $Omega_1$ e un punto $P$ di un corpo rigido, nel momento della velocità angolare rispetto a questo polo e alla velocità di spostamento parallela a a questa velocità angolare.


Sia $V$ la velocità di spostamento di un corpo orientata in modo parallelo a $w$, la sua velocità angolare e $M=w \wedge(P-Omega_1)$ il momento della velocità angolare.

Già qui c'è qualcosa che non torna. Tu dici che il libro chiama "momento della velocità angolare" la quantità : $M=w \wedge(P-Omega_1)$ . È un modo di dire inconsueto, ma passi pure questo "momento della velocità angolare " .
La relazione fondamentale della cinematica dei corpi rigidi è la seguente , in cui $P$ e $Q$ sono due punti del corpo rigido :

$vecv_P = vecv_Q + \omega \times (P-Q ) $

quindi, il secondo termine al secondo membro , chiamando $Omega_1$ il punto $Q$, sarebbe questo famoso momento della velocità angolare rispetto a $Omega_1$ , che non riscrivo per non complicare. Ma chi ci dice che $vecv_P$ sia sempre parallelo ad $vec\omega$ ? Tieni presente che , nel moto più generale di un corpo rigido libero , ogni atto di moto rigido è elicoidale : questo è il teorema di Mozzi; come vedi, si parla di "atto di moto rigido" . L'atto di moto non è altro che la foto istantanea del campo dei vettori velocità dei punti di un corpo rigido, ma non è detto che questo campo si conservi sempre uguale a se stesso. Per informazioni più generali , guarda questa discussione , e i link in essa postati

Questo però non succede per tutto il moto , succede per un atto di moto (rigido) ; l'asse di Mozzi potrebbe variare nel tempo. Ma andiamo avanti :

Quindi dice:

Immaginiamo una retta parallela a $w$ che passi per $Omega_1$, che chiameremo $r$ e sia $pi$ il piano ortogonale a $r$ che contiene $Omega_1$.

Allora siano $P_r$ e $P_(pi)$ sono le proiezioni ortogonali di $P$ sulla retta e il piano.
Dato che $V$ il moto di $P_r$ sarà uniforme.
Mentre $P_(pi)$ con velocità $M$ ha il braccio che si può riscrivere come

$P-Omega_1=(P-P_(pi))+(P_(pi)-Omega_1)$

Ma allora dato che $P$ e $P_(pi)$ sono paralleli il momento sarà

$w \wedge (P_(pi) - Omega_1)$

Io ho sinceramente difficoltà a immaginare, per come è stato costruito il tutto, come $P$ possa essere proiettato ortogonalmente su $pi$, però fingiamo di esserci riusciti prendendolo per buono senza provare a vederlo.
Allora ecco che non mi ritrovo su un altro punto.
Come può essere $(P-P_(pi))$ parallelo a $w$?
Non riesco a visualizzarlo in nessun modo e non mi convince in nessun modo.
Qualcuno può aiutarmi?

ho provato a rappresentare in questo disegno la situazione descritta , che come descrizione ha delle lacune e delle parole saltate , quindi credo di aver interpretato bene. Se è cosí , quello che dice il libro è giusto, basta considerare il significato di prodotto vettoriale :

[caffeinaplus]

Ciao e grazie della risposta

Quando ho scritto il post dovevo essere veramente stanco, perchè ho saltato una premessa fondamentale: il moto è uniforme sia per quanto riguarda la rotazione che la traslazione

Chiedo perdono per questo

ho provato a rappresentare in questo disegno la situazione descritta , che come descrizione ha delle lacune e delle parole saltate

Correggo nel primo post i "salti" che ora ho notato anche io.
Grazie mille anche per il disegno, mi ostino a disegnare i vettori $w$ e $v$ applicati in $P$ e poi finisce che non mi trovo

[Shackle]

Non devi scusarti di nulla. Comunque una cosa va chiarita .
Se un punto P descrive un’elica cilindrica, cioè avvolta su un cilindro di raggio R , avente passo H , la velocità vettoriale di P è tangente all’elica, e forma un angolo costante con la sezione trasversale del cilindro: $ tg alpha =H/(2piR)$ .