Decadimento pione, relazione tra angoli
Buon pomeriggio, avrei bisogno gentilmente una mano con il seguente esercizio:
Ho rappresentato la situazione in questo modo nei due sistemi di riferimento inerziale.
Iniziando dal sistema di riferimento del laboratorio ho definito le seguenti quantità:
$k_1^{\mu}=E_1(1, 0, \sin \gamma, \cos \gamma)$
$k_2^{\mu}=E_2(1, 0, -\sin \beta, \cos \beta)$
$p^{\mu} = (\sqrt{|p|^2+m^2}, 0, 0, |p|)$
A questo punto provvedo ad applicare il principio di conservazione del quadrimomento elevando al quadrato entrambi i membri.
$p^2 = (k_1^{\mu}+k_2^{\mu})^2$
$m^2=k_1^2 +k_2^2 +2 k_1^{\mu} k_{2\mu}$
$m^2= E_1E_2(1-\cos \alpha)$
Ora non mi resta che trovare la relazione tra $\alpha$ e l'angolo $\theta$ (svolgendo i conti sulla conservazione del momento nel CM dei trimomenti si ricava che $\theta = \theta'$ e che $E_1 = E_2 \equiv E$)
Il problema è come relazionare $\alpha$ e $\theta$. Pensavo di passare anche nel caso del CM dalla conservazione del quadrimomento, ma quello che ottengo alla fine è $m^2=4E^2$.
Un altro dubbio che mi è sorto è che leggendo bene il testo mi pare di capire che voglia $\alpha$ in funzione di $\theta$, non nel LAB come lo ho ricavato all'inizio, ma nel sistema di riferimento del CM. Per cui dovrei trovare $\alpha(\theta|_{CM})|_{CM}$.
Spero si sia capito, grazie in anticipo!
Si consideri il decadimento $\pi^0 \rightarrow \gamma \gamma$ nel sistema del laboratorio, dove il $\pi^0$ ha velocità $\vec v$. Calcolare l’angolo $\alpha$ tra i due fotoni nel sistema del laboratorio, in funzione dell’angolo $\theta$ che i fotoni formano con la direzione del moto del laboratorio, nel sistema di riferimento del centro di massa.
Ho rappresentato la situazione in questo modo nei due sistemi di riferimento inerziale.
Iniziando dal sistema di riferimento del laboratorio ho definito le seguenti quantità:
$k_1^{\mu}=E_1(1, 0, \sin \gamma, \cos \gamma)$
$k_2^{\mu}=E_2(1, 0, -\sin \beta, \cos \beta)$
$p^{\mu} = (\sqrt{|p|^2+m^2}, 0, 0, |p|)$
A questo punto provvedo ad applicare il principio di conservazione del quadrimomento elevando al quadrato entrambi i membri.
$p^2 = (k_1^{\mu}+k_2^{\mu})^2$
$m^2=k_1^2 +k_2^2 +2 k_1^{\mu} k_{2\mu}$
$m^2= E_1E_2(1-\cos \alpha)$
Ora non mi resta che trovare la relazione tra $\alpha$ e l'angolo $\theta$ (svolgendo i conti sulla conservazione del momento nel CM dei trimomenti si ricava che $\theta = \theta'$ e che $E_1 = E_2 \equiv E$)
Il problema è come relazionare $\alpha$ e $\theta$. Pensavo di passare anche nel caso del CM dalla conservazione del quadrimomento, ma quello che ottengo alla fine è $m^2=4E^2$.
Un altro dubbio che mi è sorto è che leggendo bene il testo mi pare di capire che voglia $\alpha$ in funzione di $\theta$, non nel LAB come lo ho ricavato all'inizio, ma nel sistema di riferimento del CM. Per cui dovrei trovare $\alpha(\theta|_{CM})|_{CM}$.
Spero si sia capito, grazie in anticipo!
Risposte
Ciao, provo a suggerirti lo svolgimento:
1) per prima cosa, considero dei SDR in cui il decadimento avviene nel piano xz. (cambia qualcosina nell'espressione dei 4-momenti, ma nulla di grosso concettualmente parlando)
2) E' più semplice iniziare ragionando su cosa accede nel riferimento del CDM per poi dare la soluzione nel Lab utilizzando le trasformazioni di Lorentz. In stato iniziale è presente un pione neutro fermo con 4-momento $p_{i} = (m,0,0,0)$. In stato finale ci sono i due fotoni e la conservazione del 4-momento ti dice che sono back-to-back e la loro energia (uguale tra loro) pari a $E^{\prime} = \frac{m}{2}$
3) Ora si tratta di andare nel sistema del laboratorio - cioé supponendo di conoscere l'angolo di scattering nel CDM si vuole trovare l'angolo $\alpha$ nel sistema in cui il pione è inizialmente in moto con una certa quantità di moto diretta lungo z. Basta ricordarsi come si trasformano le componenti spaziali del 4-momento sotto trasformazioni di Lorentz (con p indico la parte spaziale del 4momento del fotone emesso nella dir positiva dell'asse z)
$$p_x = p^{'}_{x}$$
$$p_z = \gamma (p^{'}_z + v E^{'})$$
$\gamma$ è il fattore di Lorentz associato al boost, $v$ la velocità del pione lungo z nel sistema del Lab e inoltre $tan\alpha = p_x/p_z $.
Sperando di non avere scritto castronerie, da qui dovresti essere in grado di ricondurti a un'espressione dell'angolo nel lab in funzione di quello nel CDM (o viceversa)
ps disclaimer: uso un sistema di unità di misura in cui c = 1
ps2: ah, vedo ora che anche tu usi c = 1
1) per prima cosa, considero dei SDR in cui il decadimento avviene nel piano xz. (cambia qualcosina nell'espressione dei 4-momenti, ma nulla di grosso concettualmente parlando)
2) E' più semplice iniziare ragionando su cosa accede nel riferimento del CDM per poi dare la soluzione nel Lab utilizzando le trasformazioni di Lorentz. In stato iniziale è presente un pione neutro fermo con 4-momento $p_{i} = (m,0,0,0)$. In stato finale ci sono i due fotoni e la conservazione del 4-momento ti dice che sono back-to-back e la loro energia (uguale tra loro) pari a $E^{\prime} = \frac{m}{2}$
3) Ora si tratta di andare nel sistema del laboratorio - cioé supponendo di conoscere l'angolo di scattering nel CDM si vuole trovare l'angolo $\alpha$ nel sistema in cui il pione è inizialmente in moto con una certa quantità di moto diretta lungo z. Basta ricordarsi come si trasformano le componenti spaziali del 4-momento sotto trasformazioni di Lorentz (con p indico la parte spaziale del 4momento del fotone emesso nella dir positiva dell'asse z)
$$p_x = p^{'}_{x}$$
$$p_z = \gamma (p^{'}_z + v E^{'})$$
$\gamma$ è il fattore di Lorentz associato al boost, $v$ la velocità del pione lungo z nel sistema del Lab e inoltre $tan\alpha = p_x/p_z $.
Sperando di non avere scritto castronerie, da qui dovresti essere in grado di ricondurti a un'espressione dell'angolo nel lab in funzione di quello nel CDM (o viceversa)
ps disclaimer: uso un sistema di unità di misura in cui c = 1
ps2: ah, vedo ora che anche tu usi c = 1
Procedendo come hai fatto tu, ma mantenendo la mia configurazione spaziale, avrei che:
$k'_1^{\mu}=E'(1, 0, \sin \theta, \cos \theta)$
$k'_2^{\mu}=E'(1, 0, - \sin \theta, - \cos \theta)$
(Ho aggiunto il primato considerando il CM come il SRI $S'$)
A questo punto applicando le trasformazioni di Lorentz per passare al SRI del Laboratorio ($S$) ottengo:
$k_1^{\mu}=E'(\gamma (1+ v \cos \theta), 0, \sin \theta, \gamma ( \cos \theta + v ))$
$k_2^{\mu}=E'(\gamma (1- v \cos \theta), 0, -\sin \theta, \gamma ( v- \cos \theta ))$
A questo punto nella relazione che avevo ricavato per $\alpha$ sostituisco le energie in funzione di quelle del CM:
$m^2=E_1E_2(1-\cos \alpha)$
Ma nel sistema del CM: $m^2 = 4E'^2$
Abbiamo quindi:
$4E'^2 = \gamma E' (1+ v \cos \theta) \gamma E' (1- v \cos \theta)(1- \cos \alpha)$
$\cos \alpha = 1-\frac{4}{\gamma^2(1-v^2\cos^2 \theta)}$
Corretto?
Nel caso lo sia però, come ho detto nel mio primo post, verso la fine. Mi sembra che chieda però questo valutato nel sistema di riferimento inerziale del CM, non del Laboratorio, come abbiamo fatto ora.
$k'_1^{\mu}=E'(1, 0, \sin \theta, \cos \theta)$
$k'_2^{\mu}=E'(1, 0, - \sin \theta, - \cos \theta)$
(Ho aggiunto il primato considerando il CM come il SRI $S'$)
A questo punto applicando le trasformazioni di Lorentz per passare al SRI del Laboratorio ($S$) ottengo:
$k_1^{\mu}=E'(\gamma (1+ v \cos \theta), 0, \sin \theta, \gamma ( \cos \theta + v ))$
$k_2^{\mu}=E'(\gamma (1- v \cos \theta), 0, -\sin \theta, \gamma ( v- \cos \theta ))$
A questo punto nella relazione che avevo ricavato per $\alpha$ sostituisco le energie in funzione di quelle del CM:
$m^2=E_1E_2(1-\cos \alpha)$
Ma nel sistema del CM: $m^2 = 4E'^2$
Abbiamo quindi:
$4E'^2 = \gamma E' (1+ v \cos \theta) \gamma E' (1- v \cos \theta)(1- \cos \alpha)$
$\cos \alpha = 1-\frac{4}{\gamma^2(1-v^2\cos^2 \theta)}$
Corretto?
Nel caso lo sia però, come ho detto nel mio primo post, verso la fine. Mi sembra che chieda però questo valutato nel sistema di riferimento inerziale del CM, non del Laboratorio, come abbiamo fatto ora.
$ \cos \alpha = 1-\frac{4}{\gamma^2(1-v^2\cos^2 \theta)} $
Ad una rapida occhiata i conti sembrerebbero corretti. Purtroppo la mia notazione - noto ora - era un po' in disaccordo con la tua (in particolare il significato di $\alpha$) però spero che il procedimento fosse sufficientemente chiaro.
Nel caso lo sia però, come ho detto nel mio primo post, verso la fine. Mi sembra che chieda però questo valutato nel sistema di riferimento inerziale del CM, non del Laboratorio, come abbiamo fatto ora.
Un altro dubbio che mi è sorto è che leggendo bene il testo mi pare di capire che voglia α in funzione di θ, non nel LAB come lo ho ricavato all'inizio, ma nel sistema di riferimento del CM. Per cui dovrei trovare $ \alpha(\theta|_{CM})|_{CM} $
Non ho mica capito ... vuoi ottenere il risultato in funzione di $\theta$ (definito in CDM) e qui niente ci piove, ma con $\alpha|_{CM} $ che intendi esattamente? perché o la risposta è ovvia, o non ho capito nulla
Io lo intendo così:
calcolare l’angolo α tra i due fotoni nel sistema del laboratorio, in funzione dell’angolo θ - misurato nel CDM - che i fotoni formano con la direzione del moto del laboratorio
cioé un'espressione di $\alpha$ in termini di $\theta$
Credo che nell’espressione di $m_\pi^2 $ che hai ricavato manchi un fattore due. Dovrebbe essere :
$m_\pi^2 = 2E_1E_2(1-cosalpha) $
forse ti è sfuggito che nel fare il quadrato del binomio c’è il termine col doppio prodotto.
Dai un’occhiata a questa dispensa :
http://www.roma1.infn.it/cms/ric/cinematica.pdf
dove la massa invariante , data dalla formula (27) e (56) , è espressa nel riferimento del CM. Il paragrafo 10 tratta del decadimento di una particella in due corpi, il paragrafo 10.1 tratta proprio il caso del decadimento del $\pi_0$ in due fotoni, monoenergetici e back-to-back nel riferimento del CM.
Son d’accordo con Lampo, alla fine l’espressione di $cosalpha$ in funzione di $theta$ ce l’hai , e credo che questo sia quanto richiesto.
$m_\pi^2 = 2E_1E_2(1-cosalpha) $
forse ti è sfuggito che nel fare il quadrato del binomio c’è il termine col doppio prodotto.
Dai un’occhiata a questa dispensa :
http://www.roma1.infn.it/cms/ric/cinematica.pdf
dove la massa invariante , data dalla formula (27) e (56) , è espressa nel riferimento del CM. Il paragrafo 10 tratta del decadimento di una particella in due corpi, il paragrafo 10.1 tratta proprio il caso del decadimento del $\pi_0$ in due fotoni, monoenergetici e back-to-back nel riferimento del CM.
Son d’accordo con Lampo, alla fine l’espressione di $cosalpha$ in funzione di $theta$ ce l’hai , e credo che questo sia quanto richiesto.
Credo che nell’espressione di $ m_\pi^2 $ che hai ricavato manchi un fattore due.
Confermo, mi era completamente sfuggito
](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
Hai completamente ragione, è sfuggito anche a me, nonostante nella relazione del centro di massa me ne sia ricordato.
Credo sia allora una mia mal interpretazione quel centro di massa finale.
Grazie mille a entrambi!
Credo sia allora una mia mal interpretazione quel centro di massa finale.
Grazie mille a entrambi!
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