Decadimento in 3 corpi

[itisscience]

per il decadimento di M in 3 corpi nel sistema del centro di massa, posso scrivere le sequenti conservazioni dell'impulso e dell'energia (c=1): $ \vec p_1 + \vecp_2 + \vecp_3=0 $ e $ E_1+E_2+E_3=M $
definisco la massa invariante $ m_{12 $ allora M decade in $ m_{12}+m_3 $
dai calcoli trovo che $ m_{12}^2=M^2-2E_3M+m_3^2 $ da cui $ E_3=\frac{M^2+m_3^2-m_{12}}{2M} $

ora non riesco a capire questa cosa: l'energia $ E_3 $ è minima quando $ m_3 $ è ferma quindi $ E_{3min}=m_3 $ e $ p_{3min}=0 $ . allora $ m_{12}=M-m_3 $ e $ P=p_1+p_2 $.
ma come arrivo ad ottenere che $ P^2=\frac{(M-m_3)^2-(m_1+m_2)^2(M-m_3)^2-(m_1-m_2)^2}{4(M-m_3)^2} $ ?
proprio non riesco a capire come svolgere il calcolo

[itisscience]

altra domanda: nel caso opposto invece, cioè per ottenere $ E_{3MAX} $ ovviamente devo avere la $ m_{12minima} $. ma perchè ssi deve scrivere $ m_{12minima}^2=m_1^2+m_2^2+2(E_1E_2-\vecp_1 vecp_2) $ che è uguale a $ m_{12minima}^2=m_1^2+m_2^2+2m_1m_2 $ (per $ \beta_1=\beta_2 $ )?

[RenzoDF]

Giusto per non prendermi un altro cartellino giallo , per la tua prima domanda, prova a dare un occhio a questo pdf

https://www.yumpu.com/it/document/read/37786720/cinematica-relativistica

in particolare pagg. 11, 28, 29, 30.

[itisscience]

purtroppo non ha chiarito le idee, anzi.. dice che devo ricavare $ m_{12 $ da $ E_3=\frac{M^2+m_3^2-m_{12}^2}{2M} $ ponendoci $ E_3=m_3 $ ?..