Decadimenti e andamento esponenziale
Ciao, mi spieghereste con un modellino semplice semplice perchè nei decadimenti il numero di particelle iniziali segue un andamento esponenziale, cioè del tipo
$N=N_0 \exp(-t/\tau)$?
Mi è stato detto che è perchè il numero di decadimenti $(dN)/dt$ è inversamente proporzionale a N. Ma questo mi pare strano...i decadimenti non sono tutti tra loro indipendenti? Perchè se in un materiale ci sono piu nuclei mi aspetto di vedere una concentrazione piu alta di decadimenti? E' insito nella fisica del nucleo che dN/N è costante, o c'è un modellino matematico sotto?
$N=N_0 \exp(-t/\tau)$?
Mi è stato detto che è perchè il numero di decadimenti $(dN)/dt$ è inversamente proporzionale a N. Ma questo mi pare strano...i decadimenti non sono tutti tra loro indipendenti? Perchè se in un materiale ci sono piu nuclei mi aspetto di vedere una concentrazione piu alta di decadimenti? E' insito nella fisica del nucleo che dN/N è costante, o c'è un modellino matematico sotto?
Risposte
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L'argomento è trattato brevemente sul Giusti (Analisi Matematica 1) a pag. 388 come esempio di equazione differenziale.
In sintesi, la legge del decadimento è soluzione dell'equazione $n'(t) = -pn(t)$
Questa si ottiene considerando che, se $n(t)$ è il numero di particelle al tempo $t$ e $p$ è la probabilità di decadimento, allora tra $t$ e $t + \Delta t$ si disintegrano $n(t)p\Delta t$ particelle.
Quindi hai $n(t + \Delta t) = n(t) - n(t) p \Delta t$ ovvero $\frac {n(t + \Delta t) - n(t)} {\Delta t} = -p n(t)$ e passando al limite per $\Delta t \to 0$ del rapporto incrementale ottieni l'equazione.
In sintesi, la legge del decadimento è soluzione dell'equazione $n'(t) = -pn(t)$
Questa si ottiene considerando che, se $n(t)$ è il numero di particelle al tempo $t$ e $p$ è la probabilità di decadimento, allora tra $t$ e $t + \Delta t$ si disintegrano $n(t)p\Delta t$ particelle.
Quindi hai $n(t + \Delta t) = n(t) - n(t) p \Delta t$ ovvero $\frac {n(t + \Delta t) - n(t)} {\Delta t} = -p n(t)$ e passando al limite per $\Delta t \to 0$ del rapporto incrementale ottieni l'equazione.
Ma chi mi dice che la probabilità è costante?
Sperimentalmente, I suppose ...
"newton_1372":
Ma chi mi dice che la probabilità è costante?
Ah già, ho commesso un errore, $p$ è la costante di decadimento, mentre la probabilità di decadimento è $p \Delta t$ (quindi è proporzionale all'intervallo di tempo $\Delta t$). Mi ero fatto ingannare dall'utilizzo della lettera $p$
Comunque, la costante di decadimento $p$ probabilmente viene ottenuta per via sperimentale, come ha detto axpgn, visto che il tempo di dimezzamento è $t_{1/2} = \frac {ln(2)} {p}$ (e quindi immagino che misurando il tempo di dimezzamento si possa risalire alla costante di decadimento)
Dire che il numero di decadimenti ecproporzionale a N sembra voler dire che il nucleo in qualche modo "si accorge" della presenza degli altri nuclei. Infatti se ci sono 10 nuclei solo 5 decadranno; se ce ne sono 50 ne decadono 25 nello stesso arco di tempo (invece mi sembrerebbe piu plausibile che nello stesso arco di tempo i nuclei decaduti siano sempre 5, sia che ci siano miliardi di nuclei sia che ce ne siano solo decine. Se poi prendo un nucleo isolato mi aspetterei che decada in media dopo 1/5 del tempo in cui decadono 5 nuclei. Il tasso di decadimento dovrebbe essere costante nel tempo...mi piacerebbe capire perche invece dipende da N
Mah, non direi che una particella "si accorge" della presenza delle altre. E' semplicemente questione di probabilità.
Cioè, se $n$ è il numero di particelle al tempo $t$, fissando l'intervallo di tempo $\Delta t$ (e perciò fissando la probabilità $p \Delta t$), e chiamando $n_d$ il numero di particelle disintegrate nell'intervallo $\Delta t$, vediamo che la frequenza $\frac {n_d} {n}$ deve approssimare la probabilità $p \Delta t$ (in particolare, risultano uguali per $n \to \infty$), e quindi otteniamo $n_d = n p \Delta t$
Cioè, se $n$ è il numero di particelle al tempo $t$, fissando l'intervallo di tempo $\Delta t$ (e perciò fissando la probabilità $p \Delta t$), e chiamando $n_d$ il numero di particelle disintegrate nell'intervallo $\Delta t$, vediamo che la frequenza $\frac {n_d} {n}$ deve approssimare la probabilità $p \Delta t$ (in particolare, risultano uguali per $n \to \infty$), e quindi otteniamo $n_d = n p \Delta t$
Non riesco ancora a capire bene...
perchè in un pezzo di materiale dove ci sono 100 nuclei, in un tempo dt accadono 33 decadimenti
mentre in un altro pezzo di materiale con 60 nuclei, nello stesso intervallo di tempo dt i decadimenti si riducono a 20?
Cosa gliene frega al singolo nucleo quanti altri compagni c'ha attorno? Perchè l'avere intorno 10 nuclei o 100000 influisce sulla rapidità con cui un certo nucleo decade?
perchè in un pezzo di materiale dove ci sono 100 nuclei, in un tempo dt accadono 33 decadimenti
mentre in un altro pezzo di materiale con 60 nuclei, nello stesso intervallo di tempo dt i decadimenti si riducono a 20?
Cosa gliene frega al singolo nucleo quanti altri compagni c'ha attorno? Perchè l'avere intorno 10 nuclei o 100000 influisce sulla rapidità con cui un certo nucleo decade?
Se lanci $100$ monete ti vengono $50$ teste, se ne lanci $10$ ti vengono $5$ teste ... che cosa gliene frega alla singola moneta se ne lanci $10$ o $100$ ?
"axpgn":
Se lanci $100$ monete ti vengono $50$ teste, se ne lanci $10$ ti vengono $5$ teste ... che cosa gliene frega alla singola moneta se ne lanci $10$ o $100$ ?
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