Ddp centro bordo disco
Ciao a tutti,
non so come risolvere questo problema: consideriamo un disco circolare di raggio R caricato con una densità di caric unifrome $sigma$. Trovare la ddp tra il centro C e il bordo B.
Avevo pensato di suddividere il disco in striscioline infinitesime e applicare $dV=frac{dq}{4piepsilon_o r}$ in questo modo $V=int_0^Rfrac{rdr}{2sigmaepsilon_o }$ ma il risultato differisce da $DeltaV=sigmaR/epsilon_o (1/2-1/pi)$.
Grazie a tutti
non so come risolvere questo problema: consideriamo un disco circolare di raggio R caricato con una densità di caric unifrome $sigma$. Trovare la ddp tra il centro C e il bordo B.
Avevo pensato di suddividere il disco in striscioline infinitesime e applicare $dV=frac{dq}{4piepsilon_o r}$ in questo modo $V=int_0^Rfrac{rdr}{2sigmaepsilon_o }$ ma il risultato differisce da $DeltaV=sigmaR/epsilon_o (1/2-1/pi)$.
Grazie a tutti
Risposte
non si leggono le formule...
aiuto perchè non si vedono??
Nella formula $dV=frac{dq}{4piepsilon_o r}$ devi mettere uno spazio alla fine tra la "o" e la "r", non so perchè ma il problema di tutto è quello
grazie strangolatore 
Di niente, ma sono andato a tentativi, non capisco come faceva un or in una formula a non far vedere tutte le formule della pagina...
assurdo
Non mi è venuto in mente un modo semplice di risoluzione. In genere il calcolo del potenziale elettrico di distribuzioni circolari (anelli, corone o dischi) in punti non giacenti sull'asse coinvolge integrali ellittici. Ma se l'esercizio è stato assegnato in un compito o svolto durante un'esercitazione deve avere una soluzione più facile. In mancanza d'altro ti propongo il metodo becero.
Il potenziale, in punto del piano su cui giace il disco distante $d$ dal centro, è dato $\phi(d)=\frac{\sigma}{4\pi\epsilon_0}\int_0^Rdx\int_0^{2pi}d\theta\frac{x}{sqrt{d^2+x^2-2dxcos\theta}}$, quindi $\phi(0)=\frac{sigma}{4\pi\epsilon_0}\int_0^Rdx\int_0^{2pi}d\theta=\frac{sigmaR}{2\epsilon_0}$ (notare che è strettamente correlato con il caso di un piano uniformemente carico), mentre $\phi(R)=\frac{\sigma}{4\pi\epsilon_0}\int_0^Rdx\int_0^{2pi}d\theta\frac{x}{sqrt{R^2+x^2-2Rxcos\theta}}$ ed è questo l'integrale problematico.
Ponendo $x=\xiR$, $(0\le\xi\le1)$, diventa $R\int_0^1d\xi\int_0^{2pi}d\theta\frac{xi}{sqrt{1+xi^2-2\xicos\theta}}$, che, Maple-calcolato o tabulato, fornisce $4R$, quindi $\DeltaV=\phi(0)-\phi(R)=\frac{\sigmaR}{\epsilon_0}(\frac{1}{2}-\frac{1}{\pi})$.
Per un'idea di come si calcola il potenziale elettrico di un anello puoi consultare Off-axis electric field of a ring of charge, il caso del disco lo ottieni integrando sul raggio dell'anello.
Il potenziale, in punto del piano su cui giace il disco distante $d$ dal centro, è dato $\phi(d)=\frac{\sigma}{4\pi\epsilon_0}\int_0^Rdx\int_0^{2pi}d\theta\frac{x}{sqrt{d^2+x^2-2dxcos\theta}}$, quindi $\phi(0)=\frac{sigma}{4\pi\epsilon_0}\int_0^Rdx\int_0^{2pi}d\theta=\frac{sigmaR}{2\epsilon_0}$ (notare che è strettamente correlato con il caso di un piano uniformemente carico), mentre $\phi(R)=\frac{\sigma}{4\pi\epsilon_0}\int_0^Rdx\int_0^{2pi}d\theta\frac{x}{sqrt{R^2+x^2-2Rxcos\theta}}$ ed è questo l'integrale problematico.
Ponendo $x=\xiR$, $(0\le\xi\le1)$, diventa $R\int_0^1d\xi\int_0^{2pi}d\theta\frac{xi}{sqrt{1+xi^2-2\xicos\theta}}$, che, Maple-calcolato o tabulato, fornisce $4R$, quindi $\DeltaV=\phi(0)-\phi(R)=\frac{\sigmaR}{\epsilon_0}(\frac{1}{2}-\frac{1}{\pi})$.
Per un'idea di come si calcola il potenziale elettrico di un anello puoi consultare Off-axis electric field of a ring of charge, il caso del disco lo ottieni integrando sul raggio dell'anello.
ciao cmax grazie della risposta...si in effetti è un po'laborioso come procedimento ma scusami una cosa, come mai il potenziale del centro lo si trova integrando tra 0 ed R???
In realtà il potenziale di qualsiasi punto lo si trova integrando tra 0 e R, perchè l'integrazione è estesa a tutta la distribuzione di carica, ed il centro non fa eccezione.
si è vero perchè bisogna considerare tutti i contributi...Ho una soluzione che ho trovato per questo esericizio: per il centro no nci sono problemi, per il potenziale del bordo, segue questo procedimento - Innanzitutto considera un punto sul bordo come centro di striscioline infinitesime di raggio r e spessore dr. Supponi che B sia il punto di interesezione tra la circonferenza del borod del disco e l'asse orizzontale del disco passante per il centro. B allora è il nostro centro delle striscioline. Disegnamo una strisciolina: il punto d'incontro tra il raggio della strisiciolina e la criconferenza del disco, dista r da B essendo quest'ultimo il centro. Chiamiamo $alpha$ l'angolo tra l'asse orizzontale del disco, e il raggio r, allora $r=2Rcosalpha -> dr=-2Rsinalphadalpha$ e notando che la strisciolina ha lunghezza pari a $2alphar$ e la carica in essa è $dq=sigma2alphardr$ il suo contributo al potenziale di B è $dV_B=frac{dq}{4piepsilonr}$ da cui $dV_B=frac{-sigmaRalphasinalphadalpha}{piepsilonr}$. Notando che il raggio r va da 0 a 2R l'angolo $alpha$ varierà da $pi/2$ a 0. Integra $V_B$ rispetto ad $alpha$ e trova $V_B$. Non mi arebbe mai passato per la testa
Già, dalle nebbie del passato remoto riemerge il ricordo di una classe di problemi di elettrostatica che si risolveva per somma di archi. Ti ringrazio per avermelo ricordato.
potente sto metodo 
anche per cosa è possibile utilizzare questo procedimento???
anche per cosa è possibile utilizzare questo procedimento???
Ad occhio e croce, quantomeno per distribuzioni uniformi piane di carica delimitate da curve che sono facilmente esprimibili in coordinate polari rispetto al punto per cui si calcola il potenziale. Nel caso da te proposto, l'equazione della circonferenza passante per il polo è $r=2Rcos\theta$.
"minavagante":
si è vero perchè bisogna considerare tutti i contributi...Ho una soluzione che ho trovato per questo esericizio: per il centro no nci sono problemi, per il potenziale del bordo, segue questo procedimento - Innanzitutto considera un punto sul bordo come centro di striscioline infinitesime di raggio r e spessore dr. Supponi che B sia il punto di interesezione tra la circonferenza del borod del disco e l'asse orizzontale del disco passante per il centro. B allora è il nostro centro delle striscioline. Disegnamo una strisciolina: il punto d'incontro tra il raggio della strisiciolina e la criconferenza del disco, dista r da B essendo quest'ultimo il centro. Chiamiamo $alpha$ l'angolo tra l'asse orizzontale del disco, e il raggio r, allora $r=2Rcosalpha -> dr=-2Rsinalphadalpha$ e notando che la strisciolina ha lunghezza pari a $2alphar$ e la carica in essa è $dq=sigma2alphardr$ il suo contributo al potenziale di B è $dV_B=frac{dq}{4piepsilonr}$ da cui $dV_B=frac{-sigmaRalphasinalphadalpha}{piepsilonr}$. Notando che il raggio r va da 0 a 2R l'angolo $alpha$ varierà da $pi/2$ a 0. Integra $V_B$ rispetto ad $alpha$ e trova $V_B$. Non mi arebbe mai passato per la testa
nonho capito potresti spiegare meglio o fare un disegnino? se non ti scoccia eh,...mi interessava molto anche a me!
Ecco l'immagine
Anche se riesco a connettermi solo ora, vale la pena di notare che il calcolo per archi proposto da minavagante è equivalente a calcolare il potenziale cambiando l'origine delle coordinate. Infatti, limitandosi ora ad una distribuzione piana, in generale il potenziale nell'origine è $\phi(0)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}int_SdS\frac{\sigma(\vec{r})}{r}$, nel caso del disco, se l'origine è in B il dominio di integrazione è $r\le2Rcos\theta$, $-frac{pi}{2}\le\theta\lefrac{pi}{2}$, e l'integrale diventa $\frac{1}{4\pi\epsilon_0}int_{-\pi/2}^{pi/2}d\theta\int_0^{2Rcos\theta}rdr\frac{sigma}{r}=\frac{\sigma}{4\pi\epsilon_0}int_{-\pi/2}^{pi/2}d\theta\int_0^{2Rcos\theta}dr=\frac{\sigmaR}{\pi\epsilon_0}$. Dal punto di vista fisico l'ordine di integrazione scelto corrisponde a considerare il contributo per spicchi, ma credo che modificandolo si possa far tornare il procedimento per archi. Dal punto di vista formale, suppongo che (ma in questo momento non ho voglia di verificarlo passo passo), la trasformazione di variabile $r'sin\theta'=rsin\theta$, $r'cos\theta'+rcos\theta=R$ riduca l'integralaccio scritto qualche post fa in una forma facilmente calcolabile. È poi possibile calcolare la ddp tra i due valori ottenuti perchè, pur essendo calcolati rispetto a origini diverse, sono espressi entrambi in modo che il potenziale si annulli all'infinito.
Ottimo
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