Davvero carino

[fireball1]

Un punto materiale si muove nello spazio secondo la legge oraria:
$vecr(t)=-cos(2t)*hat i-2cos(t)*hat j+sin(2t)*hat k$,
dove $cc B={hat i,hat j,hat k}$ è, al solito, la base canonica
di $RR^3$. Provare che:

1) tutti i piani normali alla traiettoria descritta dal
punto materiale si intersecano in un punto P;

2) il moto del punto materiale avviene all'interno di una sfera di centro P.

[Sk_Anonymous]

Il vettore tangente alla curva nel suo punto generico
$Q(x,y,z) \equivQ(-cos2t,-2cost,sin2t)$ e' $(2sin2t,2sint,2cos2t)$ e pertanto
l'equazione del piano normale a tale vettore nel punto Q e':
$2sin2t*(x+cos2t)+2sint*(y+2cost)+2cos2t*(z-sin2t)=0$
Ovvero:
$(2sin2t)x+(2sint)y+(2cos2t)z+2sin2t=0$
ed e' facile verificare che tutti questi piani passano per il punto $P(-1,0,0)$
D'altra parte risulta:
$PQ^2=(x+1)^2+y^2+z^2=(1-cos2t)^2+4cos^2t+sin^2 2t=4$
e dunque la traiettoria si sviluppa tutta sulla superficie sferica di
centro P e raggio 2 .
karl

[fireball1]

Esatto karl, proprio così! :D
Mi è capitato nel secondo esonero di Analisi Matematica I/3,
ma io l'ho riformulato dal punto di vista fisico per renderlo più "intrigante"...