Dalla lagrangiana alla hamiltoniana
$L=1/2m((1+rho^2/R^2)dotrho^2 + rho^2(dottheta+omega)^2)$
mi controllate quanto vi viene l'hamiltoniana please?
a me esce $H=1/(2m)(R^2rho_rho^2/(R^2+rho^2)+rho_theta^2/rho^2)+omega/(2rho)(rhomomega-2rho_theta-rho^3momega)$
...na schifezza
ovviamente il risultato del libro è diverso ma.... ho provato e riprovato quindi se qualcuno ne ha voglia....GRAZIE!!!
Ho fatto H=L2-L0
mi controllate quanto vi viene l'hamiltoniana please?
a me esce $H=1/(2m)(R^2rho_rho^2/(R^2+rho^2)+rho_theta^2/rho^2)+omega/(2rho)(rhomomega-2rho_theta-rho^3momega)$
...na schifezza
ovviamente il risultato del libro è diverso ma.... ho provato e riprovato quindi se qualcuno ne ha voglia....GRAZIE!!!Ho fatto H=L2-L0
Risposte
Calcolo il momento $p_{\rho}$:
${\delL}/{\del\dot\rho} = m(1+\rho^2/R^2)\dot\rho => \dot\rho = p_{\rho}/{m(1+\rho^2/R^2)}$
Calcolo il momento $p_{\theta}$:
${\delL}/{\del\dot\theta} = m\rho^2(\dot\theta+\omega) => \dot\theta = p_{\theta}/{m\rho^2}-\omega$
Sostituisco nella lagrangiana:
$L = 1/{2m}({p_{\rho}^2}/{1+\rho^2/R^2} + p_{\theta}^2/\rho^2)$
Calcolo l'hamiltoniana:
$H = p_i\dotq_i-L = p_{\rho}^2/{m(1+\rho^2/R^2)} + p_{\theta}^2/{m\rho^2} - p_{\theta}\omega - 1/{2m}({p_{\rho}^2}/{1+\rho^2/R^2} + p_{\theta}^2/\rho^2) = 1/{2m}(p_{\rho}^2/{1+\rho^2/R^2} + p_{\theta}^2/\rho^2)- p_{\theta}\omega$
Sperando di non aver commesso errori.
P.S: Per andare a cercare l'errore guarda gli ultimi pezzi, non tornano dimensionalmente.
${\delL}/{\del\dot\rho} = m(1+\rho^2/R^2)\dot\rho => \dot\rho = p_{\rho}/{m(1+\rho^2/R^2)}$
Calcolo il momento $p_{\theta}$:
${\delL}/{\del\dot\theta} = m\rho^2(\dot\theta+\omega) => \dot\theta = p_{\theta}/{m\rho^2}-\omega$
Sostituisco nella lagrangiana:
$L = 1/{2m}({p_{\rho}^2}/{1+\rho^2/R^2} + p_{\theta}^2/\rho^2)$
Calcolo l'hamiltoniana:
$H = p_i\dotq_i-L = p_{\rho}^2/{m(1+\rho^2/R^2)} + p_{\theta}^2/{m\rho^2} - p_{\theta}\omega - 1/{2m}({p_{\rho}^2}/{1+\rho^2/R^2} + p_{\theta}^2/\rho^2) = 1/{2m}(p_{\rho}^2/{1+\rho^2/R^2} + p_{\theta}^2/\rho^2)- p_{\theta}\omega$
Sperando di non aver commesso errori.
P.S: Per andare a cercare l'errore guarda gli ultimi pezzi, non tornano dimensionalmente.
MOOOOLTE grazie è giusto ero io che sbagliavo la $dottheta$ 
ciao
io ho provato a farla un po alla veloce e mi viene un risultato simile al tuo:
$H=1/(2m)(R^2p_rho^2/(R^2+rho^2)+p_theta^2/rho^2)-omegap_theta$
fammi sapere se è come sul libro...
(ho chiamato i momenti con p)
io ho provato a farla un po alla veloce e mi viene un risultato simile al tuo:
$H=1/(2m)(R^2p_rho^2/(R^2+rho^2)+p_theta^2/rho^2)-omegap_theta$
fammi sapere se è come sul libro...
(ho chiamato i momenti con p)
accidenti!!!
ho iniziato a fare i conti e sono stato preceduto
(e dire che li ho fatti alla veloce...)
be.. almeno ora vedo che li ho fatti giusti anche io:-D
ho iniziato a fare i conti e sono stato preceduto
(e dire che li ho fatti alla veloce...)be.. almeno ora vedo che li ho fatti giusti anche io:-D
"Cantaro86":
accidenti!!!
ho iniziato a fare i conti e sono stato preceduto
be.. almeno ora vedo che li ho fatti giusti anche io:-D
Ottimo.
In realtà una discreta quantità di tempo l'ho impiegata a sistemare il tutto graficamente, d'altronde anche l'occhio vuole la sua parte.
Va bene raga visto che col riscaldamento avete finito ne posto ancora uno che questa sera mi fa tribolare
Si supponga assegnato un integrale completo dell'equazione di Hamilton Jacobi per un sistema olonomo a 2 gradi di libertà
$S= -alpha1t+sqrt(2malpha1-alpha2^2)rhocostheta+alpha2rhosintheta$
scrivere la hamiltoniana del sistema
....sarà un'ora che ci sto provando senza arrivare al traguardo
vi posto i parametri alpha1 e alpha2
$(deltaS)/(deltarho) = sqrt(2malpha1-alpha2^2)costheta+alpha2sintheta$
$(deltaS)/(deltatheta) = -sqrt(2malpha1-alpha2^2)rhosintheta+alpha2rhocostheta$
vi prego datemi una dritta su questo se no a l'una di stanotte sono ancora qui che faccio calcoli
Si supponga assegnato un integrale completo dell'equazione di Hamilton Jacobi per un sistema olonomo a 2 gradi di libertà
$S= -alpha1t+sqrt(2malpha1-alpha2^2)rhocostheta+alpha2rhosintheta$
scrivere la hamiltoniana del sistema
....sarà un'ora che ci sto provando senza arrivare al traguardo
vi posto i parametri alpha1 e alpha2
$(deltaS)/(deltarho) = sqrt(2malpha1-alpha2^2)costheta+alpha2sintheta$
$(deltaS)/(deltatheta) = -sqrt(2malpha1-alpha2^2)rhosintheta+alpha2rhocostheta$
vi prego datemi una dritta su questo se no a l'una di stanotte sono ancora qui che faccio calcoli
Purtroppo questa parte di meccanica analitica non ho avuto occasione di farla praticamente per niente.
Se mi spieghi brevemente cosa c'è da fare posso provare a darti una mano.
Se mi spieghi brevemente cosa c'è da fare posso provare a darti una mano.
guarda lascia stare perchè c'è veramente un po' di roba in aggiunta a questa parte di meccanica hamiltoniana
si tratta di una equazione differenziale alle derivate parziali.Occorre trovare
$H(p,theta,p_p,p_theta)+(deltaS)/(deltat))=0$dove p_p e p_theta sono legati da una trasformazione
$p_p=alpha1=(deltaS)/(deltarho) ,p_theta = alpha2 = (deltaS)/(deltatheta)$
ma la teoria che sta sotto è un po più complessa che spiegarla in quattro righe. cmq serve per semplificare
Hamiltoniane molto complicate
si tratta di una equazione differenziale alle derivate parziali.Occorre trovare
$H(p,theta,p_p,p_theta)+(deltaS)/(deltat))=0$dove p_p e p_theta sono legati da una trasformazione
$p_p=alpha1=(deltaS)/(deltarho) ,p_theta = alpha2 = (deltaS)/(deltatheta)$
ma la teoria che sta sotto è un po più complessa che spiegarla in quattro righe. cmq serve per semplificare
Hamiltoniane molto complicate
Scusami, ma dall'equazione di Hamilton-Jacobi $H(\rho,\theta,p_{\rho},p_{\theta})+{\delS}/{\delt} = 0$ non puoi ricavare direttamente $H(\rho,\theta,p_{\rho},p_{\theta}) = p_{\rho}$, dal momento che ${\delS}/{\delt} = -\alpha_1 = -p_{\rho}$?
Altrimenti è possibile anche ricavare $alpha_1$ e $alpha_2$.
Chiamo $\alpha_1=x$ e $\alpha_2=y$. Riscrivo le due equazioni:
${(x = sqrt(2mx-y^2)costheta+ysintheta), (y = -sqrt(2mx-y^2)rhosintheta+yrhocostheta):}$
Con un po' di manipolazioni si giunge a:
${(x\rhosin\theta+ycos\theta = y\rho), (\rho^2x^2+y^2 = 2mx\rho^2):}$
Da queste con conti lunghissimi (mi sono aiutato con Mathematica) si ottiene:
${(x = {2m(\rho-cos\theta)^2}/{1+\rho^2-2\rhocos\theta}), (y = {2m\rhosin\theta(\rho-cos\theta)}/{1+\rho^2-2\rhocos\theta}):}$
Altrimenti è possibile anche ricavare $alpha_1$ e $alpha_2$.
Chiamo $\alpha_1=x$ e $\alpha_2=y$. Riscrivo le due equazioni:
${(x = sqrt(2mx-y^2)costheta+ysintheta), (y = -sqrt(2mx-y^2)rhosintheta+yrhocostheta):}$
Con un po' di manipolazioni si giunge a:
${(x\rhosin\theta+ycos\theta = y\rho), (\rho^2x^2+y^2 = 2mx\rho^2):}$
Da queste con conti lunghissimi (mi sono aiutato con Mathematica) si ottiene:
${(x = {2m(\rho-cos\theta)^2}/{1+\rho^2-2\rhocos\theta}), (y = {2m\rhosin\theta(\rho-cos\theta)}/{1+\rho^2-2\rhocos\theta}):}$
secondo me potresti provare a risolvere questo problema in un altro modo:
se fai la derivata totale dell'azione S ricavi la Lagrangiana e dopodichè ti puoi calcolare l'Hamiltoniana...
è un po lungo come procedimento...(non l'ho provato a fare) ma dovrebbe funzionare in linea di principio...se a quest'ora hai tempo...
se fai la derivata totale dell'azione S ricavi la Lagrangiana e dopodichè ti puoi calcolare l'Hamiltoniana...
è un po lungo come procedimento...(non l'ho provato a fare) ma dovrebbe funzionare in linea di principio...se a quest'ora hai tempo...
si eredir il problema è che non riuscivo a portare il sistema alle 2 incognite x e y;
a questo punto si riesce a ricavare l'hamiltoniana dalla seconda equazione del sistema che hai scritto
ed ottieni $H=1/(2m)(rho_rho^2+rho_theta^2/rho^2)$.....
però come semplifichi il primo sistema
che ti porta al secondo?.....è da un po' che mi sbattevo ma non riuscivo
a questo punto si riesce a ricavare l'hamiltoniana dalla seconda equazione del sistema che hai scritto
ed ottieni $H=1/(2m)(rho_rho^2+rho_theta^2/rho^2)$.....
però come semplifichi il primo sistemache ti porta al secondo?.....è da un po' che mi sbattevo ma non riuscivo
Si vede ad occhio che le combinazioni $x\rhosin\theta+ycos\theta$ e $\rho^2x^2+y^2$ permettono di semplificare le equazioni con l'aiuto delle identità trigonometriche.
Non ho capito invece per quale motivo $H(\rho,\theta,p_{\rho},p_{\theta}) = p_{\rho}$ non è valida come risposta, potresti spiegarmelo?
Non ho capito invece per quale motivo $H(\rho,\theta,p_{\rho},p_{\theta}) = p_{\rho}$ non è valida come risposta, potresti spiegarmelo?
perche penso derivi dal fatto che il sistema ha 2 gradi di libertà (dal testo) pertanto l'hamiltoniana deve essere riferito al sistema assegnato.
sara xche comincio a dare segni di cedimento.......ma nn riesco a vedere come sei arrivato alla semplificazione.
Domani pome riguardero con calma i passaggi e postero ancora un esercizio che nn mi viene sui cambi di coordinate fibrate
buona notte!!!
Domani pome riguardero con calma i passaggi e postero ancora un esercizio che nn mi viene sui cambi di coordinate fibrate
buona notte!!!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo