Dal primo principio della termodinamica al teorema di Bernoulli

[Cla1608]

Buon pomeriggio a tutti, scusatemi se tiro fuori un argomento forse trito ritrito ma avrei bisogno di un chiarimento per togliermi dei dubbi.

Partendo dal primo principio della termodinamica

$ Delta E_(sistema)=Q-L $

Come faccio ad arrivare al teorema di Bernoulli?

Ipotizzando che il calore è nullo e che:

$ Delta E_(sistema)=Delta E_c+ Delta E_p + Delta U_i $

Dove:

$ Delta E_c$ Variazione energia cinetica
$ Delta E_p $ Variazione energia potenziale
$ Delta U_i $ Variazione energia interna

Riesco a trovare il contributo cinetico, il contributo potenziale, il contributo delle pressioni considerando che, senza scomodare i differenziali:

$F_2 * dl_2 - F_1 * dl_1$ --- posso esprimerlo in funzione di volume e pressione, alla fine posso ottenere (prendendo le definizioni di energia cinetica e potenziale):

$ p_1 + rho gz_1 +1/2 rho v_1 ^2 = p_2 + rho gz_2 +1/2 rho v_2 ^2 $

Mancherebbe però il contributo di $ Delta U_i $, come si giustifica il fatto che sia zero?

Grazie

Ciao

[ingres]

In generale per dimostrare Bernoulli si parte dal t. dell'energia cinetica, per cui il lavoro sul fluido dovuto alla pressione è pari alla variazione di energia cinetica e potenziale.
Volendo partire dal primo principio, questo deve essere applicato nella forma valida per sistemi aperti per cui si ha:

$Delta w^2/2 + g*Delta z + Delta H = Delta Q - Delta L_e$

essendo $L_e$ il lavoro esterno (es. dovuto ad una pompa) e $Delta H = T Delta S +v Delta p$
avendo già ipotizzato
- fluido incomprimibile (v=costante)
- temperatura costante perchè supporremo anche
- traformazione adiabatica ($Delta Q = 0$)
- fluido non viscoso per cui assenza di irreversibilità ($Delta S=0$)

Quindi in assenza anche di lavoro esterno ($Delta L_e =0$) risulterà, moltiplicando tutto per $ rho = 1/v$, proprio l'equazione di Bernoulli.

Quanto sopra è il discorso più formale.
Volendo semplificare le cose, siccome non ci sono attriti, il fluido non si riscalda, quindi non varia la sua temperatura e nemmeno la sua energia interna.