Curva sopraelevata, reazione vincolare

[nico97it]

Nello studio di un esercizio riguardante un corpo che percorre una strada sopraelevata di angolo $ vartheta $ , non ho capito bene la natura della reazione vincolare. Mi spiego meglio. In un classico esercizio riguardante un corpo su di un piano inclinato la reazione vincolare $ N $ (in modulo) è uguale a $ mgcosvartheta $ , bilanciando in questo modo la componente perpendicolare della forza peso. Nel caso della curva sopraelevata, invece, $ N=(mg)/cosvartheta $ . Non ho capito perché in questo caso non si pone subito $ N=mgcosvartheta $ , eppure deve bilanciare la componente normale della forza peso. Ma si passa direttamente ad analizzare le componenti di $ vec(N) $ . Ora mi chiedo, quali sono le differenze tra le due reazioni vincolari nei due casi diversi?(piano inclinato e curva sopraelevata).

[nico97it]

Il testo dell'esempio è: si vuole determinare quale condizione deve essere soddisfatta affinché un corpo, lanciato con velocità v orizzontale lungo una curva sopraelevata, percorra a velocità costante un arco di circonferenza, in un piano orizzontale, con centro in O.

[Studente Anonimo]

Se consideri la figura sottostante:

devi imporre che la somma della forza peso diretta lungo la verticale e della reazione vincolare diretta perpendicolarmente al piano sia uguale alla forza centripeta (necessaria al moto) diretta lungo l'orizzontale.

[nico97it]

Questo era l'unico sistema di riferimento fattibile? In questo modo mi è più chiaro. Ma se avessi voluto ragionare in termini delle componenti parallele e perpendicolari della forza peso come avrei dovuto procedere? Si complicherebbe di molto? Infine, se ci fosse stato attrito, avrei dovuto bilanciare la componente parallela della forza peso con l'attrito dinamico?

[Studente Anonimo]

"nico97it":
... se avessi voluto ragionare in termini delle componenti parallele e perpendicolari della forza peso ...

Orientando l'asse x parallelo al piano verso il basso e l'asse y perpendicolare al piano verso l'alto:

Forza peso

$vecP=mgsin\thetaveci-mgcos\thetavecj$

Reazione vincolare

$vecR=Rvecj$

Forza centripeta

$vecF_c=mv^2/rcos\thetaveci+mv^2/rsin\thetavecj$

Equazione risolutiva

$vecP+vecR=vecF_c rarr$

$rarr mgsin\thetaveci-mgcos\thetavecj+Rvecj=mv^2/rcos\thetaveci+mv^2/rsin\thetavecj rarr$

$rarr [mgsin\theta=mv^2/rcos\theta] ^^ [-mgcos\theta+R=mv^2/rsin\theta] rarr$

$rarr [gsin\theta=v^2/rcos\theta] ^^ [-mgcos\theta+R=mv^2/rsin\theta]$

Condizione

$gsin\theta=v^2/rcos\theta$

Reazione vincolare

$R=mv^2/rsin\theta+mgcos\theta=mgsin^2\theta/cos\theta+mgcos\theta=(mg)/cos\theta$

[nico97it]

Perfetto, sei stato gentilissimo. In questo modo ho capito come muovermi meglio nella scomposizione delle forze. Grazie mille per l'aiuto.