Criterio di autoaggiuntezza
Salve a tutti,
ho la seguente proposizione, ma non riesco a capire un passaggio.
Proposizione. Sia $A,D(A)$ un operatore simmetrico. Se esiste $z\in \mathbb{C}$, con $\Im z\ne0$ tale che $Ran(A-z)=Ran(A-\bar{z})=H$, allora $A,D(A)$ è autoaggiunto.
Ad un certo punto della dimostrazione dice così: poichè $Ran(A-z)=Ran(A-\bar{z})=H$, considerando il vettore $(A^{°}-\bar{z})f$, esiste $g\in D(A)$ tale che $(A^{°}-\bar{z})f=(A-\bar{z})g$ (con $A^{°}$ indico l'aggiunto di $A$).
Perchè $g$ verifica questa relazione????
Grazie a tutti per l'aiuto.
ho la seguente proposizione, ma non riesco a capire un passaggio.
Proposizione. Sia $A,D(A)$ un operatore simmetrico. Se esiste $z\in \mathbb{C}$, con $\Im z\ne0$ tale che $Ran(A-z)=Ran(A-\bar{z})=H$, allora $A,D(A)$ è autoaggiunto.
Ad un certo punto della dimostrazione dice così: poichè $Ran(A-z)=Ran(A-\bar{z})=H$, considerando il vettore $(A^{°}-\bar{z})f$, esiste $g\in D(A)$ tale che $(A^{°}-\bar{z})f=(A-\bar{z})g$ (con $A^{°}$ indico l'aggiunto di $A$).
Perchè $g$ verifica questa relazione????
Grazie a tutti per l'aiuto.
Risposte
"steven86":
Ad un certo punto della dimostrazione dice così: poichè $Ran(A-z)=Ran(A-\bar{z})=H$, considerando il vettore $(A^{°}-\bar{z})f$, esiste $g\in D(A)$ tale che $(A^{°}-\bar{z})f=(A-\bar{z})g$ (con $A^{°}$ indico l'aggiunto di $A$).
Perchè $g$ verifica questa relazione????
Non hai detto esplicitamente cosa e' $H$: per pura pigrizia ipotizzero' che sia tutto lo spazio di Hilbert considerato. Per cui dato il vettore [tex](A^\dagger -\bar z) f = h \in H[/tex] questo si trova nell'immagine di entrambi gli operatori $A-z$ e $A-\bar z$ (vale a dire $H$). Per cui deve esistere almeno un $g \in D(A)$ che viene mappato in $h$ da $A-\bar z$ (per la definizione di immagine, piu' o meno).
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